2018年全国高考新课标1卷理科数学试题(解析版).pdf

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1、20182018 年全国高考新课标年全国高考新课标科数学试题科数学试题(解析版解析版)卷理卷理1 1高考真题高考真题高三数学高三数学20182018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标年普通高等学校招生全国统一考试新课标 1 1 卷卷理科数学理科数学注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。题卡和试卷指定位置上。2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

2、皮擦干净后，再选涂其它答案标号。再选涂其它答案标号。回答非选择题时，回答非选择题时，将答案写在答题将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。卡上。写在本试卷上无效。3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-i1-i1 1设设 z=z=+2i+2i，则，则|z|=|z|=1+i1+i1 1A A0 B0 B C C1 D1 D 2 22 21-

3、i1-i解析：选解析：选 C z=C z=+2i=-i+2i=i+2i=-i+2i=i1+i1+i2 2已知集合已知集合 A=x|xA=x|x-x-20-x-20，则，则R RA A=A A x|-1x2 Bx|-1x2 B x|-1x|-1x x2 C2 C x|x-1x|x2 Dx|x2 Dx|xx|x-1-1x|xx|x22解析：选解析：选 B A=x|x-1B A=x|x2x23 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加第第 2 2 页页 共共 1818 页页2 2高考真题高考真题高三数学高三数学第第 3 3 页页 共共 1818

4、页页高考真题高考真题高三数学高三数学线线 y=f(x)y=f(x)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为A Ay=-2xy=-2xB By=-xy=-xC Cy=2xy=2xD D y=xy=x解析：选解析：选D Df(x)f(x)为奇函数为奇函数a=1a=1f(x)=xf(x)=x+x+xf(x)f(x)=3x=3x2 2+1+1f(f(0)=10)=1 故选故选 D D6 6在在ABCABC 中，中，ADAD 为为 BCBC 边上的中线，边上的中线，E E 为为 ADAD 的中点，的中点，则则EBEB=3 31 11 13 33 31 1A A ABAB-ACACB BA

5、BAB-ACACC C ABAB+ACAC4 44 44 44 44 44 41 13 3D DABAB+ACAC4 44 41 11 11 11 1+BD+BD)=-)=-解析：解析：选选 A A结合图形，结合图形，EBEB=-=-(BA(BABABA-BCBC=-=-BABA2 22 24 42 21 1 3 31 1-(AC(AC-AB-AB)=)=ABAB-ACAC4 44 44 47 7某圆柱的高为某圆柱的高为 2 2，底面周长为，底面周长为 1616，其三视图如图圆，其三视图如图圆柱表面上的点柱表面上的点 M M 在正视图上的对应点为在正视图上的对应点为 A A，圆柱表面上的，圆柱

6、表面上的点点 N N 在左视图上的对应点为在左视图上的对应点为 B B，则在此圆柱侧面上，从，则在此圆柱侧面上，从 M M到到 N N 的路径中，最短路径的长度为的路径中，最短路径的长度为3 3A A2 2 1717B B2 2 5 5C C3 3D D 2 2第第 4 4 页页 共共 1818 页页高考真题高考真题高三数学高三数学解析：选解析：选 B B所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长角线的长8 8设抛物线设抛物线 C C：y y=4x=4x 的焦点为的焦点为 F F，过点（，过点（2 2，0 0）且斜）且斜2 2率为率为 的直线与的直线与

7、 C C 交于交于 M M，N N 两点，则两点，则FMFMFNFN=3 3A A5 5B B6 6C C7 7D D8 82 2解析：选解析：选 D F(1,0)D F(1,0)，MNMN 方程为方程为 y=y=(x+2),(x+2),代入抛物线代入抛物线3 3=(3,4)=(3,4)方程解得交点方程解得交点 M(1,2),N(4,4),M(1,2),N(4,4),则则FMFM=(0,2),FN=(0,2),FNFMFMFNFN=8=8 e ex x，x x0 09 9已知函数已知函数f(x)=f(x)=lnxlnx，x0 x02 2，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a若若

