因式分解概念与提公因式讲稿.ppt

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1、关于因式分解概念与提公因式第一页，讲稿共五十七页哦分析下列计算是整式乘法中的哪一种分析下列计算是整式乘法中的哪一种并求出结果并求出结果:(口答口答)(1)(2)(3)第二页，讲稿共五十七页哦乘法分配律：乘法分配律：m（a+b+c）=ma+mb+mc每一项都必须含有每一项都必须含有相同因式相同因式m m。现逆用乘法分配律现逆用乘法分配律各项除以相同因式各项除以相同因式m后剩下的因式。后剩下的因式。1、m可以是数字、字母、多项式。可以是数字、字母、多项式。2、逆用的条件与结论都不一样。、逆用的条件与结论都不一样。第三页，讲稿共五十七页哦 一般地，把一个一般地，把一个多项多项式式转化成几个转化成几个

2、整式整式的的积积的形的形式，叫做式，叫做因式分解因式分解，有时，有时我们也把这一过程叫做我们也把这一过程叫做分分解因式解因式。想一想想一想：分解因式与整式乘法有何关系：分解因式与整式乘法有何关系第四页，讲稿共五十七页哦注意注意：1.因式分解因式分解不是运算不是运算,是是一种多项式的一种多项式的变形变形；因式分解与多项式乘法互为逆变形。因式分解与多项式乘法互为逆变形。2.因式分解必须在因式分解必须在整式范围内整式范围内进行，否则不属于因式进行，否则不属于因式分解；分解；3.利利用整式的乘法可以验证用整式的乘法可以验证因式分解是否正确因式分解是否正确.第五页，讲稿共五十七页哦想一想想一想:分解因式

3、与整式乘法有何关系分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式与整式乘法是互逆过程几个整式的积几个整式的积 m(a+b+c)一个多项式一个多项式ma+mb+mc整式乘法整式乘法因式分解因式分解练习一.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?哪哪些不是些不是?为什么？为什么？1）x 2 y 2+1=(x+y)(x-y)+12）6x2y3=3xy2xy23）(不是不是）(不是不是）(不是不是）第六页，讲稿共五十七页哦（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）是不是是不是不是不是不是下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？下列代数式从左到右的变

4、形是因式分解吗？第七页，讲稿共五十七页哦公因式的定义公因式的定义：一个多项式一个多项式各项都含有各项都含有的的相同因式相同因式,叫做这个多项叫做这个多项式各项的式各项的公因式公因式.第八页，讲稿共五十七页哦 多项式中多项式中各项都含有的相同各项都含有的相同因式，因式，叫做这个多项式各项的叫做这个多项式各项的公因式。公因式。怎样确定多项式的公因式？怎样确定多项式的公因式？公因式与多项式的各项有什么关系公因式与多项式的各项有什么关系？公因式公因式：第九页，讲稿共五十七页哦1、找出下列多项式中各项中含有的相同因式.第十页，讲稿共五十七页哦正确找出多项式各项公因式公因式的关键关键是：1 1、定系数定系

5、数：公因式的系数是多项式各项系数的公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。最大公约数。2 2、定字母定字母：字母取多项式各项中都含有的相字母取多项式各项中都含有的相同的字母。同的字母。3 3、定指数定指数：相同字母的指数取各项中最小的相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂一个，即字母最低次幂 第十一页，讲稿共五十七页哦说出下列各多项式的公因式：说出下列各多项式的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx-8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b-2ab2+ab.m4k5y2ab最大公约数最大公约数相同相同字母字母最最低低指数指数一一定系数定系数二二定字母定字母三三定指数定指数第十二

6、页，讲稿共五十七页哦找一找找一找:下列各多项式的下列各多项式的公因式公因式是什么？是什么？（3）（a）（a2）（2(m+n)）（3mn）（-2xy）(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a 2-a 3(4)4(m+n)2+2(m+n)(5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2 第十三页，讲稿共五十七页哦 7x2-21x 8 a 3 b2 12ab 3+ab m b2+n b 7x 3y2 42x2y 3 4a2 b 2a b2+6abc说出下列各式的公因式：说出下列各式的公因式：7xabb7x2y22ab第十四页，讲稿共五十七页哦 指出下列各多项式中各项的公因式指出下列

7、各多项式中各项的公因式 ax+ay-a （）5x2y3-10 x2y （）24abc-9a2b2 （）m2n+mn2 （）x(x-y)2-y(x-y)()a5x2y3abmnx-y第十五页，讲稿共五十七页哦 如果一个多项式的各项含如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式化成两个因式乘积的形式.这种这种分解因式的方法叫做分解因式的方法叫做提公因式提公因式法法.概念引入：第十六页，讲稿共五十七页哦因式分解因式分解：把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc ma+mb+mc

