导数综合题经典百题.pdf

《导数综合题经典百题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数综合题经典百题.pdf（88页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1导数综合题经典百题导数综合题经典百题1已知函数( )ln ,f xxax其中 a 为常数，且1a .（）当1a 时，求( )f x在2e,e （e=2.718 28）上的值域；（）若( )e 1f x 对任意2e,e x恒成立,求实数 a 的取值范围.2. 已知函数.,1ln)(Raxxaxf（I）若曲线)(xfy 在点)1 (, 1 (f处的切线与直线02yx垂直，求 a 的值；（II）求函数)(xf的单调区间；（III）当 a=1，且2x时，证明：. 52) 1(xxf3. 已知322( )69f xxaxa x（aR） （）求函数( )f x的单调递减区间；（）当0a 时，若对0,3x

2、 有( )4f x 恒成立，求实数a的取值范围4已知函数).,() 1(31)(223Rbabxaaxxxf（I）若 x=1 为)(xf的极值点，求 a 的值；（II）若)(xfy 的图象在点（1，) 1 (f）处的切线方程为03 yx，（i）求)(xf在区间-2，4上的最大值；（ii）求函数)()2()( )(RmemxmxfxGx的单调区间5已知函数.ln)(xaxxf（I）当 a0 时，若存在 x 使得( )ln(2 )f xa成立，求a的取值范围.19.某种商品的成本为 5 元/ 件，开始按 8 元/件销售，销售量为 50 件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销

3、。经试销发现：销售价每上涨 1 元每天销售量就减少 10 件；而降价后，日销售量 Q（件）与实际销售价 x（元）满足关系：239(229107)xx(57)x19865xx(78)x（1）求总利润（利润销售额成本）y（元）与销售价 x（件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.20.已知函数21( )xg xxc的图像关于原点成中心对称 ，设函数21( )( )lnxcxf xg xx(1)求( )f x的单调区间;(2)已知xmex对任意(1,)x恒成立求实数m的取值范围(其中e是自然对数的底数)21.设函数xbxxfln) 1()(2，其中b为常数（）当21b时，判

4、断函数( )f x在定义域上的单调性；（）若函数( )f x的有极值点，求b的取值范围及( )f x的极值点；（）若1b ,试利用（II）求证：n3 时，恒有211ln1lnnnnn。22.已知函数221( )ln(1), ( ).1f xxg xax（1）求( )g x在( 2, ( 2)Pg处的切线方程; l（2）若( )f x的一个极值点到直线l的距离为 1，求a的值；（3）求方程( )( )f xg x的根的个数.23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线2( )1(0)

5、f xaxa 的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点 M、N，交曲线于点 P，设( ,( )P t f t（1）将OMN（O 为坐标原点）的面积S表示成t的函数( )S t；OxyMNPQ5（2）若在12t 处，( )S t取得最小值，求此时a的值及( )S t的最小值.24已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数(1) 求, a b的值；(2)若对任意的tR, 不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立, 求k的取值范围.25已知函数( )f x对任意实数x均有( )(2)f xkf x，其中常数k为负数，且( )f x在区间0,2上有表达式( )(2)f xx x.（1）求

6、( 1)f ，(2.5)f的值；（2）写出( )f x在3,3上的表达式，并讨论函数( )f x在3,3上的单调性；（3）求出( )f x在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.26已知函数3( )()f xx xa（0 x，aR）求函数)(xf的单调区间；求函数)(xf在1,8上的最大值和最小值27已知函数 xf为定义在 R 上的奇函数，且当0 x时， xxxxf22cos2cossin，求0 x时 xf的表达式；若关于x的方程 oaxf有解，求实数a的范围。28已知函数Nxxfy),(，满足：对任意, a bN，都有)()()(bafbbfaaf)(abf；对任意nN*都有