8、g g（x x）存在）存在 2 2 个零点，则个零点，则 a a 的取值范围是的取值范围是A A 1 1，0 0）B B00，+），+）C C 1 1，+）+）D D11，+），+）解析：解析：选选 C g(x)=0C g(x)=0 即即 f(x)=-x-af(x)=-x-a，即即 y=f(x)y=f(x)图象与直线图象与直线y=-x-ay=-x-a 有有 2 2 个交点，结合个交点，结合 y=f(x)y=f(x)图象可知图象可知-a1-a11010下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形形此图由三个半圆构成，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径

9、分别为直角三三个半圆的直径分别为直角三角形角形 ABCABC 的斜边的斜边 BCBC，直角边，直角边 ABAB，ACACABCABC 的三边所围的三边所围成的区域记为成的区域记为 I I，黑色部分记为黑色部分记为 IIII，其余部分记为其余部分记为 IIIIII 在在第第 5 5 页页 共共 1818 页页高考真题高考真题高三数学高三数学整个图形中随机取一点，此点取自整个图形中随机取一点，此点取自 I I，IIII，IIIIII 的概率分的概率分别记为别记为 p1p1，p2p2，p3p3，则，则A Ap1=p2p1=p2B Bp1=p3p1=p3C Cp2=p3p2=p3D Dp1=p2+p3

10、p1=p2+p31 13 31 1解析：选解析：选 A AAC=3AC=3，AB=4AB=4，BC=5BC=5，AC=AC=，AB=2,AB=2,2 22 22 21 15 5BC=BC=2 22 21 1以以 ACAC 和和 ABAB 为直径的两个半圆面积之和为为直径的两个半圆面积之和为 2 23 32 21 12 22525()+2 2=2 22 28 81 1以以BCBC为直径的半圆面积与三角形为直径的半圆面积与三角形ABCABC的面积之差为的面积之差为2 25 52 21 12525()-3 34=4=-6-6；2 22 28 82525两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于两个月牙

11、形（图中阴影部分）的面积之和等于8 82525-(-(-6)=6=-6)=6=ABCABC 面积面积8 8第第 6 6 页页 共共 1818 页页高考真题高考真题高三数学高三数学p1=p2p1=p2x x2 21111已知双曲线已知双曲线 C C：-y-y =1=1，O O 为坐标原点，为坐标原点，F F 为为 C C 的的3 3右焦点，过右焦点，过 F F 的直线与的直线与 C C 的两条渐近线的交点分别为的两条渐近线的交点分别为 M M、N.N.若若OMNOMN 为直角三角形，则为直角三角形，则|MN|=|MN|=3 3A AB B3 3C C2 2 3 3D D4 42 23 3解析：解

12、析：选选 B B依题依题 F(2,0),F(2,0),曲线曲线 C C 的渐近线为的渐近线为 y=y=x,MNx,MN3 33 3的斜率为的斜率为 3 3，方程为，方程为 y=y=3(x-2),3(x-2),联立方程组解得联立方程组解得 M(M(,-,-2 23 3),N(3,),N(3,3),3),|MN|=3|MN|=32 21212 已知正方体的棱长为已知正方体的棱长为 1 1，每条棱所在直线与平面每条棱所在直线与平面 所所成的角相等，则成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为截此正方体所得截面面积的最大值为3 3 3 32 2 3 33 3 2 23 3A AB BC CD D

13、4 43 34 42 2解析：选解析：选 A A如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大2 2第第 7 7 页页 共共 1818 页页高考真题高考真题高三数学高三数学2 23 32 22 23 3 3 3此时正六边形的边长为此时正六边形的边长为，其面积为其面积为 6 6()=2 24 42 24 4二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。x-2y-2x-2y-20 0 1313若若 x x，y y 满足约束条件满

14、足约束条件 x-y+1x-y+10 0，则则 z=3z+2yz=3z+2y 的的 y y0 0最大值为最大值为_解析：答案为解析：答案为 6 61414记记 S Sn n为数列为数列 aan n 的前的前 n n 项和，若项和，若S Sn n=2a=2an n+1+1，则，则S S6 6=_=_解解 析析：a a1 1=-1=-1，n n 2 2 时时，a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=2a=2an-1n-1，a an n=-2=-2，S S6 6=2a=2a6 6+1=-64+1=-63+1=-64+1=-631515从从 2 2 位女生，位女生，4 4 位男生中选位男生中选