8、 就可以分解就可以分解成两个因式成两个因式m m和和(a+b+c)(a+b+c)的乘积。像这种因式分解的乘积。像这种因式分解的方法，叫做的方法，叫做提取公因式法提取公因式法。解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法第十七页，讲稿共五十七页哦1.1.填空填空:（口答）（口答）(1)(2)(3)(4)第十八页，讲稿共五十七页哦 例1 把 9x2 6xy+3xz 分解因式.=3x3x-3x2y+3xz 解：解：=3x(3x-2y+z)9x2 6 x y+3x z 方法步骤：方法步骤：找出找出 公因式；公因式；提出提出 公

9、因式，公因式，（即用多项式中每一项（即用多项式中每一项除以除以公因式）公因式）第十九页，讲稿共五十七页哦例2:分解因式8ab-12abc+ab解解:原式原式=ab8a-ab12bc+ab1 =ab(8a-12bc+1)判断下列分解因式正确吗判断下列分解因式正确吗1.2x+3x+x=x(2x+3x)2.3ac-6ac=3a(c-2ac)X(2X+3X+1)3ac(1-2a)注意注意:提取公因式后：提取公因式后：(1)另一个因式不能再含另一个因式不能再含 有公因式有公因式(2)另一个因式的项数与原多项式的项数一另一个因式的项数与原多项式的项数一致致我做得对吗？不要漏掉不要漏掉1如果多项式的某一项正

10、好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用如果多项式的某一项正好是公因式，要注意该项在提取了公因式后，应该用“1”顶替它原来的位置，切不可把顶替它原来的位置，切不可把“1”漏掉。漏掉。第二十页，讲稿共五十七页哦例例3.把把-24x3 12x2+28x 分解因式分解因式.当多项式第一项系数是负当多项式第一项系数是负数，通常先提出数，通常先提出“-”号，号，使括号内第一项系数变为使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都正数，注意括号内各项都要变号。要变号。解：原式解：原式=(24x34x+12x24x-28x4x)(6x2+3x-7)=第二十一页，讲稿共五十七页哦练习练习.将下列各式分解因

11、式：将下列各式分解因式：(1)(2)(3)(4)第二十二页，讲稿共五十七页哦 25x-5 3 x3-3x2 9x 8a 2c+2b c -4a 3b3+6 a2 b-2ab -2x2 12xy2+8xy3 练习练习 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：a第二十三页，讲稿共五十七页哦提公因式法分解因式提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式。正确的找出多项式各项的公因式。注意：注意：1 1 多项式是多项式是几项几项，提公因式后也剩，提公因式后也剩几项几项。2 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公因当多项式的某一项和公因式相同时提公因 式后剩余的项是式后剩余的项是1 1。3 3、当多项

12、式、当多项式第一项系数第一项系数是负数，通常是负数，通常先提出先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。意括号内各项都要变号。第二十四页，讲稿共五十七页哦怎样怎样正确多项式各项的公因式？正确多项式各项的公因式？1 1、公因式的系数是多项式各项系公因式的系数是多项式各项系 数的最大公约数；数的最大公约数；字母：字母：2 2、字母取多项式各项中都含有的相字母取多项式各项中都含有的相同的字母；同的字母；指数：指数：3 3、相同字母的指数取各项中最小的相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；一个，即字母最低次幂；注：注：多项式各项的

13、公因式可以是单多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式项式，也可以是多项式 。系数：系数：第二十五页，讲稿共五十七页哦2.2.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)(2)(3)第二十六页，讲稿共五十七页哦练习二练习二:分解因式分解因式(1)a+ab-ac(2)-2x+4x+2x=a(ab+c)=2x(x2x1)第二十七页，讲稿共五十七页哦例例4 4：把：把2a(b+c)-5(b+c)2a(b+c)-5(b+c)分解因式分解因式(b+c)(b+c)(b+c)(b+c)解：解：2a(b+c)5(b+c)=(b+c)(2a-5)注意：注意：公因式可以是数字，字母，也公因式可以是数字，字

14、母，也 可以是单项式，还可以是可以是单项式，还可以是多项式。多项式。第二十八页，讲稿共五十七页哦练习三、把下列各式分解因式：练习三、把下列各式分解因式：（1 1）x(a+b)+y(a+b)x(a+b)+y(a+b)（2 2）3a(x-y)-(x-y)3a(x-y)-(x-y)（3 3）6(p+q)6(p+q)2 2-12(p+q)-12(p+q)解：（解：（1 1）原式）原式=(a+b)(a+b)（x+yx+y）（2 2）原式原式=(x-y)(x-y)（3a-13a-1）（3 3）原式原式=6(p+q)(p+q-2)=6(p+q)(p+q-2)第二十九页，讲稿共五十七页哦确定公因式要对数字因数