7、( )3f f nn（）试证明：( )f x为N上的单调增函数；（）求(1)(6)(28)fff；（）令(3 ),nnafnN，试证明：121111.424nnnaaa29已知函数axxxaxxf23) 1ln()(（）若32x为)(xfy 的极值点，求实数a的值；（）若)(xfy 在), 1 上为增函数，求实数a的取值范围；,6（）若1a时，方程xbxxf3)1 ()1 (有实根，求实数b的取值范围30已知函数Rxxfy),(满足)() 1(xafxf，a是不为0的实常数。（1）若当10 x时，)1 ()(xxxf，求函数1 , 0),(xxfy的值域；（2）在（1）的条件下，求函数Nnnn

8、xxfy,1,),(的解析式；（3）若当10 x时，xxf3)(，试研究函数yf(x)在区间, 0上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由。31已知函数 32f xxaxbxc 在,0上是减函数，在0,1上是增函数，函数 f x在R上有三个零点，且 1 是其中一个零点（1）求b的值；（2）求 2f的取值范围；（3）试探究直线1yx与函数 yf x的图像交点个数的情况，并说明理由32定义在R上的函babxaxxxf,()(23为常数）在 x=1 处取得极值，且)(xf的图像在 1,1Pf数处的切线平行与直线8yx.（1）求函数 f x的解析式及极值；（2）设0k ，求

9、不等式 f xkx的解集；（3）对任意112,sincos.27Rff 求证：33已知函数)()1ln()(Rxxexfx有下列性质： “若),(,0baxbax则存在，使得)()()(0 xfabafbf”成立。（1）利用这个性质证明0 x唯一；（2）设 A、B、C 是函数)(xf图象上三个不同的点，试判断ABC 的形状，并说明理由。34已知函数. 1ln)(),()(xxgRaaxxf（1）若函数xxfxxgxh2)(21)()(存在单调递减区间，求 a 的取值范围；（2）当 a0 时，试讨论这两个函数图象的交点个数35 设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称， 0D， 且存在常数 a

10、0， 使 f(a)=1， 又121212()()()1() ()f xf xf xxf xf x，（1）写出 f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；7（2）判断并证明函数 f(x)的奇偶性；（3）若存在正常数 T，使得等式 f(x)=f(x+T)或者 f(x)=f(x-T)对于 xD 都成立，则都称 f(x)是周期函数，T为周期；试问 f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期 T；若不是，则说明理由。36. 设 对 于 任 意 的 实 数, x y， 函 数( )f x，( )g x满 足1(1)( )3f xf x，且(0)3f,()( )2g xyg xy，(5)13g，

11、*nN（）求数列 ( )f n和 ( )g n的通项公式；（）设( )2nncgf n，求数列 nc的前项和nS;（） 设( )3nF nSn， 存在整数m和M,使得对任意正整数n不等式( )mF nM恒成立,求Mm的最小值.37对于定义在区间 D 上的函数( )f x，若存在闭区间 , a bD和常数c，使得对任意1 , xa b，都有1()f xc，且对任意2xD，当2 , xa b时，2()f xc恒成立，则称函数( )f x为区间 D 上的“平底型”函数.（）判断函数1( ) |1|2|f xxx和2( )|2|fxxx 是否为 R 上的“平底型”函数？并说明理由；（）设( )f x是

12、（）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式| |( )tktkkf x对一切tR 恒成立，求实数x的取值范围；（）若函数2( )2g xmxxxn是区间 2,)上的“平底型”函数，求m和n的值.38设函数 f(x)的定义域为 R，若|f(x)|x|对任意的实数 x 均成立，则称函数 f(x)为函数。（1）试判断函数)(1xf=xxsin)(2xf=1xxee中哪些是函数，并说明理由；（2）求证：若 a1，则函数 f(x)=ln(x2+a)-lna 是函数。39集合 A 是由具备下列性质的函数)(xf组成的：(1) 函数)(xf的定义域是0,)；(2) 函数)(xf的值域是 2,4)；(3

13、) 函数)(xf在0,)上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数1( )2(0)f xxx，及21( )46 ( ) (0)2xfxx 是否属于集合 A？并简要说明理由8（）对于（I）中你认为属于集合 A 的函数)(xf，不等式) 1(2)2()(xfxfxf，是否对于任意的0 x总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论40已知( )f x是定义在0,的函数，满足( )2 (1)f xf x设,1nIn n，nN当0,1x时，2( )f xxx 分别求当1xI、2xI、,1nxIn n时，( )f x的表达式1( )f x、2( )fx、( )nfx41. 已知函数axxaxf(3

