2020年全国统一高考数学试卷及答案解析(文科)(新课标Ⅰ).pdf

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1、绝密启用前2020 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合Ax|x23x 4 0,B 4,1,3,5，则AB（）A.4,1B.1,5C.3,5D.1,3答案：D分析：首先解一元二次不等式求得集合A，

2、之后利用交集中元素的特征求得A详解：由x23x4 0解得1 x 4，所以Ax|1 x 4，又因为B 4,1,3,5，所以A故选：D.点评：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若z 12ii3，则|z|=（）A.0B.1C.答案：C分析：先根据i2 1将z化简，再根据向量的模的计算公式即可求出详解：因为z 1+2ii31+2ii 1i，所以z 1212故选：CB，得到结果.B 1,3，2D.222020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第1页共16页点评：本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题3.

3、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.5 145 14B.5 125 12C.D.答案：C分析：设CD a,PE b，利用PO 21CDPE得到关于a,b的方程，解方程即可得到答案.22222a，详解：如图，设CD a,PE b，则PO PE OEb 41b2ba212由题意PO ab，即b ab，化简得4()21 0，2aa422解得b15（负值舍去）.a4故选：C.点晴：本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道

4、容易题.4.设 O为正方形 ABCD的中心，在 O，A，B，C，D中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为（）A.1241B.C.D.2555答案：A分析：列出从 5 个点选 3个点的所有情况，再列出3 点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.详解：如图，从O,A,B,C,D5个点中任取 3 个有O,A,B,O,A,C,O,A,D,O,B,CO,B,D,O,C,D,A,B,C,A,B,DA,C,D,B,C,D共10种不同取法，3 点共线只有A,O,C与B,O,D共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第2页共16页取到

5、 3 点共线的概率为故选：A21.105点晴：本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度 x（单位：C）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i 1,2,20)得到下面的散点图：C至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度 x 的回归方程类由此散点图，在 10型的是（）A.y a bxC.y a bex答案：D分析：根据散点图的分布可选择合适的函数模型.详解：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率

6、y和温度x的回归方程类型的是y abln x.故选：D.点评：本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆x2 y26x 0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4答案：B分析：当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.详解：圆x2 y26x 0化为(x 3)2 y2 9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时2B.y abxD.y abln x2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标

7、）第3页共16页|CP|(31)2(2)2 2 2根据弦长公式得最小值为2 9|CP|2 2 98 2.故选：B.点评：本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数f(x)cos(x)在,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（）A.631074B.C.D.2963答案：C分析：由图可得：函数图象过点4,0，即可得944cos 0,0是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点即可得到到，结合69943，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.29624,0，9详解：由图可得：函数图象过点将它代入函数fx可得：cos4 069又4,0是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交

8、点，9所以43，解得：2962最小正周期为所以函数fx故选：CT 224332点评：本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.设alog34 2，则4a（）A.116B.19C.18D.16答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第4页共16页a详解：由alog34 2可得log34 2，所以4a 9，所以有4a1，9故选：B.点评：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n=（）A.17B

9、.19C.21D.23答案：C分析：根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135式即可求出详解：依据程序框图的算法功能可知，输出的n是满足135 n 100的最小正奇数n，根据等差数列求和公 n 100的最小正奇数，因为1n135n n1121n12100，解得n19，24所以输出的n 21故选：C.点评：本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用，属于基础题10.设an是等比数列，且a1 a2 a31，a2 a3+a4 2，则a6a7a8（）A.12答案：D分析：根据已知条件求得q的值，再由a6a7a8 q5B.24C.30D.32a1a2a3可求得结果.详解：设等

10、比数列an的公比为q，则a1a2a3 a11qq21，a2a3a4 a1qa1q2a1q3 a1q1qq2 q 2，因此，a6a7a8 a1q a1q a1q a1q 1qq故选：D.点评：本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题56752 q532.2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第5页共16页y211.设F1,F2是双曲线C:x 1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的32面积为（）A.72B.3C.52D.2答案：B22分析：由F1F2P是以 P 为直角直角 三角形得到|PF1|PF2|16，再利用双 曲线的定义得 到|PF1|P

11、F2|2，联立即可得到|PF1|PF2|，代入SF1F2P详解：由已知，不妨设F1(2,0),F2(2,0)，则a 1,c 2，因为|OP|11|PF1|PF2|中计算即可.21|F1F2|，2所以点P在以F1F2为直径的圆上，即F1F2P是以 P 为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|PF2|16，又|PF1|PF2|2a 2，22所以4|PF1|PF2|PF1|PF2|2|PF1|PF2|16 2|PF1|PF2|，222解得|PF1|PF2|6，所以SF1F2P故选：B1|PF1|PF2|32点晴：本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双

12、曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4，AB BC AC OO1，则球O的表面积为（）A.64答案：A分析：由已知可得等边ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO1的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.详解：设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意，B.48C.36D.322020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第6页共16页得r2 4,r 2，ABC为等边三角形，由正弦定理可得AB 2rsin60 2 3，OO1 AB 2 3，根据球的截面性质OO1平面ABC，O

