【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习 圆锥曲线中的最值、范围与定值、定点问题课时作业 理.DOC

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1、课时作业62圆锥曲线中的最值、范围与定值、定点问题1已知椭圆C过点M，点F(，0)是椭圆的左焦点，点P，Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A.解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由已知，得解得椭圆的标准方程为1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由椭圆的标准方程为1，可知|PF|2x1，同理|QF|2x2，|MF|2，2|MF|PF|QF|，24(x1x2)，x1x22.()当x1x2时，由得xx2(yy)0，.设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ，得线段PQ的中垂线方程

2、为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一定点A.()当x1x2时，P，Q或P，Q，线段PQ的中垂线是x轴，也过点A.综上，线段PQ的中垂线过定点A.2已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点(2，)(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kACkBD.求证：四边形ABCD的面积为定值解：(1)由题意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故椭圆的标准方程为1.(2)证明：设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0

3、，由根与系数的关系得kACkBD，y1y2x1x2.又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2.设原点到直线AB的距离为d，则SAOB|AB|d|x2x1|2，S四边形ABCD4SAOB8，即四边形ABCD的面积为定值3在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(，0)，(，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(1，0)且与曲线C交于A，B两点(1)求曲线C的轨迹方程；(2)AOB的面积是否存在最大值，若存在，求出AOB的面积的最大值；若不存在，说明理由解：(1)由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(，0)，(

4、，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆故曲线C的轨迹方程为y21.(2)AOB的面积存在最大值因为直线l过点E(1,0)，所以可设直线l的方程为xmy1或y0(舍)由整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1y2.解得y1，y2.则|y2y1|.因为SAOB|OE|y1y2|.设t，t，g(t)t，则g(t)1，故当t时，g(t)0恒成立，则g(t)在区间，)上为增函数，所以g(t)g().所以SAOB，当且仅当m0时取等号所以SAOB的最大值为.1(2014新课标全国卷)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E

5、的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为

6、yx2或yx2.2已知椭圆1(ab0)经过点M(，1)，离心率为.(1)求椭圆的标准方程(2)已知点P(，0)，若A，B为已知椭圆上两动点，且满足2，试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由解：(1)由题意得，因为椭圆经过点M(，1)，所以1.又a2b2c2，由，解得a28，b2c24.所以椭圆方程为1.(2)当直线AB与x轴不垂直时，设直线的方程为ykxm，代入1，消去y整理得(2k21)x24kmx2m280.由0，得8k24m20，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以(x1)(x2)y1y2(x1)(x2)(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2(km)(x1x2)6m22，得(k21)x1x2(km)(x1x2)8m20，(k21)(km)8m20，整理得(m2k)20，从而mk，且满足(*)，所以直线AB的方程为yk，故直线AB经过定点.当直线AB与x轴垂直时，若直线为x，此时点A，B的坐标分别为，亦有2.综上，直线AB经过定点.5