15、和字母分别进行考虑确定公因式要对数字因数和字母分别进行考虑:1.各项各项系数系数都是整数时都是整数时,公因式的系数应取各项系公因式的系数应取各项系数的数的最大公约数最大公约数;2.字母字母取各项取各项相同相同的字母的字母,而且各字母的而且各字母的指数指数取取次数最低次数最低的的第三十页，讲稿共五十七页哦4.4.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1)(2)(3)(4)第三十一页，讲稿共五十七页哦(1)ax+xy=()()(2)3mx-6my=()()(3)x2y+xy2=()()(4)15a2+10a=()()(5)12xyz9x2y2=()()x 3m xy5a3a+23xy4z-3x

16、y将下列多项式因式分解将下列多项式因式分解:a+yx-2yx+y(6)2a(b+c)-3(b+c)=()()b+c 2a-3第三十二页，讲稿共五十七页哦小结小结:本节课我们学习了哪些知识本节课我们学习了哪些知识?3、确定公因式的方法、确定公因式的方法（1）系数）系数取各项的最大公约数取各项的最大公约数（2）字母）字母取各项相同字母取各项相同字母（3）指数）指数取各项相同字母的最低次幂取各项相同字母的最低次幂4、提公因式法分解因式的步骤、提公因式法分解因式的步骤（1）确定公因式）确定公因式（2）用公因式去除多项式的各项得另一因式）用公因式去除多项式的各项得另一因式（3）写成这两个因式的积的形式）

17、写成这两个因式的积的形式1、什么叫做公因式？、什么叫做公因式？2、什么叫提公因式法？第三十三页，讲稿共五十七页哦2、确定公因式的方法：小结3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：1、什么叫因式分解？(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.4、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要提尽；（2）小心漏掉1;（3）提出负号时,要注意变号.记住哟！第三十四页，讲稿共五十七页哦1 1、确定公因式的方法：、确定公因式的方法：（1 1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。（2 2）字母取多项式各项中都含有的相同的字

18、母。字母取多项式各项中都含有的相同的字母。（3 3）相同字母的指数取各项中最小的一个相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂即最低次幂。小结小结2 2、提公因式法分解因式：、提公因式法分解因式：第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提公因式第二步，提公因式,即用多项式除以公因式即用多项式除以公因式.第三十五页，讲稿共五十七页哦第三十六页，讲稿共五十七页哦 因式分解因式分解 概念及提公因式法概念及提公因式法2第三十七页，讲稿共五十七页哦教学过程：一、复习提问：一、复习提问：1、把、把 化化成成 的形式，叫的形式，叫做把这个多项式因式分解。做把这个多项式因式分解。2、因式分解与、因式

19、分解与 是互是互逆变形，分解的结果对不对可以用逆变形，分解的结果对不对可以用 运算检验运算检验 一个多项式一个多项式 几个整式的乘积几个整式的乘积 整式乘法整式乘法第三十八页，讲稿共五十七页哦回顾与思考 1 1 多项式的分解因式的概念：多项式的分解因式的概念：把把一一个个多多项项式式化化为为几几个个整整式式乘乘积积的的形形式式，叫叫做做把这个多项式分解因式把这个多项式分解因式.2 2 分解因式与整式乘法是分解因式与整式乘法是互逆互逆过程过程.3 3 分解因式要注意以下几点分解因式要注意以下几点:分解的分解的对象对象必须是必须是多项式多项式.分解的分解的结果结果一定是几个一定是几个整式的乘积整式

20、的乘积的形的形式式.第三十九页，讲稿共五十七页哦 a c+b c 3 x2+x 30 m b2+5n b 3x+6 a2 b 2a b2+ab 7(a 3)b(a 3)下列各多项式有没有下列各多项式有没有共同共同的的因式因式？c x5b3aba-3第四十页，讲稿共五十七页哦提取公因式法提取公因式法1、中各项的公因式是中各项的公因式是_。公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的项式各项的公因式。公因式。3xy2找公因式的方法：找公因式的方法：1：系数为：系数为 ；2、字母是、字母是 ；3、字母的次数、字母的次数 。各系

21、数的最小公倍数各系数的最小公倍数相同字母相同字母相同字母的最低次数相同字母的最低次数练习：练习：5x225x的公因式为的公因式为 ；2ab24a2b3的公因式为的公因式为 ，多项式多项式x21与与(x1)2的公因式是的公因式是 。5x-2ab2x-1第四十一页，讲稿共五十七页哦如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。提取公因式法提取公因式法练习：练习：1、把多项式、把多项式m2(a2)+m(2a)分解因式等于

