2013年高考真题——理科数学(新课标I卷)解析版.pdf

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1、20132013 年高考年高考理科数学试题解析（课标）理科数学试题解析（课标）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 1 至至 2 2 页，第卷页，第卷 3 3至至 4 4 页。全卷满分页。全卷满分 150150 分。考试时间分。考试时间 120120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1.1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 1 至至 3 3 页，第卷页，第卷 3 3 至至5 5 页。页。2.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应

2、的位置。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回。考试结束，将本试题和答题卡一并交回。第卷第卷一、选择题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1、已知集合 A=x|x22x0，B=x|5x 5，则()A、AB=B、AB=RC、BAD、AB【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.【解析】A=(-,0)(2,+),AB=R,故选 B.2、若复数

3、 z 满足(34i)z|43i|，则 z 的虚部为()A、44（B）5（C）44（D）5【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.|43i|44232(34i)34【解析】由题知z=i，故 z 的虚部为，故选 D.34i5(34i)(34i)553、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A、简单随机抽样B、按性别分层抽样C、按学段分层抽样D、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【

4、解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.5x2y24、已知双曲线C：221（a 0,b 0）的离心率为，则C的渐近线方程为2ab111A.y xB.y xC.y xD.y x432【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.c5b215c2a2b2b1【解析】由题知，即=2=，=，=，C的渐近线方22a2aa44aa2程为y 1x，故选C.25、运行如下程序框图，如果输入的t1,3，则输出 s 属于A.-3,4B.-5,2C.-4,3D.-2,5【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题

5、意知，当t1,1)时，s 3t3,3)，当t1,3时，s 4t t 3,4，输出 s 属于-3,4，故选A.6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()5003A、cm38663B、cm321372320483C、cmD、cm33【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距4535003cm，故选 A.离为 R-2，则R (R2)4，解得 R=5，球的体积为=33

6、2227、设等差数列an的前 n 项和为 Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m()A、3B、4C、5D、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知Sm=m(a1am)=0，a1=am=（Sm-Sm1）=2，2am1=Sm1-Sm=3，公差d=am1-am=1，3=am1=2m，m=5，故选 C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.168B.88C.1616D.816【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2高为 4，上边放一个长

7、为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为1224422=168，故选A.29、设 m 为正整数，(x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x y)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若 13a=7b，则m ()A、5B、6C、7D、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知a=C2m，b=C2m1，13C2m=7C2m1，即解得m=6，故选 B.x2y210、已知椭圆a2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。若 AB的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为(x2y2A、45361x2y

8、2B、36271)x2y2D、1891x2y2C、27181mm1mm113(2m)!7(2m1)!=，(m1)!m!m!m!【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1 x2=2，y1 y2=2，22x12y12x2y21221a2b2ab得(x1 x2)(x1 x2)(y1 y2)(y1 y2)0，22aby1 y2b21011b2(x1 x2)b2222kAB=2=2，又kAB=，2=，又9=c=a b，解x1 x2a2312a(y1 y2)ax2y21，故选 D.得b=9，a=18，椭圆方程为18922x22x,x 011、已

9、知函数f(x)=，若|f(x)|ax，则a的取值范围是ln(x1),x 0A.(,0B.(,1C.-2,1D.-2,0【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。x22x,x 0 x 0 x 0【解析】|f(x)|=，由|f(x)|ax得，且，2ln(x1)axln(x1),x 0 x 2x ax由x 0 x 2x ax2可得a x2，则a-2，排除，当a=1 时，易证ln(x1)x对x 0恒成立，故a=1 不适合，排除 C，故选 D.12、设AnBnCn的三边长分别为 an,bn,cn，AnBnCn的面积为 Sn，n=1,2,3,cnanbnan若 b1c1，b1c

10、12a1，an1an，bn12，cn12，则()A、Sn为递减数列B、Sn为递增数列C、S2n1为递增数列，S2n为递减数列D、S2n1为递减数列，S2n为递增数列【命题意图】【解析】B第卷第卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题5 5分。分。13、已知两个单位向量a a，b b的夹角为60，c cta a(1t)b b，若b bc c=0，则t=_.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】b bg c c