14、)(3R，0a）.（I）求)(xf的单调区间；（II）曲线)( ,()(33afaxfy在点）处的切线恒过 y 轴上一个定点，求此定点坐标；（III）若3, 01axa，曲线)(,()(11xfxxfy在点处的切线与 x 轴的交点为（0 ,2x） ，试比较21xx 与的大小，并加以证明.42. 已知函数 f(x)=21ln, , 22axxaR xx()当1 2, )4a 时, 求( )f x的最大值;() 设2( ) ( )ln g xf xxx,k是( )g x图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得1k 恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.43.已知函数 f（）x

15、x1ln1(1)求函数的定义域;(2)确定函数 f（）在定义域上的单调性,并证明你的结论；(3)若当时，f（）1xk恒成立, 求正整数 k 的最大值。44. 已知函数( )logaf xx和( )2log (22),(0,1,)ag xxtaatR 的图象在2x 处的切线互相平行.() 求t的值；（）设)()()(xfxgxF，当1,4x时，( )2F x 恒成立，求a的取值范围.45. 已知函数bxxxaxf12) 1ln()(的图象与直线02 yx相切于点), 0(c。（1）求a的值；（2）求函数)(xf的单调区间和极小值。46. 已知函数3( )2f xxax与2( )g xbxcx的图

16、象都过点 P(2，0)，且在点 P 处有公共切线(1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程；(2)设( )( )ln(1)8mg xF xxx，其中0m，求 F(x)的单调区间47. 已知函数xxf)(，)1ln()(xxg，.1)(xxxh（1）证明：当0 x时，恒有);()(xgxf（2）当0 x时，不等式)0()(kxkkxxg恒成立，求实数 k 的取值范围;48. 已知函数 f(x)=x3bx2cxd 有两个极值点 x1=1, x2=2,且直线 y=6x1 与曲线 y=f(x)相切于 P 点.(1)求 b 和 c郝进制作(2)求函数 y=f(x)的解析式;9(3)

17、在 d 为整数时, 求过 P 点和 y=f(x)相切于一异于 P 点的直线方程.49. 已知函数 f(x)=x33ax(aR)(I)当 a=l 时，求 f(x)的极小值；()若直线菇 x+y+m=0 对任意的 mR 都不是曲线 y=f(x)的切线，求 a 的取值范围；()设 g(x)=|f(x)|，xl，1，求 g(x)的最大值 F(a)的解析式50. 已 知 函 数| 1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x 的 最 小 值 恰 好 是 方 程320 xaxbxc的三个根，其中01t （）求证：223ab；（）设1(,)x M，2(,)x N是函数32( )f xxaxbxc的两个

18、极值点若122|3xx，求函数( )f x的解析式；求|MN的取值范围51.已知函数 f(x)=31x3+21ax2+ax-2(aR),(1)若函数 f(x)在区间(-，+)上为单调增函数，求实数 a 的取值范围；(2)设 A(x1,f(x1)、B(x2,f(x2)是函数 f(x)的两个极值点，若直线 AB 的斜率不小于-65求实数 a 的取值范围.52.已 知 函 数),(32)(23Rcbacxbxaxxf的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 且 当1x时 ，32)(取极小值xf（1）求 a，b，c 的值；（2）当11，x时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论

19、53. 对于 x 的三次函数 f（x）= x3+（m24m + 2）x + m36m2+ 9m1（）若 f（x）有极值，求 m 的取值范围；（）当 m 在（1）的取值范围内变化时，求 f（x）的极大值和极小值之和 g（m） ，并求 g（m）的最大值和最小值54. 已知函数. 36)2(23)(23xxaaxxf（I）当 a 2 时，求 f(x)的极小值；（II）讨论方程 f(x) = 0 的根的个数.55. 设函数) 1)()(1()(aaxxxxf（1）求导数)(xf，并证明)(xf有两个不同的极值点；（2）若对于（1）中的21xx、不等式0)()(21xfxf成立，求a的取值范围。56.