13、O1 O1A,R OA OO12O1A2OO12 r2 4，球O的表面积S 4R2 64.故选：A点评：本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.2x y2 0,13.若 x，y满足约束条件x y1 0,则 z=x+7y 的最大值为_.y1 0,答案：1分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数z x 7y即：y 11xz，77其中 z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在

14、点A处取得最大值，2x y2 0联立直线方程：，可得点 A 的坐标为：A 1,0，x y1 0据此可知目标函数的最大值为：zmax170 1.故答案：1点评：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在 y轴截距最小时，z值最小；当 b0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z值最小，在y 轴上截距最小时，z值最大.14.设向量a (1,1),b (m 1,2m 4)，若a b，则m _.答案：5分析：根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.详解：由a b可得ab 0，2020 年全国统一高考数学试

15、卷及答案解析（文科）（新课标）第7页共16页又因为a (1,1),b (m1,2m4)，所以ab 1(m 1)(1)(2m4)0，即m 5，故答案：5.点评：本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.15.曲线y ln x x1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为_.答案：y 2x分析：设切线的切点坐标为(x0,y0)，对函数求导，利用y|x0 2，求出x0，代入曲线方程求出y0，得到切线的点斜式方程，化简即可.详解：设切线的切点坐标为(x0,y0),y lnx x 1,y11，xy|xx011 2,x01,y0 2，所以切点坐标为(1,2)，x0所求的切

16、线方程为y 2 2(x1)，即y 2x.故答案为：y 2x.点评：本题考查导数的几何意义，属于基础题.n16.数列an满足an2(1)an 3n1，前 16项和为 540，则a1_.答案：7分析：对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a1方程，求解即可得出结论.n详解：an2(1)an 3n1，当n为奇数时，an2 an3n 1；当n为偶数时，an2 an 3n 1.设数列an的前n项和为Sn，S16 a1 a2 a3 a4 a1 a3 a5 a16(a14 a16)a15(a2 a4)a1(a1 2)(

17、a110)(a1 24)(a1 44)(a1 70)2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第8页共16页(a1102)(a1140)(517 29 41)8a1392 92 8a1 484 540，a1 7.故答案为：7.点评：本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A

18、，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A级品、B 级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于 D级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为 20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级频数A40B20C20D20乙分厂产品等级的频数分布表等级频数A28B17C34D21（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润

19、，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?答案：（1）甲分厂加工出来的A级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.分析：（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第9页共16页详解：（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A级品的概率为40 0.4，乙厂加工出来的一件产品100为A级品的概率为280.28；100（2）甲分厂加工100件产品总利润为4090252050252020252050251500元

20、，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为2890201750203420202150201000元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件故厂家选择甲分厂承接加工任务点评：本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题18.ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.已知 B=150.（1）若 a=3c，b=27，求ABC的面积；2（2）若 sinA+3sinC=，求 C.2答案：（1）3；（2）15.分析：的1acsin B 3；2（1）已知角B和b边，结合a,c关系，由余弦定理建立c的方程

21、，求解得出a,c，利用面积公式，即可得出结论；（2）将A 30C代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C角的三角函数值，结合C的范围，即可求解.详解：（1）由余弦定理可得b2 28 a2c22accos150 7c2，c 2,a 2 3,ABC的面积S（2）AC 30，sin A3sin C sin(30C)3sin C132，cosC sinC sin(C 30)2222020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第10页共16页0 C 30,30 C 30 60，C 30 45,C 15.点评：本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查

22、计算求解能力，属于基础题.19.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC=90（1）证明：平面 PAB平面 PAC；（2）设 DO=2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥 P ABC的体积.答案：（1）证明见解析；（2）分析：（1）根据已知可得PA PB PC，进而有PACPBC，可得6.8APC BPC 90，即PB PC，从而证得PC 平面PAB，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l和底面半径r的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC边长，在等腰直角三角形APC中求出AP，在Rt APO中，求出PO，即可求出结论.详解：（1

23、）连接OA,OB,OC，D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD 平面ABC，P在DO上，OAOB OC,PA PB PC，ABC是圆内接正三角形，AC BC，PACPBC，APC BPC 90，即PB PC,PA PC，PAPB P,PC 平面PAB,PC 平面PAC，平面PAB 平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为rl 3,rl 3，OD2l2r2 2，解得r 1,l 3，AC 2rsin60 3，在等腰直角三角形APC中，AP 26，AC 2262，1 42在Rt PAO中，PO AP2OA2三棱锥P ABC的体积为VPABC1POSABC12336.33248202

24、0 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第11页共16页点评：本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数f(x)exa(x2).（1）当a 1时，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.1答案：（1）f(x)的减区间为(,0)，增区间为(0,)；（2）(,).e分析：（1）将a 1代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；xe（2）若f(x)有两个零点，即e a(x2)0有两个解，将其转化为a 有两个解，

