江苏省2015届高三数学第六次联考试题 文.doc

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1、江 苏 大 联 考2015届高三第六次联考数学试卷考生注意:1.本试卷分数学试题,共160分,考试时间120分钟;数学(附加题),共40分,考试时间30分钟.2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处进行裁剪.5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.数学试题一、填空题.(本大题共14小题,每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.)1.已知集合A=2,0,1,B=1,0,5,则AB=.2.设(1-i)z=3-2i(i为虚数单位),则|z|=.3.一个总体A、B两层的个数比为32,用分层抽样方法从总体中

2、抽取一个容量为20的样本,则A层中应抽取个.4.执行如图所示的程序框图,若输入的x值为3,则输出的x值为.5.设变量x、y满足则目标函数z=2x+y的最小值为.6.口袋中有形状和大小完全相同的四个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中随机抽取两个球,则取出的两个球的编号之和大于5的概率为.7.已知cos(+)=,则sin 2=.8.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在AA1,CC1上,且AE=AA1,CF=CC1,点A,C到BD的距离之比为23,则三棱锥EBCD和FABD的体积比=.9.函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)的部分图象如图所示,则f(2015)=.

3、10.在ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是.11.设奇函数f(x)在-1,1上是增函数,且f(-1)=-1,若函数f(x)0)与双曲线-=1(a0,b0)有相同的焦点F,P是两曲线的公共点,且|PF|=p,则此双曲线的离心率为.14.以(0,m)间的整数(m1,mN)为分子,以m为分母组成分数集合A1,其所有元素和为a1;以(0,m2)间的整数(m1,mN)为分子,以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2,其所有元素和为a2;,依次类推以(0,mn)间的整数(m1,mN)为分子,以mn为分母组成不属于A1,

4、A2,An-1的分数集合An,其所有元素和为an,则a1+a2+an=.二、解答题.(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a=c,cos C=.(1)求sin B的值;(2)若D为AC中点,且ABD的面积为,求BD的长度.16.(本小题满分14分)如图,已知AD平面ABC,CE平面ABC,F为BC的中点,若AB=AC=AD=CE.(1)求证:AF平面BDE;(2)求证:平面BDE平面BCE.17.(本小题满分14分)我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了800万元修复

5、和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f(x)与第x天近似地满足f(x)=8+(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22|(元).(1)求该村的第x天的旅游收入p(x)(单位:千元,1x30,xN*)的函数关系;(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入,并以纯收入的5%的税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?18.(本小题满分16分)已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,且过点P(,),记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程;(2)过点A作两条斜率分别为k1,k

6、2的直线交椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证:直线DE恒过一个定点.19.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ex.(1)当x0时,设g(x)=f(x)-(a+1)x(aR).讨论函数g(x)的单调性;(2)证明:当x,1时,f(x)k都成立,则称数列an为k级等比数列.(1)若an=2nsin(n+)(为常数),且an是3级等比数列,求所有可能值的集合;(2)若正项数列an既为2级等比数列,也为3级等比数列,证明:an为等比数列.数学(附加题)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A

7、.选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图,圆M与圆N交于A,B两点,以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点,延长DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知BC=5,DB=10,求.B.选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A=,且A=,求直线l1:x-y+1=0在矩阵A对应的变换下得到的直线l2的方程.C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线C的参数方程为(为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C.若点A在曲线C上,点B(3,0),当点A在曲线C上运动时,求AB中点P的轨迹方程.D.选修4-5:不等式选讲(本小

8、题满分10分)已知a,b,c均为正数,且a+b+c=3,求证:+3.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在几何体SABCD中,AD平面SCD,BC平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,SDC=120.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值;(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值.23.(本小题满分10分)某公司财务部和行政部需要招人,现有甲、乙、丙、丁四人应聘,其中甲、乙两人各自独立应聘财务部,丙、丁两人各自独立应聘行政部,已知甲、乙两人各自应聘成功的概率均为,丙、丁两人各自应