20、已知Rt，函数.21)(3txxxf（）当 t=1 时，求函数)(xfy 在区间0，2的最值；10（）若)(xf在区间2，2上是单调函数，求 t 的取值范围；（） ）是否存在常数 t，使得任意6| )(|2 , 2xfx都有恒成立，若存在，请求出 t，若不存在请说明理由.57. 设x1、)0()()(223212axabxaxxfxxx是函数的两个极值点.（1）若2, 121xx，求函数f(x)的解析式；（2）若bxx求,22|21的最大值；（3）若)()()(,1221xxaxfxgaxxxx函数且，求证：.)23(121| )(|2aaxg58. 已知函数1163)(23axxaxxf，1

21、263)(2xxxg， 和直线9: kxym， 又0) 1( f（）求a的值；（）是否存在k的值，使直线m既是曲线)(xfy 的切线，又是)(xgy 的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由（）如果对于所有2x的x,都有)(9)(xgkxxf成立，求k的取值范围59. 设函数32( )f xxaxbx(0)x 的图象与直线4y 相切于(1,4)M（）求32( )f xxaxbx在区间(0,4上的最大值与最小值；（）是否存在两个不等正数, s t()st，当 , xs t时，函数32( )f xxaxbx的值域也是 , s t，若存在，求出所有这样的正数, s t；若不存在，请说明理由

22、；（）设存在两个不等正数, s t()st，当 , xs t时，函数32( )f xxaxbx的值域是,ks kt，求正数k的取值范围60. 已知函数 f(x)x4ax3bx2c，在 y 轴上的截距为5，在区间0，1上单调递增，在1，2上单调递减，又当 x0，x2 时取得极小值（）求函数 f(x)的解析式；（）能否找到函数 f(x)垂直于 x 轴的对称轴,并证明你的结论;（）设使关于 x 的方程 f(x)2x25 恰有三个不同实根的实数的取值范围为集合 A,且两个非零实根为x1、x2试问：是否存在实数 m，使得不等式 m2tm2|x1x2|对任意t3，3, A 恒成立？若存在，求 m 的取值范

23、围；若不存在，请说明理由61. 已知 f(x)=x3+bx2+cx+2.()若 f(x)在 x=1 时，有极值-1，求 b、c 的值；()当 b 为非零实数时，证明 f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0 平行的切线；()记函数|f(x)|(-1x1)的最大值为 M，求证：M23.62. 设函数( )|1|1|f xxax=+，已知( 1)(1)ff-=，且11()( )ffaa-=（aR，且 a0） ，函数1132( )g xaxbxcx（bR，c 为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点 A、B与坐标原点 O 在同一直线上。（1）试求 a、b 的值；（2）若

24、0 x 时，函数( )g x的图象恒在函数( )f x图象的下方，求正整数c的值。63. 已知函数32( )38f xxbxcx和32( )g xxbxcx（其中302b） ，( )( )5 ( )F xf xg x，(1)( )0fg m（1）求m的取值范围；（2）方程( )0F x 有几个实根？为什么？64. 已知函数 f(x)=32(Rxbxcxd bcd， ，且都为常数)的导函数为 f(x)=3xx42，且 f(1)=7，设 F(x)=f(x)-ax2(aR).()当 a0） ，设曲线 C1在点 A、B 之间的曲线段与线段 OA、OB 所围成图形的面积为 S，求 S 的值。（2）当);

25、,(),(,*,xyFyxFyxNyx证明时且（3）令函数)1(log, 1 ()(232bxaxxFxg的图象为曲线 C2，若存在实数 b 使得曲线 C2在) 14(00 xx处有斜率为8 的切线，求实数 a 的取值范围。71. （1）求证：当1a 时，不等式2(1)2xnax eex对于nR恒成立 .（2）对于在（0,1）中的任一个常数a，问是否存在00 x 使得0020012xxax eex 成立？如果存在，求出符合条件的一个0 x；否则说明理由。72. 把函数2lnxy的图象按向量)2 , 1(a平移得到函数)(xf的图象。（1）若0 x证明：22)(xxxf。（2）若不等式32)(2

