广东省2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 立体几何 理.doc

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1、广东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练立体几何2016年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。立体几何在全国卷中占据着重要的位置，既在选择或填空题出现，又在解答题中出现，一般考试2-3题，既考查立体几何知识，又考试立体几何知识在实际问题中的应用。一、选择、填空题1、（2015年全国I卷）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺

2、，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛2、（2015年全国I卷）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（A）1（B）2（C）4（D）83、（2014年全国I卷）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为. . .6 .44、（2013年全国I卷）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，

3、容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A、cm3B、cm3 C、cm3 D、cm35、（2013年全国I卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. . . .6、（佛山市2015届高三二模）已知a, b, c均为直线，, 为平面.下面关于直线与平面关系的命题：（1）任意给定一条直线a与一个平面，则平面内必存在与a垂直的直线；（2）任意给定的三条直线a, b, c，必存在与a, b, c都相交的直线；（3）/，必存在与a, b都垂直的直线；（4），若a不垂直c，则a不垂直b.其中真命题的个数为（）A

4、1B2C3D47、（广州市2015届高三二模）如图2，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A B C D 8、（华南师大附中2015届高三三模）某三棱锥的三视图如图二所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 * .9、（惠州市2015届高三4月模拟）多面体的底面矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )A B C D10、（茂名市2015届高三二模） 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A B C D

5、411、（梅州市2015届高三一模）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A、30B、12C、24D、412、（汕头市2015届高三二模）某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长度：cm，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去铁皮的面积为（制作过程中铁皮的损耗和厚度忽略不计）A B. C. D. 图1正视图侧视图俯视图13、（深圳市2015届高三二模）如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）ABCD14、（汕尾市2015届高三上期末）已知直线平面，直线平面，则下列四个结论：若，则若，则若，则若，则。 其中正确的结论的序号是（

6、 ） A. B. C. D.15、（韶关市2015届高三上期末）如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（ ） A B C D二、解答题1、（2015年全国I卷）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面AEC平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 2、（2014年全国I卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=BC求二面角的余弦值.3、（2013年全国I卷）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1

7、，BA A1=60.（）证明ABA1C;（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。4、（佛山市2015届高三二模）如图2，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2，ABC1200，D为AC的中点，P为棱A1B上的动点.（1） 探究：AP能否与平面A1BC垂直？（2） 若AA1，求二面角A1BDB1的余弦值. 5、（广州市2015届高三二模）C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1图5如图5，已知六棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，分别是棱，上的点，且（1）证明：，四点共面；（2）求直线与平面所成角的正弦值6、（华南师大附中2

8、015届高三三模）如图，已知斜三棱柱,在底面上的射影恰为的中点, 又知 () 求证：平面； () 求到平面的距离； () 求二面角的平面角的余弦值7、（惠州市2015届高三4月模拟）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面底面，为的中点，是棱上的点，（1）求证：平面平面；（2）若二面角为，设，试确定 的值8、（茂名市2015届高三二模）在四棱锥中, 平面, ,底面是梯形, ，（1）求证:平面平面;（2）设为棱上一点,试确定 的值使得二面角为60.9、（梅州市2015届高三一模）如图，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AC2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将ADE折起，得到如图所示的四棱

9、锥，F是的中点。（1）求证：EF平面；（2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值。10、（汕头市2015届高三二模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，BAC=1200，且AB=AC=AP，M是PB的中点，N在BC上，且BN=BC。（1）求证：MNAB，（2）求二面角P-AN-M的余弦值。11、（深圳市2015届高三二模）如图4，已知三棱锥的三条侧棱，两两垂直，为等边三角形， 为内部一点，点在的延长线上，且（1）证明：；（2）证明：平面平面；图4（3）若，求二面角的余弦值12、（珠海市2015届高三二模）如图为一多面体ABCDE ，四边形ACDE 是边长为2 的菱形，其所

10、在平面与平面ABC垂直， AB = BC=，EAC = ，F、G分别是 AC 、BD中点（1）求证： FG /平面ABE ；（2）求二面角 A-BE - D的正弦值13、（韶关市2015届高三上期末）如图，是边长为的正方形，是矩形，平面平面,为的中点(1)求证：/平面；(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正切值. 14、（深圳市2015届高三上期末）在三棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点 在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；侧视图正视图图5

