高考试题数学理(全国卷)解析版.pdf

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1、2011 年高考题全国卷 II 数学试题理科全解全析科目：科目：数学数学试卷名称试卷名称20112011年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷全国卷 II(II(理理科科)知识点检索号新课标题目及解析（1）复数z 1i，z为z的共轭复数，则zz z 1（A）2i（B）i（C）i（D）2i【思路点拨】先求出的z共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。【精讲精析】选 B.z 1i,zz z 1(1i)(1i)(1i)1 i.（2）函数y 2 x(x0)的反函数为x2(xR)（A）y 4（C）y 4x(xR)2x2(x0)（B）y 4（D）y 4x(x0)2【思路点拨

2、】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围，它是反函数的定义域。y2【精讲精析】选B.在函数y 2 x(x0)中，y 0且反解 x 得x，所以4x2(x 0).y 2 x(x0)的反函数为y 4（3）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（A）ab1（B）ab1（C）a2b2（D）a3b3【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出ab，而由 ab 推不出选项的选项.【精讲精析】选 A.即寻找命题 P 使 P a b,a b推不出 P，逐项验证可选 A。（4）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d 2，Sk2Sk 24，则k（A）8（B）7（

3、C）6（D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于 k 的方程解之即可。思路二：利用Sk2Sk ak2ak1直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选 D.Sk2Sk ak2ak1 2a1(2k 1)d 2(2k 1)2 24 k 5.（5）设函数f(x)cosx(0)，将y f(x)的图像向右平移所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A）个单位长度后，31（B）3（C）6（D）93【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将y f(x)的图像向右平个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。332【精讲精析】选 C.由题k(kZ),解得

4、6k，令k 1，即得min 6.3移(6)已知直二面角l，点A,AC l,C 为垂足，B,BD l,D为垂足若 AB=2，AC=BD=1，则 D 到平面 ABC 的距离等于(A)236 (B)(C)(D)1333【思路点拨】本题关键是找出或做出点 D 到平面 ABC 的距离 DE，根据面面垂直的性质不难证明AC 平面，进而平面平面 ABC,所以过 D 作DE BC于 E，则DE 就是要求的距离。【精讲精析】选 C.如图，作DE BC于 E，由l 为直二面角，AC l得AC 平面，进而AC DE，又BC DE,BC I AC C，于是DE 平面 ABC，故 DE 为 D 到平面 ABC 的距离。

5、在RtBCD中，利用等面积法得DE BDDC126.BC33(7)某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。1【精讲精析】选 B.分两类：取出的 1 本画册，3 本集邮册，此时赠送方法有C4 4种；2取出的 2 本画册，2 本集邮册，此时赠送方法有C4 6种。总的赠送方法有 10 种。(8)曲线 y=e(A)2x+1 在点(0，2)处的切线与直线 y=0

6、 和 y=x 围成的三角形的面积为112 (B)(C)(D)1323【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0 与 y=x 的交点问题即可解决。【精讲精析】选 A.y 2e中作出示意图，即得S(9)设f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)=2x(1 x)，则f()=(A)-2x,y|r0 2切线方程是：y 2x2,在直角坐标系1211。233521111 (B)(C)(D)2442【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量上进行求值。【精讲精析】选 A.5转化到区间0,12先利用周期性，再利用奇偶性得:f()f()f()25212121

7、.2(10)已知抛物线 C：y 4x的焦点为 F，直线y 2x4与 C 交于 A，B 两点则cosAFB=(A)3344 (B)(C)(D)5555【思路点拨】方程联立求出A、B 两点后转化为解三角形问题。【精讲精析】选 D.y2 4x2联立，消 y 得x 5x4 0，解得x 1,x 4.y 2x4不妨设 A 在 x 轴上方，于是 A，B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求AB 3 5,AF 5,BF 2，利用余弦定理AF2 BF2 AB24cosAFB .2AF BF5(11)已知平面截一球面得圆 M，过圆心 M 且与成60二面角的平面截该球面得圆 N.若该球面的半径为 4，圆 M

8、的面积为 4，则圆 N 的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选 B.作示意图如，由圆 M 的面积为 4，易得0MA 2,OM OA2MA2 2 3，RtOMN中，OMN 30o。故MN OM cos30 3,S 3 9.o2r r rrrrr r1rr rro(12)设向量a,b,c满足|a|b|1,ab ,ac,bc 60，则|c|的最大值2等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图r形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，|c|最大.【精讲精析】选 A.如图

9、，构造uuu rr uuu rr uuu rrAB a,AD b,AC c,BAD 120o,BCD 60o,，r所以 A、B、C、D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，|c|最大，最大值为2.(13)(1-x)20的二项展开式中，x 的系数与 x9的系数之差为:.rnr【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意Cn Cn.r218【精讲 精析】0.由Tr1C20,x9的系数为C20,而(x)20得x的系数 为C20182C20 C20.(14)已知 a(5，)，sin=，则 tan2=52【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再

10、求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。【精 讲 精 析】4.由3a (，)，sin =25得5cos 2 5sin1,tan,5cos2tan22tan4.21tan3y2x2(15)已知F1、F2分别为双曲线C:-=1 的左、右焦点，点 AC，点 M 的坐标为279(2，0)，AM 为F1AF2的平分线则|AF2|=.【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：|AF2|MF2|1,|AF1|AF2|2a 6,故|AF2|6.|AF1|MF1|2(16)己知点 E、F 分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1、CC1上，且B1E