26、1222bmmxfx对于 1 , 1x及 1 , 1b恒成立，求实数m的取值范围。73. 已 知 函 数| 1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x 的 最 小 值 恰 好 是 方 程320 xaxbxc的三个根，其中01t （1）求证：223ab；（2）设1(,)x M，2(,)x N是函数32( )f xxaxbxc的两个极值点若122|3xx，求函数( )f x的解析式；求|MN的取值范围1374. 已知函数bxaxxf2)(，在1x处取得极值为 2。（）求函数)(xf的解析式；（）若函数)(xf在区间（m，2m1）上为增函数，求实数 m 的取值范围；（）若 P（x0，y0）为

27、bxaxxf2)(图象上的任意一点，直线l与bxaxxf2)(的图象相切于点 P，求直线l的斜率的取值范围.75. 已知：在函数xmxxf3)(的图象上，以), 1 (nN为切点的切线的倾斜角为4（）求m，n的值；（）是否存在最小的正整数k，使得不等式1993)( kxf对于3, 1x恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；（）求证：)21(2| )(cos)(sin|ttfxfxf（Rx，0t） 76. 设 M 是由满足下列条件的函数)(xf构成的集合： “方程)(xf0 x有实数根；函数)(xf的导数)(xf 满足1)(0 xf.”（I）判断函数4sin2)(xxx

28、f是否是集合 M 中的元素，并说明理由；（II）集合 M 中的元素)(xf具有下面的性质：若)(xf的定义域为 D，则对于任意m，nD，都存在0 xm，n，使得等式)()()()(0 xfmnmfnf成立” ，试用这一性质证明：方程0)( xxf只有一个实数根；（III）设1x是方程0)( xxf的实数根，求证：对于)(xf定义域中任意的2| )()(| ,1|, 1|,23131232xfxfxxxxxx时且当.77. 若函数22( )()()xf xxaxb exR在1x 处取得极值.（I）求a与b的关系式（用a表示b） ，并求( )f x的单调区间；（II）是否存在实数m，使得对任意(0

29、,1)a及12,0,2x x 总有12|()()|f xf x21(2)1mam e恒成立，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由78. 已知二次函数2( )f xaxbxc， 直线1:2lx ， 直线22:8lytt （其中02t ，t为常数） ； .若直线l1、l2与函数 f x的图象以及2l、y轴与函数 f x的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.（）求a、b、c的值；（）求阴影面积S关于t的函数 S t的解析式；（）若,ln6)(mxxg问是否存在实数m，使得 yf x的图象与 yg x的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.1479. 已知函数23)(

30、axxf图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为5102，f(x)的导数为)( xf，函数3)( )()(xxbfxfxg。（1）若函数 g(x)在 x=1 有极值，求 g(x)的解析式；（2） 若函数 g(x)在-1,1是增函数， 且)(42xgmbb在-1,1上都成立， 求实数 m 的取值范围。80. 设关于x的方程012 mxx有两个实根、，且。定义函数.12)(2xmxxf（I）求)(f的值；（II）判断),()(在区间xf上单调性，并加以证明；（III）若,为正实数，试比较)(),(),(fff的大小；证明. | )()(|ff81. 设直线)(:),(:xFySxgyl曲线. 若直线

31、 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件：直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点； 对任意 xR 都有)()(xFxg. 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” （1）已知函数( )2sinf xxx求证：2yx为曲线( )f x的“上夹线” （2）观察下图：根据上图，试推测曲线)0(sin:nxnmxyS的“上夹线”的方程，并给出证明82. 若存在实常数k和b，使得函数( )f x和( )g x对其定义域上的任意实数x分别满足：( )f xkxb和( )g xkxb，则称直线: lykxb为( )f x和( )g x的“隔离直线” 已知2( )h xx，( )2 lnxex（其15中e为自

32、然对数的底数） ()求( )( )( )F xh xx的极值；() 函数( )h x和( ) x是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由83.已知函数mxxxf)1ln()(.（1）若函数)(xf在), 0(上单调递减，求实数m的取值范围；（2）求函数)(xf的极值；（3）求证：)(2ln) 1(12111*Nnnnnn84.设xxxaxfln)(，3)(23xxxg.（1）当2a时，求曲线)(xfy 在1x处的切线方程；（2）如果存在1x，2, 02x使得Mxgxg)()(21成立，求满足上述条件的最大整数M；（3）如果对任意的s，2 ,21t都有)()(tgsf成

