考点25 几何法解空间角讲义（含答案解析）.docx

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1、考点25几何法解空间角【思维导图】定义工空间两条异面直线所成的角范围? (0,90。】方法 找平行线使两直线相交，可通过构造中位线或平行四边形、 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的厂正土、锐角叫做这条直线和这个平面所成的角0。,90】、f范围/ 一条直线垂直于平面，所成的角等于90 ； 一条直线和平面平行或在平面内，所成的角等于。,有?构造过直线上一点且与平面垂直的直线，上A 根据题中的垂直关系作出或构造此垂线后证明定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角氾围0 ,宜作出平面角棱 rfiif z*的方法e作证求证明所作的角满足定义，即为所求 二面角的平面角将作出的角放在三角形中

2、,计算出 牛面角的大小垂面法：由二面角的平面角的定义知，作与棱垂直的平面 那么该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角.平移法：先分别在两个半平面内找一条垂百于棱的射线， 然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角【常见考法】 考法一线线角I.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABC。-4旦。1。中,M =2AB = 2,那么异面直线45与A4所成角的余弦值为M（1）证明：平面PAD.（2）求直线形与平面PC。所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2） 拽. 29【解析】【分析】（1）首先证明四边形为平行四边形，再利用平行四边形的性质证明 线线平行，然后根据线线平行推

3、出线面平行即可；（2）首先找出直线依在平面PCO内的垂足，再利用直角三角形的边长关系求出 角的正弦值.【详解】（1）证明：取PO的三等分点N,且PD = 3DN,连接AN, MN,因为 PC = 3CM, PD = 3DN,2所以 MN/DC,且 MN = 。= 4,3因为 ABC。，AB = 4,所以 =豆 ABHMN,所以四边形为平行四边形，所以BM/AN,因为ANu平面PAO, HMa平面PAD,所以平面B4。；（2）过点5作垂足为“，连接PH,因为BDJL平面ABC。，所以PDLBH,所以3，平面尸CD,那么/BP为直线总与平面尸CD所成的角, 由题意可得H = AD = 2, BD

4、=4 + 6 = 2出，所以总=的+ 20 =亚,故 sin/BPH=% =巫, PB 29即直线总与平面PCQ所成角的正弦值是拽I.29【点睛】此题考查了线面平行的证明，直线与平面的夹角，属于一般题.9.如图，平面A3CD，平面且ABC。为正方形，AE = 2AB = 2, NBA石= 60。，尸为AC的中点.A(1)求证：AC，平面3EF；(2)求直线AO与平面AC所成的角的正弦值.【答案】(1)详见解析；(2)叵.7【解析】【分析】(1)通过计算证明证得BEJL AB ,结合面面垂直的性质定理证得8E1平面A3CQ,由此证得3EJ_AC,结合AC,即证得AC JL平面跳尸；(2)利用等体

5、积法求得。到平面ACE的距离，进而求得线面角的正弦值.【详解】(1)因为A = 245 = 2,NBA石= 60。，由余弦定理得BE = AB2 + AE2 -2AB- AE- cos600 = V5 所以 AB?+8 =人石？，所以.由于平面ABCDJ_平面ABE,且两个平面相交与A3,所以81平面ABCD,所以巫，AC,又因为AC上BF,BEcBF = B ,所以ACJ_平面3E尸.（2）根据那么= ，因为 N，D-ACE = E-ACD ， 设。到平面ACE的距离为力，那么;SAAce）= ；S?8B石，解得人=立.设直线AO与平面AC所成的角为凡 那么sin8 = =也L所以直线AO

6、7AD 7与平面ACE所成的角的正弦值为叵.7【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间 想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.考法三二面角10.正三棱锥的棱长都为2,那么侧面和底面所成二面角的余弦值为.【答案】|【解析】【分析】作出正三棱锥的图像，找出侧面与底面所成的二面角的平面角，在三角形 中即可求解.【详解】如下图，过点S作SO_L底面A8C,点。为垂足，连接。A, OB, OG 那么点。为等边三角形43。的中心，OA = OB = OC.延长A。交于点。，连接S。，那么BCSD9 /ODS为侧面S6C与底面ABC所成的二面角的平面角.又在等边三角形A5C中，