22、（分解因式等于（）A(a2)(m2+m)B(a2)(m2m)Cm(a2)(m1)Dm(a2)(m+1)C2、把下列多项式分解因式、把下列多项式分解因式(1)(2)(3)第四十二页，讲稿共五十七页哦例例1、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：25x2y3-15x2y2 9a(a-b)2-15(b-a)38xmyn-1-12x3myn mn(m-n)-n(n-m)2(b-a)2-2a+2b a(x-a)(x+y)2-b(x-a)2(x+y)第四十三页，讲稿共五十七页哦例例2、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：6a3b2-3a2b3-18a2b3 -4x2yz-12xy3z+4xyzm

23、(1-x)-n(x-1)+p(1-x)-ab(a-b)2+a(b-a)2-a(a-b)2第四十四页，讲稿共五十七页哦例例3、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：m2-mn+mx-nx am+bm+an+bn+a+ba2b2-a2-b2+1 10a2x+21xy2-14ax2-15ay22x2(-2x+9)-28x m2-mn+5n-5m(用两种方法用两种方法)第四十五页，讲稿共五十七页哦1、分解因式计算分解因式计算 (-2)101+(-2)1002、利用简便方法计算利用简便方法计算：4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 3、已知已知 a+b=3,ab=2,求代数式求

24、代数式 a2 b+2 a2 b2+a b2 的值的值。4、把把 9am+1 21 am+7a m-1分解因式分解因式5 5、解方程解方程.（x-4)x-4)2 2-(4-x)(8-x)=12-(4-x)(8-x)=126 6、化简：化简：1+x+x(1+x)+x(1+x)1+x+x(1+x)+x(1+x)2 2+.+x(1+x)+.+x(1+x)20152015例例4、分解因式的应用、分解因式的应用第四十六页，讲稿共五十七页哦(1)13.80.125+86.21/8(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.解：原式=13.80.125+86.20.125 =0.125(13.8+8

25、6.2)=0.125100 =12.5 解:a2b+ab2=ab(a+b)=3 5=15因式分解应用第四十七页，讲稿共五十七页哦拓展运用拓展运用：6.已知已知1xx2x3=0.求求xx2x3x4x2015的值的值.解：原式解：原式x(1xx2x3)x5(1xx2x3)x2012(1xx2x3)0第四十八页，讲稿共五十七页哦第四十九页，讲稿共五十七页哦6、分解因式：、分解因式：4xmynb6xm1yn22xm2yn1a(xyz)b(zxy)c(xzy)(5x2y)2(2x5y)2解：原式解：原式2xmyn(2b3xy2x2y)解：原式解：原式(xyz)(abc)解：原式解：原式25x220 xy

26、4y24x220 xy25y2 29x229y2 29(x2y2)第五十页，讲稿共五十七页哦3.试说明试说明:817279913能被能被45整除整除.解：解：原式原式(34)7(33)9(32)13 =328327326 =326(3231)=3265 =32545 817279913能被能被45整除整除.第五十一页，讲稿共五十七页哦整除吗整除吗能被能被120525127-?是奇数还是偶数是奇数还是偶数？想一想nn+2（1）（2）（3）1993-199能被能被200整除吗整除吗?还还能被哪些整数整除能被哪些整数整除?第五十二页，讲稿共五十七页哦第五十三页，讲稿共五十七页哦作业作业1、把下列把下

27、列多项多项式因式分解式因式分解：6(x-2)+x(2-x)24a(a-b)2+18(b-a)2 (x-y)2-(y-x)3 (m+1)(m-1)+(m-1)(a-3)2-2a+6 15x(a-b)2-3y(b-a)-4a3+4a2-16a 2x3+x2-6x-3 (用两种方法用两种方法)第五十四页，讲稿共五十七页哦作业作业2、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：-1/5abc+1/5ab2-a2bc 2x(x-y)2-4x2(y-x)2(x-y)3-2z(y-x)2 (m-n)4-m(n-m)3+n(n-m)3 3x(a+2b)-6xy(2b+a)7x2-3y+xy-21x(用两种方法用两种方法)第五十五页，讲稿共五十七页哦作业作业3、把下列把下列多项多项式因式分解式因式分解：xyz2-xy2z+x2yz (b-a)2-2a+2b (2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b)5(x-Y)3+10(y-x)215x(a-b)2-3y(b-a)2 4a2+2ab+6a+3b(用两种方法用两种方法)第五十六页，讲稿共五十七页哦27.09.2022感感谢谢大大家家观观看看第五十七页，讲稿共五十七页哦