33、立，求实数a的取值范围。85.已知函数2ln)(xxxf.（1）若函数axxfxg)()(在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a，xxaeexh3)(3，2ln, 0 x，求)(xh的极小值；（3） 设)(3)(2)(2RkkxxxfxF， 若函数)(xF存在两个零点m，)0(nmn， 且nmx02，问：函数)(xF在点)(,(00 xFx处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由。86.已知函数)sin(3)(3xaxxxf，其中a，R；（1）当0a时，求) 1 (f的值并判断函数)(xf的奇偶性；（2）当0a时，若函数)(xfy 的图

34、像在1x处的切线经过坐标原点，求的值；（3）当0时，求函数)(xf在2, 0上的最小值。答案及解析答案及解析1.解： （）当1a 时，( )ln ,f xxx得1( )1,fxx 2 分16令( )0fx，即110 x，解得1x ，所以函数( )f x在(1,)上为增函数，据此，函数( )f x在2e,e 上为增函数，4 分而(e)e 1f ，22(e )e2f，所以函数( )f x在2e,e 上的值域为2e 1,e26 分（）由( )1,afxx 令( )0fx，得10,ax即,xa 当(0,)xa时，( )0fx，函数( )f x在(0,)a上单调递减；当(,)xa 时，( )0fx，函数

35、( )f x在(,)a上单调递增； 7 分若1ea ，即e1a ，易得函数( )f x在2e,e 上为增函数，此时，2max( )(e )f xf，要使( )e 1f x 对2e,e x恒成立，只需2(e )e 1f 即可，所以有2e2e 1a ，即2ee 12a 而22ee 1(e3e 1)( e)022 ，即2ee 1e2 ，所以此时无解.8 分若2eea ，即2eea ，易知函数( )f x在e,a上为减函数，在2,e a上为增函数，要使( )e 1f x 对2e,e x恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1ff ，即21ee 12aa ，由22ee 1ee 1( 1)022 和222

36、ee 1ee 1( e )022 得22ee 1e2a .10 分若2ea ，即2ea ，易得函数( )f x在2e,e 上为减函数，此时，max( )(e)f xf，要使( )e 1f x 对2e,e x恒成立，只需(e)e 1f 即可，所以有ee 1a ，即1a ，又因为2ea ，所以2ea .12 分综合上述，实数 a 的取值范围是2ee 1(,2 .13 分2. 解： （I）函数0|)(xxxf的定义域为，.1)(2xxaxf2 分又曲线)1 (, 1 ()(fxfy在点处的切线与直线02yx垂直，所以. 21) 1 (af即 a=1.4 分来源:学科网来源:学_科_网 Z_X_X_K

37、17（II）由于.1)(2xaxxf当0a时，对于0)(), 0(xfx有在定义域上恒成立，即), 0()(在xf上是增函数.当)., 0(1, 0)(,0axxfa得由时当)(, 0)(,)1, 0(xfxfax时单调递增；当)(, 0)(,),1(xfxfax时单调递减.8 分（III）当 a=1 时，)., 2,11) 1ln() 1(xxxxf令. 5211) 1ln()(xxxxg.) 1()2)(12(2) 1(111)(22xxxxxxg10 分当), 2()(, 0)(,2在时xgxxgx单调递减.又. 0)(,)(, 0)2(xgxgg时所以即. 05211) 1ln(xxx

38、故当 a=1，且52) 1(,2xxfx时成立.13 分3 解： （）22( )31293()(3 )0fxxaxaxa xa（1）当3aa，即0a 时，2( )30fxx，不成立（2）当3aa，即0a 时，单调减区间为(3 , )a a（3）当3aa，即0a 时，单调减区间为( ,3 )aa-5 分（）22( )31293()(3 )fxxaxaxa xa，( )f x在(0, )a上递增，在( ,3 )aa上递减，在(3 ,)a 上递增（1）当3a 时，函数( )f x在0,3上递增，所以函数( )f x在0,3上的最大值是(3)f，若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有(3)4,