7、od，ad = M33在RtASOD中，cosZODS = SD 3【点睛】此题考查了求二面角的大小，解题的关键是作出二面角，属于基础题.11 .在矩形45co中，AB = 3,AD = 4, P为矩形ABCO所在平面外一点，且B4JL平面A5CD, 24 = 逑，那么二面角ABQP的大小为5【答案】30【解析】【分析】由以_!_平面ABC。，作出辅助线找出二面角的平面角，再解三角形即可求得结果.【详解】连接3D作垂足为连接PW,那么NAMP为二面角ABDP的平面角.在HA43O中，AM =B AD =, BD 5所以 tan/AMP = =正，得NAMP = 30。，AM 3所以二面角ABD

8、P的大小为30.故答案为：30.【点睛】此题考查用几何法求二面角的大小，属基础题.12 .三棱锥 V ABC 中，VA = VB = AC = BC = 29 ab = 2&, VC = 1,那么二面角V A3C 等于【答案】60【解析】【分析】取中点0,连结V。CO,根据题意，得到NVOC是二面角V-45C的平面 角，由题中数据，直接计算，即可得出结果.【详解】取43中点0,连结VO, C0,AB = 2日 VC = 1,所以VOLAB, COABNVOC是二面角V A5C的平面角,VO = ,2_（辞=743=1, 00 =卜。2_（冬=7 = 1，八 VO2 + CO2-VC2 1 +

9、1-11/. cosNVOC =-2V0 - CO2x1x1 2ZVOC = 60,二面角V-AB-C的平面角的度数为60.故答案为：60。.【点睛】此题主要考查求二面角，熟记几何法求二面角即可，属于常考题型.13.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCO为四边形，AABD是边长为2的正三 角形，BC 工 CD, BC = CD, PDAB,平面 PBDL平面 ABCD.p4B(1)求证：PD_L平面A3CQ； (2)假设二面角C-尸3-0的平面角的余弦值为如，求的长.6【答案】(1)证明见解析；(2) 1【解析】【分析】(1)如下图，E为BD中点、,连接AE,证明AEJ_PZ), PDJLA

10、B得到 证明.(2)如下图，过E作EFLPB于F,连接CT,证明/瓦C为二面角C-依-。的平面角，计算得到答案.【详解】(1)如下图：为8。中点，连接A石，AABD是正三角形，那么 AEBD.平面尸_L平面ABC。，平面平面ABCD=3D,故平面依D.PDu 平面 PBD,故 AELPD.PDAB, AEI AB = A9 故 PZ)_L 平面 A5CD(2)如下图：过E作EF_LPB于F ,连接Cb.BCCD, BC = CD, E 为 3。中点，故 ECLBD,故石平面 P&ZEF A.PB,故/E产。为二面角C依一。的平面角.cos ZEFC =, ijftanZEFC = V5 , E

11、C = 1,故=且65PD 1-PD = 1.BD 2sin /PBD =匹=&，tan /PBD = L ,即 EB 524B【点睛】此题考查了线面垂直，根据二面角求长度，意在考查学生的计算能力和空 间想象能力.4 【答案】【解析】 【分析】连接2c AC，可得异面直线AB与AD.所成角为DC与AD.所成角，即乙40。,再利用余弦定理求解即可.【详解】连接RC AC ,那么异面直线A啰与AD1所成角为DC与AD.所成角即 ZAD.C.又 DA = DC =4f+22 =假设，AC =，仔 + 产=0.故 cosNADQ 叁2 = 2x55I H4故答案为：【点睛】此题主要考杳了线线角的求解方

12、法，需要根据题意平移线段,构造三角形利 用余弦定理求解.属于基础题.2 .正四棱柱A8CO AAGR中，AA, = 2AB , 为人人中点，那么异面直线BE与CR所形成角的余弦值为.I答案庠【解析】【详解】如图:连结艮4i，那么BAJ/CO,所以即为异面直线与所成角，设= 1,那么jE=1,也% =2, BE = x/P + P = /2, AiB= + 12 = 6 AXE = 19 由余弦定理得cos乙4iBE =AiB2 + EB2-AiE22AB EB5 + 2-13v/l02x/5xx/210.如图，圆柱的轴截面AB4A是正方形，。是圆柱下底面弧AB的中点，G是圆柱上底面弧A片的中点

13、，那么异面直线AG与BC所成角的正切值为【答案】V2【解析】【分析】取圆柱下底面弧的另一中点。，连接G。,直线AC与AD所成角等于异 面直线AG与BC所成角，利用圆柱的轴截面A34A是正方形,GO=Qad,从而可 得结论.取圆柱下底面弧A3的另一中点。，连接GRA。，那么因为C是圆柱下底面弧A8的中点，所以AQ3C,所以直线AG与A。所成角等于异面直线AG与所成角.因为G是圆柱上底面弧A的中点，所以CQ_L圆柱下底面，所以CQ_LAQ.因为圆柱的轴截面是正方形，所以 CQ = Ji4。，所以直线AG与AD所成角的正切值为血.所以异面直线AG与8C所成角的正切值为故答案为:血.【点睛】此题考查异