15、3 3 人参加科技比赛，且至人参加科技比赛，且至少有少有 1 1 位女生入选，则不同的选法共有位女生入选，则不同的选法共有 _种种（用数字填写答案）（用数字填写答案）解析：合条件的选法有解析：合条件的选法有 C C6 6-C-C4 4=16=161616已知函数已知函数 f(x)=2sinx+sin2xf(x)=2sinx+sin2x，则，则 f(x)f(x)的最小值是的最小值是_解析：由题意可得解析：由题意可得 T=2T=2是是 f f（x x）=2sinx+sin2x=2sinx+sin2x 的一个的一个周期，故只需考虑周期，故只需考虑 f f（x x）=2sinx+sin2x=2sinx

16、+sin2x 在在00，2 2）上的）上的最小值。最小值。f f（x x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos=2cosx+2(2cos x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，第第 8 8 页页 共共 1818 页页n-1n-13 33 32 2高考真题高考真题高三数学高三数学1 1令令 f f（x x）=0=0 可解得可解得 cosx=cosx=或或 cosx=-1cosx=-1，可得此时可得此时 x=x=，2 23 35 5或或；3 3y=2sinx+sin2xy=2sinx+sin2x 的最

17、大值和最小值只能在点的最大值和最小值只能在点 x=x=，或或3 35 5和边界点和边界点 x=0 x=0 中取到，中取到，3 33 3 3 35 53 3 3 3计算可得计算可得 f f（）=，f f（）（）=0=0，f f（）=-=-，f f3 32 23 32 23 3 3 3（0 0）=0=0，函数的最小值为函数的最小值为-2 2三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。或演算步骤。第第 17211721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须每个试题考生都必须作答。第作答。第 2222、2323 题为选考题，

18、考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：（一）必考题：6060 分。分。1717（1212 分）分）在平面四边形在平面四边形 ABCDABCD 中，中，ADC=90ADC=900 0，A=45A=450 0，AB=2AB=2，BD=5.BD=5.（1 1）求）求 coscosADBADB；（2 2）若）若 DC=2DC=2 2 2，求，求 BC.BC.BDBDABAB解：解：（1 1）在）在ABDABD 中，由正弦定理得中，由正弦定理得=.由题由题sinAsinA sinsinADBADB2 2设知，设知，sinsinADB=ADB=.5 5第第 9 9 页页 共共 18

19、18 页页高考真题高考真题高三数学高三数学2323由题设知，由题设知，ADB 90ADB 90，所以，所以 coscosADB=ADB=.5 50 02 2（2 2）由题设及（）由题设及（1 1）知，）知，coscosBDC=sinBDC=sinADB=ADB=.5 5在在BCDBCD 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 BCBC2 2=BD=BD2 2+DC+DC2 2-2BD-2BDDCDCcoscosBDC=25BDC=25所以所以 BC=5.BC=5.1818（1212 分）分）如图，四边形如图，四边形 ABCDABCD 为正方形，为正方形，E E，F F 分别为分别为 ADAD，BCB

20、C 的中的中点，以点，以 DFDF 为折痕把为折痕把DFCDFC 折起，使点折起，使点 C C 到达点到达点 P P 的位置，的位置，且且 PFPFBF.BF.（1 1）证明：平面）证明：平面 PEFPEF平面平面 ABFDABFD；（2 2）求）求 DPDP 与平面与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值所成角的正弦值.解：解：（1 1）由已知可得，）由已知可得，BFBFPFPF，BFBFEFEF，所以，所以 BFBF平面平面PEF.PEF.又又 BFBF 平面平面 ABFDABFD，所以平面，所以平面 PEFPEF平面平面 ABFD.ABFD.（2 2）作）作 PHPHEFEF，垂足为，垂

21、足为 H.H.由（由（1 1）得，）得，PHPH平面平面 ABFD.ABFD.|为单位长，为单位长，以以 H H 为坐标原点，为坐标原点，HFHF的方向为的方向为 y y 轴正方向，轴正方向，|BF|BF建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系 H H xyz.xyz.由由（1 1）可得，可得，DEDEPE.PE.又又 DP=2DP=2，DE=1DE=1，所以所以 PE=PE=3.3.又又 PF=1PF=1，第第 1010 页页 共共 1818 页页高考真题高考真题高三数学高三数学3 33 3EF=2EF=2，故，故 PEPEPF.PF.可得可得 PH=PH=,EH=,EH=.