25、令x2xexh(x)(x 2)，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.x2详解：（1）当a 1时，f(x)e(x2)，f(x)e 1，令f(x)0，解得x 0，令f(x)0，解得x 0，所以f(x)的减区间为(,0)，增区间为(0,)；x（2）若f(x)有两个零点，即e a(x2)0有两个解，xxex从方程可知，x 2不成立，即a 有两个解，x2ex(x 2)exex(x 1)ex令h(x)(x 2)，则有h(x)22，(x 2)(x 2)x2令h(x)0，解得x 1，令h(x)0，解得x 2或2 x 1，所以函数h(x)在(,2)和(2,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，且当x 2时，h

26、(x)0，而x 2时，h(x)，当x时，h(x)，1ex所以当a 有两个解时，有a h(1)，ex22020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第12页共16页1所以满足条件的a的取值范围是：(,).e点评：本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线y e和直线xy a(x 2)有两个交点，利用过点(2,0)的曲线y ex的切线斜率，结合图形求得结果.x221.已知 A、B 分别为椭圆 E：2 y21（a1）的左、右顶点，G为 E 的上顶点，AG GB 8，

27、P 为直线ax=6上的动点，PA 与 E的另一交点为 C，PB与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD过定点.x2答案：（1）（2）证明详见解析.y21；9分析：G0,1，（1）由已知可得：Aa,0，Ba,0，即可求得AGGB a21，结合已知即可求得：a2 9，问题得解.（2）设P6,y0，可得直线AP的方程为：y y0 x3，联立直线AP的方程与椭圆方程即可求得点C9 3y02276y03y0232y0,2,2的坐标为，即可表示出直线CD的方，同理可得点D的坐标为22y9y9y1y10000程，整理直线CD的方程可得：y 4y03x，命题得证.233 y02详解

28、：（1）依据题意作出如下图象：x2由椭圆方程E:2 y21(a 1)可得：Aa,0，Ba,0，G0,1aAG a,1，GB a,1AGGB a218，a2 9x2椭圆方程为：y219（2）证明：设P6,y0，2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第13页共16页则直线AP的方程为：y y00 x3，即：y y0 x3639x22 y 19联立直线AP的方程与椭圆方程可得：，整理得：y y0 x393y0227y09x 6y0 x9y081 0，解得：x 3或x y29022226y03y0227y0y y x3将x 代入直线可得：22y9y0990 3y02276y0,2

29、所以点C的坐标为.2y9y9003y0232y0,2同理可得：点D的坐标为2y01y01直线CD的方程为：y 2y06y0y029y0212y03y023x2，y0213y02273y023y012y029y018y0y0232y03y0238y03y023x2整理可得：y 2x242y01y1y169 y00063 y0整理得：y 4y02y04y03xxy02333 y02233 y02故直线CD过定点3,02点评：本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做

30、的第一题计分.选修 44：坐标系与参数方程x coskt,(t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为ky sin t为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 02020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第14页共16页（1）当k 1时，C1是什么曲线？（2）当k 4时，求C1与C2的公共点的直角坐标答案：（1）曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；（2）(,).分析：（1）利用sin2t cos2t 1消去参数t，求出曲线C1的普通方程，即可得出结论；2x cos t(t为参数）（2）当k 4时，x

31、0,y 0，曲线C1的参数方程化为，两式相加消去参数t，2y sin t1 14 4得C1普通方程，由cos x,sin y，将曲线C2化为直角坐标方程，联立C1,C2方程，即可求解.x costC(t为参数）详解：（1）当k 1时，曲线1的参数方程为，y sint两式平方相加得x y 1，所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；22x cos4t(t为参数）（2）当k 4时，曲线C1的参数方程为，4y sin t2x cos t(t为参数）所以x 0,y 0，曲线C1的参数方程化为，2y sin t两式相加得曲线C1方程为x 得y 1，y 1x，平方得y x 2 x 1,0 x 1

32、,0 y 1，曲线C2的极坐标方程为4cos16sin3 0，曲线C2直角坐标方程为4x 16y 3 0，y x2 x 1C,C联立12方程，4x16y 3 0整理得12x 32 x 13 0，解得x 113或x（舍去），62111 1x,y，C1,C2公共点的直角坐标为(,).4 444点评：本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第15页共16页注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.选修 45：不等式选讲23.已知函数f(x)|3x 1|2|x 1|（1）画出y f(x)的图像；（2）求不等式f(x)f(x 1)的解集答案：（1）详解解析；（2）,7.6分析：（1）根据分段讨论法，即可写出函数fx的解析式，作出图象；（2）作出函数fx1的图象，根据图象即可解出x3,x 11详解：（1）因为fx5x1,x 1，作出图象，如图所示：31x3,x 3（2）将函数fx的图象向左平移1个单位，可得函数fx1的图象，如图所示：由x35x11，解得x 767 6所以不等式f(x)f(x 1)的解集为,点评：本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题2020 年全国统一高考数学试卷及答案解析（文科）（新课标）第16页共16页