9、聘成功的概率均为.(1)求财务部应聘成功的人数多于行政部应聘成功的人数的概率;(2)记该公司被应聘成功的总人数为X,求X的分布列和期望.2015届高三第六次联考数学试卷参 考 答 案1.2,0,1,5根据并集的计算知AB=2,0,1,5.2.由(1-i)z=3-2i,得z=,所以|z|=.3.12A层应抽取20=12个.4.127若输入的x=3,则x=23-1=7,而7126,故x=27-1=127,而127126,故x=27-1=127,所以输出的x值为127.5.2画出可行域可知当目标函数过点(1,0)时取得最小值,最小值为z=21+0=2.6.从4个球中随机抽取两个球,共有6种抽法.满足

10、两球编号之和大于5的情况有(2,4),(3,4)共2种取法.所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为=.7.cos2(+)=2cos2(+)-1=2-1=-,cos2(+)=cos(2+)=-sin 2,sin 2=.8.因为点A,C到BD的距离之比为23,所以=,设AA1=a,则三棱锥EBCD的高为a,三棱锥FABD的高为a,故=.9.-由图可知A=2,T=4(6-4)=8,=,f(x)=2sin(x+),又f(6)=-2,即sin(6+)=-1,可得=0,f(x)=2sinx,f(2015)=2sin=-2sin=-.10.(-,0)依题意,设=,其中1,则有=+=+=+(-)=(1-)+

11、.又=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-(-,0),即x的取值范围是(-,0).11.(-,-2)(2,+)根据题意,f(x)在-1,1上是增函数,且最大值为f(1)=-f(-1)=1,若函数f(x)t2-2at+1对所有的x-1,1都成立,则1t2-2at+1,即00在a-1,1时恒成立,则有解得t2或t-2.12.(-,)因为|PO|2+r2=|PC|2(c为圆心,r为圆的半径),所以+2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P

12、点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).13.3设双曲线的左焦点为F1,由题可知抛物线的准线方程为x=-,F(,0),F1(-,0),c=.由抛物线的定义知点P到准线的距离为p,所以可得点P的横坐标为p-=,纵坐标为p,即点P的坐标为(,p),|PF1|2=(+)2+(p)2=p2,|PF1|=p,2a=|PF1|-|PF|=p-p=p,即a=p,e=3.14.依题意可得a1=.因为以m2为分母组成属于集合A1的元素为,即,.而这些元素的和为a1,所以a2=-a1,即=a1+a2.同理=a1+a2+a3,=a1+a2+a3+an.所以可得a1+a2+an=.15.解:(1)由cos C=,得s

13、in C=,由正弦定理得sin A=,ac,AC,A(0,),cos A=,sin B=sin(A+C)=+=.7分(2)sin B=sin C,B=C,b=c.由ABD的面积为,csin A=c2=,得c=2,BD2=12+22-212=,BD=.14分16.证明:(1)取BE的中点G,连结GF,GD.因为F是BC的中点,则GF为BCE的中位线.所以GFEC,GF=CE.因为AD平面ABC,CE平面ABC,所以GFAD.又因为AD=CE,所以GF=AD.所以四边形GFAD为平行四边形.所以AFDG.因为DG平面BDE,AF平面BDE,所以AF平面BDE.7分(2)因为AB=AC,F为BC的中

14、点,所以AFBC.因为EC平面ABC,所以AFEC,所以AF平面BCE.因为AFDG,所以DG平面BCE.又DG平面BDE,所以平面BDE平面BCE.14分17.解:(1)依据题意,有p(x)=f(x)g(x)=(8+)(143-|x-22|)(1x30,xN*)=6分(2)当1x22,xN*时,p(x)=8x+9762+976=1152(当且仅当x=11时,等号成立).因此,p(x)min=p(11)=1152(千元).当221116,所以,日最低收入为1116千元,该村两年可收回的投资资金为111620%5%30122=8035.2(千元)=803.52(万元).因为803.52万元800

15、万元,所以该村两年内能收回全部投资资金.14分18.解:(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为x2+2y2=1.6分(2)因为A(-1,0),所以直线AD:y=k1(x+1),直线AE:y=k2(x+1).联立,消去y,得(1+2)x2+4x+2-1=0,解得x=-1或x=,故点D(,).同理,E(,).又k1k2=2,故E(,).故直线DE的方程为y-=(x-),即y-=(x-),于是y=x+.所以2y-(3x+5)k1+4y=0.则令得直线DE恒过定点(-,0).16分19.解:(1)g(x)=ex-(a+1)x,所以g(x)=ex-(a+1).当x0时,ex1,故有:当a+11,即a0时