22、2 22 23 33 3则则H(0,0,0),P(0,0,H(0,0,0),P(0,0,),D(-1,-),D(-1,-,0,0),),DPDP=(1,=(1,2 22 23 33 3,),),2 22 23 3HPHP=(0,0,=(0,0,)为平面为平面 ABFDABFD 的法向量的法向量.2 2DPDPHPHP设设 DPDP 与平面与平面 ABFDABFD 所成角为，则所成角为，则 sinsin=|=|HP|HP|DP|DP3 3|=|=.4 43 3所以所以 DPDP 与平面与平面 ABFDABFD 所成角的正弦值为所成角的正弦值为.4 41919（1212 分）分）x x2 2设椭圆

23、设椭圆 C:C:+y+y =1=1 的右焦点为的右焦点为 F F，过，过 F F 的直线的直线 l l 与与 C C2 2交于交于 A,BA,B 两点，点两点，点 M M 的坐标为的坐标为(2,0).(2,0).（1 1）当）当 l l 与与 x x 轴垂直时，求直线轴垂直时，求直线 AMAM 的方程；的方程；（2 2）设）设 O O 为坐标原点，证明：为坐标原点，证明：OMA=OMA=OMB.OMB.解：解：（1 1）由已知得）由已知得 F(1,0)F(1,0)，l l 的方程为的方程为 x=1.x=1.2 2第第 1111 页页 共共 1818 页页高考真题高考真题高三数学高三数学2 22

24、 2由已知可得，点由已知可得，点 A A 的坐标为的坐标为(1,(1,)或或(1,-(1,-).).2 22 22 22 2所以所以 AMAM 的方程为的方程为 y=-y=-x+x+2 2或或 y=y=x-x-2.2.2 22 2（2 2）当）当 l l 与与 x x 轴重合时，轴重合时，OMA=OMA=OMB=0OMB=00 0.当当 l l 与与 x x 轴垂直时，轴垂直时，OMOM 为为 ABAB 的垂直平分线，所以的垂直平分线，所以OMA=OMA=OMB.OMB.当当 l l 与与 x x 轴不重合也不垂直时，轴不重合也不垂直时，设设 l l 的方程为的方程为 y=k(x-1)(ky=

25、k(x-1)(k0)0)，A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)，y y1 1则则 x x1 1 2,x2,x2 2 2 2，直线，直线 MAMA，MBMB 的斜率之和为的斜率之和为 k kMAMA+k+kMBMB=x x1 1-2-2y y2 2+.x x2 2-2-22kx2kx1 1x x2 2-3k(x-3k(x1 1+x+x2 2)+4k)+4k由由 y y1 1=kx=kx1 1-k,y-k,y2 2=kx=kx2 2-k-k 得得 k kMAMA+k+kMBMB=(x(x1 1-2)(x-2)(x2 2-2)-2)x x将将 y=k(x-1)y=k

26、(x-1)代入代入 +y y2 2=1=1 得得(2k(2k2 2+1)x+1)x2 2-4k-4k2 2x+2kx+2k2 2-2=0-2=0所所2 24k4k2 22k2k2 2-2-2以，以，x x1 1+x+x2 2=,x,x1 1x x2 2=.2 22 2 2k 2k+1+1 2k 2k+1+14k4k-4k-12k-4k-12k+8k+8k+4k+4k则则 2kx2kx1 1x x2 2-3k(x-3k(x1 1+x+x2 2)+4k=)+4k=0=02 2 2k 2k+1+1从而从而 k kMAMA+k+kMBMB=0=0，故，故 MAMA，MBMB 的倾斜角互补，所以的倾斜角