11、俯视图z图6OPyx（3）求点到面的距离15、（肇庆市2015届高三上期末）如图，四棱柱中，底面ABCD，且. 梯形ABCD的面积为6，且AD/BC，AD=2BC，CD=2. 平面与交于点E. （1）证明：EC/；（2）求三棱锥的体积；（3）求二面角的大小.参考答案一、选择、填空题1、【答案】B考点：圆锥的体积公式2、【答案】B考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式3、【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，其中，故最长的棱的长度为，选C4、【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为

12、4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，球的体积为=，故选A.5、【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为 =，故选.6、B（1），（3）正确；当a/b，且a, b，c/时（2）错误；若故（4）错误。7、B8、9、【解析】用割补法可把几何体分割成三部分,可得，故选C10、B11、C12、A13、C14、C15、C二、解答题1、【答案】（）见解析（），EGFG，ACFG=G，EG平面AFC，EG面AEC，平面AFC平面AEC. 6分（）如图，以G

13、为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（）可得A（0，0），E(1,0, )，F（1,0，），C（0，0），=（1，），=（-1，-，）.10分故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 12分考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力2、【解析】：()连结，交于O，连结AO因为侧面为菱形，所以，且O为与的中点又，所以平面，故=又，故 6分（）因为且O为的中点，所以AO=CO=又因为AB=BC=，所以故OAOB，从而OA，OB，两两互相垂直以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐

14、标系O-因为，所以为等边三角形又AB=BC=，则，设是平面的法向量，则，即 所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则，所以二面角的余弦值为.3、【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】（）取AB中点E，连结CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； 6分（）由（）知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0

15、,0,),B(1,0,0),则=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=，直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为. 12分4、5、第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接，在四边形中，且，C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1在四边形中，且，所以且，所以四边形是平行四边形所以2分在中，所以，所以4分所以C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以，四点共面6分（2）解：以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，8分则，10分设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量1

16、2分设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值为14分第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点为坐标原点，所在的直线C1ABA1B1D1CDMNEFE1F1分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，2分所以， 3分因为，且与不重合，所以5分所以，四点共面6分（2）解：由（1）知，10分 （特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量12分设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成角的正弦值为14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接，在四边形中，且，在四边形中，且，C

17、1ABA1B1D1CDMNEFE1F1所以且，所以四边形是平行四边形所以2分在中，所以，所以4分所以所以，四点共面6分（2）连接，因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角7分连接，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，则8分因为，即9分在边长为3的正六边形中，在中，由余弦定理可得，在中，所以在中，所以在中，由余弦定理可得，所以所以11分又，所以13分所以故直线与平面所成角的正弦值为14分6、解法：()平面,平面平面,又,平面, 得,又, ，平面.4分()平面，,四边形为菱形,故,又为中点,知.即ACA1为等边三角形，取中点,则CFAA1,由(1)可知平面,BCAA1, CFBC=

18、C，平面,AA1平面A1AB，从而面面,6分过作于,则面,在中,则BF=，由面积法可得,即到平面的距离为.9分（用体积转移法同样给分） ()过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,10分在中,CH=,则HG=，cosCGH=故二面角的余弦值为. 14分 解法：()如图,取的中点,则,又平面,以为轴建立空间坐标系, 1分则,由,知,又,，从而平面.4分 ()由,得.设平面的法向量为,设,则. 6分点到平面的距离.9分 ()设面的法向量为,.10分设z= -1,则, 设二面角的平面角为，则，可知二面角的余弦值为.14分7、解答：（）证法一：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为

19、平行四边形，CDBQ 1分ADC=90，AQB=90，即QBAD 2分又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，4分BQ平面PAD 5分BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 6分证法二：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ 1分ADC=90AQB=90，即QBAD 2分PA=PD，PQAD 3分PQBQ=Q ， 4分AD平面PBQ 5分AD平面PAD，平面PQB平面PAD 6分（）法一：PA=PD，Q为AD的中点，PQAD面PAD面ABCD，且面PAD面ABCD=AD，PQ面ABCD7分如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量