39、3,fa解得a（2） 当13a时， 有33aa， 此时函数( )f x在0, a上递增， 在 ,3a上递减， 所以函数( )f x在0,3上的最大值是( )f a，18若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有( )4,13,f aa解得1a （3）当1a 时，有33a，此时函数( )f x在 ,3 aa上递减，在3 ,3a上递增，所以函数( )f x在0,3上的最大值是( )f a或者是(3)f由2( )(3)(3) (43)f afaa，304a时，( )(3)f af，若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有(3)4,30,4fa解得2 3 31, 94a314a时，( )(3

40、)f af，若对0,3x 有( )4f x 恒成立，需要有( )4,31,4f aa解得3( ,1)4a综上所述，2 31,19a-14 分4解： （1）. 12)(22aaxxxf1x是极值点0) 1 ( f，即022 aa0 x或2.3 分（2）)1 (, 1 (f在03 yx上.2) 1 ( f（1，2）在)(xfy 上baa13122又11211) 1 (2aakf38, 10122baaa.2)(,3831)(222xxxfxxxf（i）由0)( xf可知 x=0 和 x=2 是)(xf的极值点.来源:Zxxk.Com, 8)4(, 4)2(,34)2(,38)0(ffff19)(x

41、f在区间2，4上的最大值为 8.8 分（ii）xemmxxxG)()(2)2()()2()(22xmxemmxxeemxxGxxx令0)( xG，得mxx2, 0当 m=2 时，0)( xG，此时)(xG在),(单调递减当2m时：x(，2，m)2m（2m，0）0（0，+）G （x）0+0G（x）减增减当时 G（x）在（，2，m） ， （0，+）单调递减，在（2m，0）单调递增.当2m时：x（，0）0（0，2m）2m（2m+）G （x）0+0G（x）减增减此时 G（x）在（，0） ， （2m+）单调递减，在（0，2m）单调递增，综上所述：当 m=2 时，G（x）在（，+）单调递减；2m时，G（x

42、）在（，2m） ， （0，+）单调递减，在（2m，0）单调递增；2m时，G（x）在（，0） ， （2m，+）单调递减，在（0，2m）单调递增.5解：函数xaxxf ln)(的定义域为), 0( 1 分221)( xaxxaxxf3 分（1）. 0)( , 0 xfa故函数在其定义域), 0( 上是单调递增的.5 分（II）在1，e上，发如下情况讨论：当 ae 时，显然函数, 1 )(exf在上单调递减，其最小值为, 21)(eaef仍与最小值是23相矛盾；12 分综上所述，a 的值为. e13 分6 （I）解：22( )2(1).fxmxaxb3 分（II）因为函数( )f x是 R 上的增函

43、数，所以( )0fx在 R 上恒成立，则有222244(1)0,1.abab 即设cos ,(,01).sinarrbr为参数则)4sin(2)sin(cosrrbaz当, 1)4sin(且 r=1 时，baz取得最小值2.（可用圆面的几何意义解得baz的最小值2）8 分（）当0m时12)(2xmxmf是开口向上的抛物线，显然)(xf 在（2，+）上存在子区间使得0)( xf，所以 m 的取值范围是（0，+）.当 m=0 时，显然成立.当0m时，12)(2xmxmf是开口向下的抛物线，要使)(xf 在（2，+）上存在子区间21使0)( xf，应满足, 0)1(, 210mfmm或. 0)2(,

44、 21, 0fmm解得, 021m或2143m，所以 m 的取值范围是).0 ,43(则 m 的取值范围是).,43(13 分7解： （1）当2p 时，函数2( )22ln ,(1)222ln10f xxx fx222( )2f xxx曲线( )f x在点(1,(1)f处的切线的斜率为(1)2222.f 1 分从而曲线( )f x在点(1,(1)f处的切线方程为02(1),yx即22yx（2）22222( ).ppxxpfxpxxx3 分令2( )2h xpxxp，要使( )f x在定义域（0，）内是增函只需( )0h x 在（0，+）内恒成立4 分由题意20, ( )2ph xpxxp的图象

