【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第2篇 第12节 定积分的概念及简单应用课时训练 理.doc

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1、【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第2篇 第12节 定积分的概念及简单应用课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号求定积分1、2、7定积分求面积4、8、13、16定积分的物理应用3、5、12由定积分求参数6、9综合应用10、11、14、15基础过关一、选择题1.设函数f(x)=则定积分f(x)dx等于(C)(A)(B)2(C)(D)解析:f(x)dx=x2dx+1dx=x3+x=.故选C.2.(2014厦门模拟)设函数f(x)=xm+ax的导函数f(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1,

2、所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,所以f(-x)dx=(x2-x)dx=(x3-x2)=.故选A.3.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为(A)(A)0.18 J(B)0.26 J(C)0.12 J(D)0.28 J解析:由物理知识F=kx知,1=0.01k,k=100 N/m,则W=100xdx=50x2=0.18(J).故选A.4.(2014合肥模拟) 如图,由函数f(x)=ex-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积等于(B)(A)e2-2e-1(B)e2-2e(C)(D)e2-2e+1解析:由已知得S=f(x)dx=(ex-e

3、)dx=(ex-ex)=(e2-2e)-(e-e)=e2-2e.故选B.5.一质点运动时速度与时间的关系式为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间1,2内的位移为(A)(A)(B)(C)(D)解析:v(t)0,质点在1,2内的位移s即为v(t)在1,2上的定积分,s=v(t)dt=(t2-t+2)dt=.故选A.6.(2014中山模拟)已知t0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于(B)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:(2x-1)dx=2xdx-1dx=x2-x=t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).故选B.二、填空题7.(2014昆明模拟)(+)2dx=.解析:(+)

4、2dx=(x+2)dx=(x2+ln x+2x)=+ln .答案:+ln 8.(2014南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图象如图所示,曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为.解析:所求区域面积为S=(3-)dx+(3-x)dx=4-ln 3.答案:4-ln 39.已知曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边图形的面积为,则k=.解析:由得或则曲线y=x2与直线y=kx(k0)所围成的曲边图形的面积为(kx-x2)dx=(x2-x3)=-k3=,即k3=8,k=2.答案:210.(2014成都模拟)函数y=(sin t+cos tsin

5、 t)dt的最大值是.解析:y=(sin t+cos tsin t)dt=(sin t+sin 2t)dt=(-cos t-cos 2t)=-cos x-cos 2x+=-cos x-(2cos2x-1)+=-cos2x-cos x+=-(cos x+1)2+22,当cos x=-1时取等号.答案:2三、解答题11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f(0)=0,f(x)dx=-2,(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在-1,1上的最大值与最小值.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f(0)=0,得即f(x)=ax2+2-a.

6、又f(x)dx=(ax2+2-a)dx=ax3+(2-a)x=2-a=-2,a=6,从而f(x)=6x2-4.(2)f(x)=6x2-4,x-1,1.当x=0时,f(x)min=-4;当x=1时,f(x)max=2.12.做变速直线运动的质点的速度方程是v(t)=(单位:m/s).(1)求该质点从t=10 s到t=30 s时所走过的路程;(2)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程.解:(1)s1=v(t)dt=tdt+20dt=350(m).(2)该质点从开始到结束需100 s,走过的路程为s2=v(t)dt=tdt+20dt+(100-t)dt=1600(m).能力提升13.(2014珠

7、海模拟)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且t(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由得交点(t,t2).故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=(t2x-x3)+(x3-t2x)=t3-t2+,令S=4t2-2t=0,因为0t1,所以t=,易知当t=时,Smin=.故选A.14.(2014济宁一模)如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲线y=ax2经过点B,现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是.解析:y=ax2过点B(2,4),a=1,所求概率为

8、1-=1-x3=.答案:15.(2014重庆模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y= -t2+8t(其中0t2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.(1)求a,b,c的值;(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.解:(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,则解得(2)由(1)得f(x)=-x2+8x,由得x2-8x-t(t-8)=0,所以x1=t,x2=8-t.因为0t2,所以直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8

9、t).由定积分的几何意义知S(t)=(-t2+8t)-(-x2+8x)dx+(-x2+8x)-(-t2+8t)dx=(-t2+8t)x-(-+4x2)+(-+4x2)-(-t2+8t)x=-t3+10t2-16t+.所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0t2).探究创新16.(2014武汉模拟)曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积是.解析:作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x的图象,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得交点(1,1),(0,0).解方程组得交点(3,9),(0,0),因此,所求图形的面积为S=(3x-x)dx+(3x-x2)dx=2xdx+(3x-x2)dx=x2+(x2-x3)=1+(32-33)-(12-13)=.答案:9