20、为；8分，设，则，9分,，10分在平面MBQ中，平面MBQ法向量为12分二面角为30，得14分法二：过点作/交于点，过作交于点，连接，因为面,所以面，由三垂线定理知，则为二面角的平面角。9分（没有证明扣2分）设，则，EE，10分，且三线都共面，所以/， 11分在中，13分 解得 14分8、（1）证明：平面，在梯形中，过点作作，在中，又在中，.3分 . 5分. 6分 7分（2）法一：过点作交于点,过点作垂直于于点,连. 8分由（1）可知平面,平面,平面, ，是二面角的平面角， 10分 ， ，由（1）知=,，又 12分 ， . 14分（2）法二：以为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系 (如图)

21、则. 令,则 . 9分平面, 是平面的法向量. 10分设平面的法向量为.则 ，即 即 .令,得 12分二面角为, 解得, 在棱上, 为所求. 14分9、（1）证明：取中点，连接.则由中位线定理可得，1分同理，所以，从而四边形是平行四边形， 3分 所以又面，平面，所以平面 5分 （2）在平面内作于点.平面.又，故底面，即就是四棱锥的高 7分由知，点和重合时，四棱锥的体积取最大值 8分分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 9分设平面的法向量为，由,得，可取 11分平面的一个法向量 12分故， 13分所以平面与平面夹角的余弦值为 14分 (连,可以证明即为所求二面角的平面角,易求.

22、参照法一给分)10、11、证明：（1）因为，两两垂直，所以，又为等边三角形，所以，故 3分（2）因为，两两垂直，所以，平面，而平面，所以5分取中点，连结，由（1）知，所以由已知，所以所以，平面，而平面，所以 7分所以，平面，又，所以，平面平面9分图4解：（3）（法一）由（2）知平面，所以平面平面，且平面平面，过点作平面，且交的延长线于点，连接，因为，由（1）同理可证，在中，所以，又因为，所以平面，所以为二面角的平面角， 11分在直角中， 12分由（2）知，所以为等腰直角三角形，所以，所以，所以，二面角的余弦值为 14分（法2）如图6，以，所在的直线分别为，轴，建立空间直角坐标系由（1）同理可证

23、， 设，则，设，其中，O图6由，由（2）知，且，得解之，得， 11分所以，设平面的法向量为， 由，得取，得，由（2）知，平面的法向量为，13分记二面角的平面角为，由图可得为锐角，所以所以，二面角的余弦值为 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力12、13、14、解：（1）三棱锥直观图如图1所示；由三视图知和是直角三角形 3分（2）（法一）：如图2，过作交于点，由三视图知为等腰三角形， ，取的中点，过作且交于点，连接，EFHAz图2O(B)PyCx因为，由三视图知面，且面，所以，又由，所以面

24、，由面，所以，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角6分， 8分在直角中，有所以，二面角的正切值为 9分（法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，HAz图3O(B)PyCx，由图3所示的坐标系，及三视图中的数据得：，则， ,设平面、平面的法向量分别为、设，由，得，令， 得，即 6分设，由，得，令， 得，即 7分，8分而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为9分（3） （法一）：记到面的距离为，由（1）、（2）知， ， 12分三棱锥的体积， 13分由，可得： 14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，记到面的距离为， 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何

25、体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力15、（1）证明：因为，所以. （1分）因为，所以. （2分）又，所以. （3分）又，所以EC/. （4分）（2）解：因为，BC/AD，AD=2BC，所以. （6分）所以. （8分）（3）解法一：如图，在中，作于F，连接. （9分）因为底面ABCD，所以.又，所以.又，所以. （10分）所以为二面角的平面角. （11分）由（2）得，所以. （12分）所以， （13分）所以，即二面角的大小为. （14分）解法二：如图，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系. （9分）设，BC=a，则AD=2a.因为，所以.（10分）所以， 所以，. （11分）设平面的一个法向量，由，得，所以.（12分）又平面ABCD的一个法向量， （13分）所以，所以二面角的大小为. （14分）33