11、=b bta a(1t)b b=ta ab b(1t)b b=14、若数列an的前 n 项和为 Sn211t 1t=1t=0，解得t=2.2221an，则数列an的通项公式是an=_.33【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第 n 项与其前 n 项和的关系，是容易题.21a1，解得a1=1，33212212当n2 时，an=Sn Sn1=an(an1)=anan1，即an=2an1，333333【解析】当n=1 时，a1=S1=an是首项为 1，公比为2 的等比数列，an=(2)n1.15、设当x=时，函数f(x)sinx2cosx取得最大值，则cos=_【命题意图】本题主要考

12、查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】f(x)=sinx2cos x=5(52 5sin xcosx)55令cos=52 5，sin，则f(x)=5(sin xcossincos x)=5sin(x)，55当x=2k2,kz，即x=2k2,k z时，f(x)取最大值，此时=2k2,k z，cos=cos(2k222)=sin=2 5.516、若函数f(x)=(1 x)(x axb)的图像关于直线x=2对称，则f(x)的最大值是_.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由f(x)图像关于直线x=2 对称，则0=f(1)f(3

13、)=1(3)(3)3ab，0=f(1)f(5)=1(5)(5)5ab，解得a=8，b=15，f(x)=(1 x)(x 8x15)，f(x)=2x(x 8x15)(1 x)(2x8)=4(x 6x 7x2)=4(x 2)(x 25)(x 25)当x(,25)(2,25)时，f(x)0，当x(25,2)(25,+)时，f(x)0，f(x)在（，25）单调递增，在（25，2）单调递减，在（2，25）单调递增，在（25，+）单调递减，故当x=25和x=25时取极大值，2232222222f(25)=f(25)=16.三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答题：解答应写出文字说明，证明

14、过程或演算步骤。17、（本小题满分12分）如图，在ABC中，ABC90，AB=3，BC=1，P为ABC内一点，BPC901(1)若 PB=2，求 PA；(2)若APB150，求 tanPBA【命题意图】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形及两角和与差公式，是容易题.【解析】（）由已知得，PBC=60，PBA=30o，在 PBA 中，由余弦定理得o7117；PA2=32 3cos30o=，PA=2424（）设 PBA=，由 已 知 得，PB=sin，在 PBA 中，由 正 弦 定 理 得，3sin，化简得，3cos 4sin，oosin150sin(30)tan=33，tanPBA=.44

15、18、（本小题满分 12 分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BAA1=60.（）证明 ABA1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题.【解析】（）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，AB=AA1，BAA1=60，BAA1是正三角形，A1EAB，CA=CB，CEAB，CE A1E=E，AB面CEA1，ABA1C；6分（）由（）知 ECAB，EA1AB，又面ABC面ABB1A1

16、，面ABC面ABB1A1=AB，EC面ABB1A1，ECEA1，0uu u ruu u rEA，EC，EA1两两相互垂直，以 E 为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz，有 题 设 知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,uuu r3),B(1,0,0),则BC=（1,0，uuuruuuruuur3）,BB1=AA1=(1,0,3),AC3,3),9 分1=(0,设n n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量，uuu rn nBC 0 x则，即uuurn nBB1 0 xuuuruuurn n AC1uuurcos n n,

17、AC=1|n n|AC1|3z 03y 0，可取n n=（3，1，-1），10，510.12 分5直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为19、（本小题满分 12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验

18、的概率；（2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望。【命题意图】【解析】设第一次取出的4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A，第一次取出的4 件产品中全为优质品为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件C，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有 E=(AB)(CD),且 AB 与 CD 互斥，P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=C4()()+()（）X 的可能取值为 400,500,800，并且P

19、(X=400)=1-C4()X 的分布列为X0P40005008331221212412413=.6 分26412311411111313()=，P(X=500)=，P(X=800)=C4()=，22161622411161161410 分EX=4001111+500+800=506.2512 分16164(20)(本小题满分 12 分)已知圆M:(x1)2 y21,圆N:(x1)2 y2 9,动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C.（）求 C 的方程；（）l是与圆P,圆M都相切的一条直线，l与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.【命题意图】【解析】

20、由已知得圆M的圆心为M（-1，0）,半径r1=1，圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.（）圆P与圆M外切且与圆N内切，|PM|+|PN|=(R r1)(r2 R)=r1 r2=4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为3的x2y21(x 2).椭圆(左顶点除外)，其方程为43（）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|-|PN|=2R22，R2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2 y2 4，当l的倾斜角为900时，则l与y轴重合，可得|AB|=2 3.当l的倾斜角不为