45、为开口向上的抛物线，对称轴方程为1(0,)xp，min1( ),h xpp只需10,1ppp即时，22( )0,( )0h xfx( )f x在（0，+）内为增函数，正实数p的取值范围是1,6 分（3）2( )1, eg xex在上是减函数，xe 时，min( )2;g xmin1, ( )2xg xe时，即( )2,2 g xe1 分当0p 时，2( )2h xpxxp其图象为开口向下的抛物线，对称轴1xp在y车的左侧，且(0)0h，所以( )1, f xxe在内是减函数。当0p 时，在( )2h xx 因为1, xe，所以22( )0,( )0.xh xfxx 此时，( )1, f xxe

46、在内是减函数。故当0p 时，( )1, f xxe在上单调递减max( )(1)02f xf，不合题意；当01p时，由1, xe10 xx所以11( )()2ln2ln .f xp xxxxxx又由（2）知当1p 时，( )1, f xxe在上是增函数，1112ln2ln22xxeeexee ，不合题意；11 分当1p 时，由（2）知( )1, f xxe在上是增函数，(1)02f又( )1, g xxe在上是减函数，23故只需maxmin( )( ),1, f xg xxe而maxmin1( )( )()2ln , ( )2f xf ep ee g xe即1()2ln2,P eee解得241

47、epe，所以实数p的取值范围是24(,)1ee。13 分8. 解： （）方法一：22( )pfxpxx，2 分(1)2(1)fp设直线:2(1)(1)l ypx，并设l与2( )g xx相切于点 M（00,xy）3 分( )2g xx202(1)xp2001,(1)xpyp代入直线l的方程，解得 p=1 或 p=36 分方法二：将直线方程l代入2yx得2(1)(1)0px24(1)8(1)0pp 解得 p=1 或 p=3 6 分（）222)(xpxpxxf，要使)(xf为单调增函数，须0)(xf在(0,)恒成立，即022pxpx在(0,)恒成立，即xxxxp12122在(0,)恒成立，又112

48、xx，所以当1p时，)(xf在(0,)为单调增函数；9 分要使)(xf为单调减函数，须0)(xf在(0,)恒成立，即022pxpx在(0,)恒成立，即xxxxp12122在(0,)恒成立，又201xx，所以当0p时，)(xf在(0,)为单调减函数11 分综上，若)(xf在(0,)为单调函数，则p的取值范围为1p或0p12 分9. 解： （I）因为).0(log221)(2xxxxxha所以.ln12)(axxxh因为), 0()(在xh上是增函数。24所以), 0(0ln12在axx上恒成立1 分当.ln120ln12,02axxaxxx 时而), 0(1) 1(222在xxx上的最小值是1。

49、于是.ln11,ln11aa即（）可见)1ln1. 0ln1, 10( 1矛盾这与则若aaaa从而由（）式即得. 1lna. 4 分同时，)0(ln1ln2lnln12)(2xaxaxaxaxxxh由2( )()( 2ln )4ln0,h xaa 存在 正 零点知解得1lna，或)., 0ln, 1(0ln这是不可能的因为aaa由得. 1lna此时，eaxxh故存在正零点, 1)(即为所求6 分注：没有提到（验证）1lna时，, 1)(xxh存在正零点不扣分。（II）由（I） ，,1)(,ln)(00 xxgxxg于是.lnln,)()(100mnmnxmnmgngx7 分以下证明.lnlnn

50、mmnm（）（）等价于. 0lnlnmnmmnm8 分构造函数),0(lnln)(nxxnxxnxxr则), 0(,lnln)(nxxnxr当时，, 0()(, 0)(nxrxr在所以上为增函数。因此当, 0)()(,nrmrnm时即. 0lnlnmnmmnm从而mx 0得到证明。11 分同理可证.,.lnln0nxmmnmnn综上12 分注：没有“综上”等字眼的结论，扣 1 分。2510. 解： （）由 a=0，( )( )f xg x可得lnmxx ，即lnxmx1 分记lnxx，则( )( )f xg x在（1，+）上恒成立等价于min( )mx.求得2ln1( )lnxxx2 分当(1