14、面直线成角问题，用异面直线成角的定义做出角,通过解三角形 求得，难度容易.3 .如图，A3是圆0的直径，点。是弧A3的中点，分别是的中点，求异面直线。石与A3所成的角D【答案】45【解析】【分析】A3是圆。的直径，点C是弧的中点得到ABC是等腰直角三角形，求得 ZABC = 45。，由得。石/ /5C得到。E与A5所成的角为ZABC = 45。.【详解】QA8是圆。的直径，.3CJLAC.点 C 是弧 AB 的中点，.二 BC = AC, -* NABC = 45.在VBC中，。,分别为V3WC的中点，二。石/BC,。石与所成的角为ZABC = 45.故答案为：45【点睛】此题考查异面直线所成

15、的角，其思路是作、证、求，作出异面直线所成的 角是关键，一般通过平行得到.属于基础题.5 .三棱柱ABC-AMG的侧棱与底面边长都相等，4在底面A3C上的射影为BC的中点,那么异面直线AB与CC,所成的角的余弦值为.3【答案】44【解析】【分析】根据三棱柱的性质可知，C.C/M.A,异面直线与CG所成的角就是/AA3,连接48,利用余弦定理即可求解.【详解】作出草图，如下:由三棱柱的性质可知，GC/4A，异面直线A3与CG所成的角就是N4AB,连接A5,又三棱柱abc-abc的侧棱与底面边长都相等，4在底面A3。上的射影为5C的中点，所以AO_L8C, 三角形是直角三角形， 设 DB = 1,

16、那么 AB = A A = 2 .又ATJ_BC.4。=6.4。=1 , 所以= 0.在AA|A5中，由余弦定理可知:cosZA1AB =4 A2+Ag2_A22A.AAB_4 + 4 2_ 32x2x2 43故答案为：.4【点睛】此题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审 题，注意空间思维能力的培养.考法二线面角.如图，在正方体A3C。-A4GR中，A用与平面AAG所成角的余弦值是【答案】也 2【解析】分析依据正方体的特点，连接42交AC于。，可证/月4。是直线A瓦与平面AAG所成角，再根据直角三角形4AG，可求出N4。的大小，进而求出余弦值.【详解】如图，连接耳。交A

17、G于0,那么4G_L4A，又正方体中 M 1平面a4cA , BR q平面AB.C.D, A A4. 1 4A，而 A41cde1=A，4。1平面4。1,/瓦AO是直线Ag与平面A4G所成角，在直角三角形4月G中，ABi=BiQ ,所以/44。= 45。，所以余弦值为丰.故答案为：巫2Bi【点睛】此题考查求线面角，考查线面垂直的证明，熟悉正方体的特点和线面角的 定义是解答此题的关键，属于基础题.7.如图，在直三棱柱ABC AgG中，。为AC的中点.假设=7TZABC = -.求CC与平面所成角的正弦值【答案】走3【解析】【分析】过点。作于点，根据线面垂直的关系可证明CHJ_平面8a。，所以/C

18、CQ为CG与平面所成的角，设AB = 2。，在直角三角形CCQ中，即可求出正弦值的大小.【详解】过点。作CJLCQ于点”，如图,三棱柱ABC - a AG为直三棱柱，* CC-L 平面 ABC. BDu 平面 ABC, /. CCX BD.AB = BC,。为 AC 的中点，：.BDAC.又CCJAC=C，3。_1平面人。|，TCHu平面 ACG，A BD1CH.又 CH 人 C】D , C、D BD = D ,/CC、D为CC.与平面8CQ所成的角设 AB = 2a,那么 C7) =&CxD = yj6a ,./rr 八_ CD _ 叵a _ a/3CXD 46a3【点睛】此题考查立体几何求线面角，考查线面线面垂直的证明，考查学生的空间 想象能力和作图能力，属于中档题.8.如图，四棱锥P-ABC。的侧棱PD_L底面A8C。，且底面A8CQ是直角梯 形，ADCD9 ABI/CD, AB = 2AD = 4, DC = 6, PD = 3 ,点 M在棱 PC 上， 且 PC = 3CAf .