11、=2EB,CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长 EF 必与 BC 相交，交点为 P，则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线.【精讲精析】2.延长 EF 交 BC 的延长线于 P，则 AP 为面 AEF 与面 ABC 的交线，因3o为CAP 90，所以FCA为面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角。2FC2tanFCA 3CA32(17)(本小题满分 l0 分)(注意：在试题卷上作答无效)ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知AC=90，a+c=

12、2b，求C.【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合AC=90,得到sin A cosC.即可求解。【精讲精析】选 D.由AC 90，得 A 为钝角且sin A cosC，利用正弦定理，ac o2b可变形为sin AsinC 2sin B，2sin(C 45o)2sin B，即有sin AsinC cosC sinC 又 A、B、C 是ABC的内角，故C 45o B或(C 45o)B 180o(舍去)所以A BC (90 C)(C 45)C 180。所以C 15.(18)(本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购

13、买甲种保险的概率为 05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；()X 表示该地的 l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为 p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，即可求出 p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为 p,由题意知：p(10.5)0.3，解得p 0.6。oooo（I）设所求概率为 P1，则P11(10.5)(10.6)0.8

14、.故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1 种的概率为 0.8。（II）对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2。X:B(100,0.2).EX 1000.2 20所以 X 的期望是 20 人。（19）如 图，四 棱 锥S ABCD中，AB/CD,BC CD，侧面SAB为等边三角形，AB BC 2,CD SD 1.（）证明：SD 平面SAB;（)求AB与平面SBC所成角的大小.【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算 SD=1

15、，AD 5,SA 2，于是SA2 SD2 AD2，利用勾股定理，可知SD SA，同理，可证SD SB又SAI SB S，因此，SD 平面SAB.（II）过 D 做Dz 平面ABCD，如图建立空间直角坐标系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),S(,0,123)2ruuu r可计算平面 SBC 的一个法向量是n (0,3,2),AB (0,2,0)uuu r ruuu r r|ABn|2 321rr.|cos AB,n|uuu7|AB|n|2 7所以 AB 与平面 SBC 所成角为arcsin21.7（20）设数列an满足a1 0且（）求an的通项公式；（）设bn1

16、11.1an11an1an1n,记Snbk,证明：Sn1.k1n【思路点拨】解本题突破口关键是由式子1111.得到是等差数1an11an1an列，进而可求出数列an的通项公式.（II）问求出bn的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。【精讲精析】(I)1是公差为 1 的等差数列，1an11(n1)1 n.1an1a1所以ann1(nN)n1an1n1nn111nnn1(II)bnnSnbk(k11111111)()L()11.1223nn1n1y21在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且（21）已知 O 为坐标原点，F 为椭圆C:x 22斜率为-2的直线l与 C 交与 A、B 两点，点P

17、满足uuu ruuu ruuu rOAOBOP 0.()证明：点 P 在 C 上；（）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本uuu ruuu ruuu r思路，注意把OAOBOP 0.用坐标表示后求出 P 点的坐标，然后再结合直线方程把 P 点的纵坐标也用 A、B 两点的横坐标表示出来。从而求出点P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点 P 在 C 上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明APB,AQB互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质

18、圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心 N，然后证明 N 到四个点 A、B、P、Q 的距离相等即可.【精讲精析】(I)设A(x1,y1),B(x2,y2)y21联立得4x22 2x1 0直线l:y 2x1，与x 22x16 26 2,x24421,x1x2 24x1 x2uuu ruuu ruuu r由OAOBOP 0.得P(x1 x2),(y1 y2)(x1 x2)2,2(y1 y2)(2x11 2x21)2(x1 x2)2 122(1)2()122所以点 P 在 C 上。（II）法一：tanAPB kPAkPB1kPAkPBy1(1)y(1)222x1()x2

19、()22y1(1)y2(1)122x1()x2()223(x2 x1)4(x2 x1)33 293x1x2(x1 x2)22同理tanAQB kQBkQA1kQAkQBy21y1122x2x1()22y21y11122x2x1()22(x1 x2)4(x2 x1)3213x1x2(x1 x2)22所以APB,AQB互补，因此 A、P、B、Q 四点在同一圆上。法二：由P(22,1)和题设知，Q(,1),PQ 的垂直平分线l1的方程为22y 2x2设 AB 的中点为 M，则M(2 121,)，AB 的垂直平分线l2的方程为y x42242 1,)88由得l1、l2的交点为N(|NP|(22213

20、11,)(1)228883 22|AB|1(2)2|x2 x1|AM|3 22221123 3,|MN|(,)()4482883 118|NA|AM|2|MN|2故|NP|NA|.|NP|NQ|,|NA|NB|所以 A、P、B、Q 四点在同一圆圆 N 上.（22）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数f(x)ln(1 x)2x，证明：当x0时，f(x)0；x2（）从编号1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 20 次，设抽得的 20 个号码互不相同的概率为p.证明：p(9191)210e【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究

21、单调性最值的常规题，不难证明。第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。12(x2)2xx2 0【精讲精析】(I)f(x)x1(x2)2(x2)2(1 x)所以f(x)在(1,)上单增。当x 0时，f(x)f(0)0。（II）p 100999881L 1001001001002xx2由(I)，当 x0 时，f(x)f(0)0,即有ln(1 x)故19ln9119ln(1)19 2110102210910(1)10于是e19ln91 e2,即()192.10e利用推广的均值不等式：x1 x2L xnnx1x2L xn,xi 0n1981 1009998L 100999881100100100100(9)19p L 1001001001001910另解：(ln x)()1x1 0，2xx1 x2L xnn所以y ln x是上凸函数，于是ln x1ln x2L ln xn ln因此ln p ln100999881lnlnL ln10010010010081 1009998L 10010010010019ln19919ln()，10919故p ()109191综上：p ()210e