16、,x(0,+),g(x)0;当a+11,即a0时,ex1,令g(x)0,得xln(a+1);令g(x)0,得0x0时,g(x)在(0,ln(a+1)上是减函数,在(ln(a+1),+)上是增函数.8分(2)设h(x)=f(x)-(x2+x+1)=ex-x2-x-1,则h(x)=ex-2x-1,令m(x)=h(x)=ex-2x-1,则m(x)=ex-2,因为x,1,所以当x,ln 2)时,m(x)0,m(x)在(ln 2,1上是增函数,又m()=-20,m(1)=e-30,所以当x,1时,恒有m(x)0,即h(x)0,所以h(x)在,1上为减函数,所以h(x)h()=-0,即当x,1时,f(x)

17、x2+x+1.16分20.解:(1)an是3级等比数列,=,2nsin(n+)2=2n-3sin(n+)-32n+3sin(n+)+3,sin2(n+)=sin(n+)-3sin(n+)+3=sin2(n+)cos23-cos2(n+)sin23=sin2(n+)(1-sin23)-1-sin2(n+)sin23=sin2(n+)-sin23,sin23=0,3=k(kZ),=(kZ),|=,kZ.7分(2)若an为2级等比数列,=,则a2n-1,a2n均成等比数列,设等比数列a2n-1,a2n的公比分别为q1,q2(q1q20),an为3级等比数列,=,则a3n-2成等比数列,设公比为Q(Q

18、0).9分a1,a7既是a2n-1中的项,也是a3n-2中的项,=Q2,a4,a10既是a2n中的项,也是a3n-2中的项,=Q2,=Q2,q1=q2.12分设q1=q2=q2(q0),则Q=q3,所以a2n-1=a1=a1q2n-2(nN*),a2n=a2=a2q2n-2(nN*),又a4=a1Q=a1q3,a4=a2q2=a2q2,所以a2=a1q,14分a2n=a1q2n-1(nN*),所以,a2n-1=a1q2n-2,a2n=a1q2n-1(nN*),综合得:an=a1qn-1(nN*),显然an为等比数列.16分21.A.解:根据弦切角定理,知BAC=BDA,ACB=DAB,ABCD

19、BA,则=,故AB2=BCBD=50,AB=5.5分根据切割线定理,知CA2=CBCF,DA2=DBDE,两式相除,得=(*).由ABCDBA,得=,=,又=,由(*)得=1.10分B.解:因为A=,所以=,可得,所以,A=,=-7-(-6)=-1,所以A-1=.5分设直线l1上任一点P1(x1,y1)在矩阵A对应的变换下得到的直线l2上的对应点P(x,y),由题意可得=,所以,从而有,代入方程x-y+1=0得直线l2的方程4x-y+1=0.10分C.解:将代入,得C的参数方程为,曲线C的普通方程为x2+y2=1.5分设P(x,y),A(x0,y0),又B(3,0),且AB中点为P,所以有.又

20、点A在曲线C上,代入C的普通方程+=1得(2x-3)2+(2y)2=1,动点P的轨迹方程为(x-)2+y2=.10分D.解:+a2b,+b2c,+c2a,+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c=3,当且仅当a=b=c=1时取等号.10分22.解:过点D作DC的垂线交SC于E,以D为原点,分别以DC,DE,DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系.SDC=120,SDE=30,又SD=2,则点S到y轴的距离为1,到x轴的距离为.则有D(0,0,0),S(-1,0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1).2分(1)设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),=(2,0,-1),=(-1,-2).则有,取x=,得n=(,5,2).又=(3,-,0),设SC与平面SAB所成角为,则sin =|cos|=,故SC与平面SAB所成角的正弦值为.6分(2)设平面SAD的法向量为m=(x0,y0,z0),=(0,0,-2),=(-1,-2),则有,取x0=,得m=(,1,0).cos=,故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是10分23.解:(1)P=2+=.3分(2)X可取0,1,2,3,4,P(X=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=+=,P(X=3)=+=,P(X=4)=.X的分布列为X01234PE(X)=0+1+2+3+4=.10分8