21、900时，由r1R知l不平行x轴，设l与x轴的交点为Q，则|3k|1k2|QP|R=，|QM|r12.4可求得Q（-4，0），设l：y k(x4)，由l于圆M相切得1，解得k 22x2y2x2代入1(x 2)并整理得7x28x8 0，解当k=时，将y 4443得x1,2=46 218，|AB|=1k2|x1 x2|=.77218时，由图形的对称性可知|AB|=，47当k=综上，|AB|=18或|AB|=2 3.7（21）（本小题满分共12 分）2已知函数f(x)x axb，g(x)e(cx d)，若曲线y f(x)和曲线y g(x)都过点xP(0，2)，且在点 P 处有相同的切线y 4x2（）

22、求a，b，c，d的值（）若x2 时，f(x)kg(x)，求k的取值范围。【命题意图】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线、函数单调性与导数的关系、函数最值，考查运算求解能力及应用意识,是中档题.【解析】（）由已知得f(0)2,g(0)2,f(0)4,g(0)4，而f(x)=2xb，g(x)=e(cxd c)，a=4，b=2，c=2，d=2；4 分（）由（）知，f(x)x 4x 2，g(x)2e(x1)，2xx设函数F(x)=kg(x)f(x)=2ke(x1)x 4x2（x 2），x2F(x)=2kex(x2)2x4=2(x2)(kex1)，有题设可得F(0)0，即k 1，令F(x)=0

23、得，x1=lnk，x2=2，（1）若1 k e，则2x10，当x(2,x1)时，F(x)0，当x(x1,)时，F(x)0，即F(x)在(2,x1)单调递减，在(x1,)单调递增，故F(x)在x=x1取最小值F(x1)，2而F(x1)=2x12 x14x12=x1(x12)0，2当x2 时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立，2(2)若k e，则F(x)=2e(x2)(e e)，2x2当x2 时，F(x)0，F(x)在(2,+)单调递增，而F(2)=0，当x2 时，F(x)0，即f(x)kg(x)恒成立，(3)若k e，则F(2)=2ke222=2e2(k e2)0，当x2 时，f(x)kg

24、(x)不可能恒成立，综上所述，k的取值范围为1,e.请考生在第（请考生在第（2222）、（2323）、（2424）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。方框涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上，ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E，DB 垂直 BE 交圆于 D。（）证明：DB=DC；（）设

25、圆的半径为1，BC=，延长 CE 交 AB 于点 F，求2BCF 外接圆的半径。【命题意图】本题主要考查几何选讲的有关知识，是容易题.【解析】（）连结DE，交BC与点G.由弦切角定理得，ABF=BCE，ABE=CBE，CBE=BCE，BE=CE，又DBBE，DE是直径，DCE=90，由勾股定理可得DB=DC.0（）由（）知，CDE=BDE，BD=DC，故DG是BC的中垂线，BG=oo3.2设DE中点为O，连结BO，则BOG=60，ABE=BCE=CBE=30，CFBF，RtBCF的外接圆半径等于3.2（23）（本小题 10 分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为x 45cos

26、t(t为参数），以坐标原点为极y 55sint点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin。（）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1与 C2交点的极坐标（0,02）。【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化及两曲线交点求法、极坐标与直角坐标互化，是容易题.【解析】将x 45cost22消去参数t，化为普通方程(x4)(y 5)25，y 55sint2即C1：x y 8x10y 16 0，将2x cos22代入x y 8x10y 16 0得，y sin28cos10sin16 0，C1的极坐标方程为8cos10sin16 0

27、；（）C2的普通方程为x y 2y 0，22x 1x 0 x y 8x10y16 0由2解得或，C1与C2的交点的极坐标分别为2y 1y 2x y 2y 0222（2,4），(2,2).（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数f(x)=|2x1|2xa|,g(x)=x3.（）当a=2 时，求不等式f(x)g(x)的解集；（）设a-1,且当xa1，)时，f(x)g(x),求a的取值范围.22【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式解法、不等式恒成立求参数范围，是容易题.【解析】当a=-2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x3 0，15x,x 21设函数y=|2x1|2x2|x3，y=x2,x 1，23x6,x 1其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x(0,2)时，y0，原不等式解集是x|0 x 2.a1，)时，f(x)=1a，不等式f(x)g(x)化为1a x3，224a1ax a2对x，)都成立，故a2，即a，32224a的取值范围为（-1，.3（）当x