27、互补，所以OMA=OMA=OMB.OMB.第第 1212 页页 共共 1818 页页2 23 33 33 3高考真题高考真题高三数学高三数学综上，综上，OMA=OMA=OMB.OMB.2020（1212 分）分）某工厂的某种产品成箱包装，某工厂的某种产品成箱包装，每箱每箱 200200 件，件，每一箱产品在每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，如检验出不合格品，则更则更换为合格品换为合格品检验时，检验时，先从这箱产品中任取先从这箱产品中任取 2020 件作检验，件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的

28、所有产品作检验，设每设每件产品为不合格品的概率都为件产品为不合格品的概率都为 p(0p1)p(0p0p)0；当；当第第 1313 页页 共共 1818 页页高考真题高考真题高三数学高三数学p p(0.1,1)(0.1,1)时，f(时，f(p)0.p)400EX400，故应该对余下的产品作检验，故应该对余下的产品作检验.2121（1212 分）分）1 1已知函数已知函数 f(x)=f(x)=-x+alnx-x+alnxx x（1 1）讨论）讨论 f(x)f(x)的单调性；的单调性；f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)（2 2）若）若 f(x)f(x)存在两个极值点存在两个极值点 x x

29、1 1,x,x2 2，证明：，证明：x x1 1-x-x2 2a-22a2，令，令f(f(x)=0 x)=0 得，得，x=x=或或 x=x=.2 22 2a-a-a a-4-4a+a+a a-4-4当当 x x(0,(0,)(,+,+)时时，2 22 2f(f(x)0 x)0.x)0.2 22 2a-a-a a-4-4a+a+a a-4-4所以所以f(x)f(x)在在(0,(0,)、(,+,+)单调递减，单调递减，2 22 2a-a-a a-4-4 a+a+a a-4-4在在(,)单调递增单调递增.2 22 2（2 2）由（）由（1 1）知，）知，f(x)f(x)存在两个极值点当且仅当存在两个

30、极值点当且仅当 a2.a2.由于由于 f(x)f(x)的两个极值点的两个极值点 x x1 1,x,x2 2满足满足 x x-ax+1=0-ax+1=0，所以所以 x x1 1x x2 2=1=1，不妨设不妨设 x x1 1x1.1.f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)1 1lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2由于由于=-1+a-1+a=-2+-2+a ax x1 1-x-x2 2 x x1 1x x2 2 x x1 1-x-x2 2 x x1 1-x-x2 2-2lnx-2lnx2 2=-2+a=-2+a，1 1-x-x2 2x x2 2f

31、(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)1 1所以所以a-2a-2 等价于等价于 x x2 2+2lnx+2lnx2 20.0.x x1 1-x-x2 2x x2 21 1设函数设函数 g(x)=g(x)=-x+2lnx-x+2lnx，由（，由（1 1）知，）知，g(x)g(x)在在(0,+(0,+)x x第第 1515 页页 共共 1818 页页2 22 22 22 22 22 22 22 22 2高考真题高考真题高三数学高三数学单调递减，单调递减，又又 g(1)=0g(1)=0，从而当，从而当 x x(1,+(1,+)时，时，g(x)0.g(x)0.1 1f(xf(x1 1)-f(x)

32、-f(x2 2)所以所以 x x2 2+2lnx+2lnx2 200，即，即a-2.1f(x)1 的解集；的解集；（2 2）若）若 x x(0,1)(0,1)时不等式时不等式 f(x)xf(x)x 成立，求成立，求 a a 的取值范的取值范围围.解解:（1 1）当当 a=1a=1 时时，f(x)=|x+1|-|x-1|f(x)=|x+1|-|x-1|，即即 f(x)=f(x)=-2 x-1-2 x1f(x)1 的解集为的解集为(,+,+)2 x1 2 x12 2 （2 2）当）当 x x(0,1)(0,1)时时|x+1|-|ax-1|x|x+1|-|ax-1|x 成立等价于当成立等价于当 x x(0,1)(0,1)时时|ax-1|1|ax-1|0a0，|ax-1|1|ax-1|1 的解集为的解集为(0,(0,)，所以，所以 1 1，故，故(0,2(0,2a aa a综上，综上，a a 的取值范围为的取值范围为(0,2(0,2第第 1818 页页 共共 1818 页页