多元函数微分学一.ppt

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1、多元函数微分学一1现在学习的是第1页，共51页一、主要内容一、主要内容定义2 (点函数)设D是n维空间中的一个点集,如果对于D中的每一个点P,按照一定的法则有确定的数u与之对应,则称对应法则是定义在D上的函数.记为点集D称为这个函数的定义域.第第1 1节节 多元函数多元函数一.定义2现在学习的是第2页，共51页二二.多元函数定义域多元函数定义域定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的的自变量取值的全体自变量取值的全体.实际问题中的函数实际问题中的函数:自变量取值的全体自变量取值的全体.纯数学问题的函数纯数学问题的函数:定义域为使定义域为使运算有意义运算有意义的的规定规定:分母不为分母不为0;

2、负数不能开偶次方负数不能开偶次方;0和负数没有对数和负数没有对数;正弦正弦,余弦的绝对值不超过余弦的绝对值不超过1;00无意义无意义.3现在学习的是第3页，共51页记作记作定义定义2 2有有成立成立.的极限的极限.设二元函数设二元函数 P0(x0,y0)是是D的聚点的聚点.的定义的定义 义域为义域为D,如果存在常数如果存在常数 A,也记作也记作三三.多元函数的极限多元函数的极限4现在学习的是第4页，共51页 说明说明(1)定义中定义中(2)二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫(double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重极限二重极限.5现在学习的是第5页，共51页 相同点相同

3、点 多元函数的极限与一元函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要?定义相同定义相同.差异为差异为必需是点必需是点P在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋趋而而多元函数多元函数于于P0时时,相同点相同点和和差异差异是什么是什么条件是条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.6现在学习的是第6页，共51页确定极限确定极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广到关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元元函数上去函数上去.不存在不存在的方法的方法则可断言极限不存在则可断言极限不存在;若极

4、限值与若极限值与 k 有关有关,(1)(2)此时也可断言此时也可断言找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,处极限不存在处极限不存在.存在存在,沿直线沿直线7现在学习的是第7页，共51页四、多元函数的连续性 设二元函数设二元函数 则称函数则称函数定义定义3 3P0(x0,y0)为为D的聚点的聚点,且且 P0D.如果如果连续连续.如果函数如果函数 f(x,y)在开区域在开区域(闭区域闭区域)D内的内的每一点连续每一点连续,则称函数则称函数在在D内连续内连续,或称函数或称函数是是 D内的连续函数内的连续函数.的定义域为的定义域为D,8现在学习的是第8页，共51页有界闭区域有

5、界闭区域上上连续连续的多元函数的性质的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次(1)最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2)介值定理介值定理在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数,在在D上上在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数,如果如果在在D上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值,则它在则它在D上取得上取得9现在学习的是第9页，共51页第第2 2节节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法定义定义存在存在,内有定义，内有定义，函数有相应的增量函数有

6、相应的增量如果极限如果极限则称此极限为函数则称此极限为函数(称为称为关于关于x的偏增量的偏增量).记为记为对对x的偏导数的偏导数,10现在学习的是第10页，共51页记为记为或或同理同理,可定义函数可定义函数为为记为记为或或对对x的偏导数的偏导数,对对y的偏导数的偏导数,11现在学习的是第11页，共51页那么这个偏导数那么这个偏导数仍是仍是的二元函数的二元函数,它就称为函数它就称为函数如果函数如果函数对自变量对自变量x的偏导函数的偏导函数(简称偏导数简称偏导数),记作记作或或同理同理,可定义函数可定义函数对自变量对自变量y的的偏导函数偏导函数(简称偏导数简称偏导数),记作记作或或在区域在区域D内

7、任一点内任一点(x,y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在,12现在学习的是第12页，共51页结论结论:13现在学习的是第13页，共51页偏导数的概念可以偏导数的概念可以推广到二元以上函数推广到二元以上函数设设则则求多元函数求多元函数对某个变元对某个变元的偏导数时的偏导数时,作关于该变元的一元函数来求导即可作关于该变元的一元函数来求导即可.只要把其他变元当作常量只要把其他变元当作常量,而把函数当而把函数当14现在学习的是第14页，共51页二、偏导数的几何意义设二元函数设二元函数在点在点有有如图如图,为曲面为曲面偏导数偏导数.上的一点上的一点,过点过点作作平面平面此平面此平面与曲面相交得一曲

8、线与曲面相交得一曲线,曲线的曲线的方程为方程为由于偏导数由于偏导数等于一元函数等于一元函数的的导数导数故由故由一元函数导数的几何意义一元函数导数的几何意义15现在学习的是第15页，共51页可知可知:偏导数偏导数在几何上表示在几何上表示曲线曲线在点在点处的切线对处的切线对x轴轴的斜率的斜率;偏导数偏导数在几何上表示在几何上表示曲线曲线在点在点处的切线对处的切线对y轴轴的斜率的斜率.16现在学习的是第16页，共51页纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义定义三、高阶偏导数高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为二阶及二阶以上的偏导数统称为17现在学习的是第17页，共51页多元函数的高阶混合偏导

9、数如果连多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地一般地,续就与续就与求导次序无关求导次序无关.如果函数如果函数的两个二阶混合偏的两个二阶混合偏在区域在区域D内内定理定理连续，连续，那么在那么在导数导数该区域内该区域内18现在学习的是第18页，共51页第第3 3节节 全微分及其应用全微分及其应用处的处的全微分全微分.可表示为可表示为可微分可微分,在点在点则称函数则称函数称为函数称为函数记作记作即即函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时,则称则称可微函数可微函数.这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于一、全微分的定义19现在学习的是第19页，共51页 可微与偏导数存在有

10、何关系呢？可微与偏导数存在有何关系呢？?微分系数微分系数注注全微分全微分有类似一元函数微分的有类似一元函数微分的A=?B=?两个性质两个性质:全全 微微 分分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的的线性函数线性函数;高阶无穷小高阶无穷小.20现在学习的是第20页，共51页1.可微分的必要条件可微分的必要条件(可微一定有偏导数存在可微一定有偏导数存在).定理定理1 1(可微必要条件可微必要条件)如果函数如果函数可微分可微分,且函数且函数的全微分为的全微分为二、可微的条件21现在学习的是第21页，共51页都不能保证都不能保证函数在该点连续函数在该点连续.多

11、元函数多元函数在某点在某点可微可微是否保证是否保证 事实上事实上,显然显然,答答:由全微分的定义有由全微分的定义有可得可得多元函数可微必连续多元函数可微必连续 连续的定义连续的定义?不连续不连续的函数的函数上一节指出上一节指出,多元函数多元函数在某点各个在某点各个偏导数偏导数即使都即使都存在存在,函数在该点连续函数在该点连续如果函数如果函数可微分可微分,则函数在该点连续则函数在该点连续.一定是一定是不可微不可微的的.22现在学习的是第22页，共51页根据可微的定义有下面结论:23现在学习的是第23页，共51页2.可微分的充分条件可微分的充分条件定理定理2 2(微分充分条件微分充分条件)偏导数偏

12、导数 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况.称为二元函数的微分符合称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理如三元函数如三元函数则则24现在学习的是第24页，共51页考虑二元函数考虑二元函数 f(x,y)的下面的下面4条性质条性质:选择题选择题 f(x,y)在点在点(x0,y0)处连续处连续,f(x,y)在点在点(x0,y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续,f(x,y)在点在点(x0,y0)处可微处可微,f(x,y)在点在点(x0,y0)处的两个偏导数存在处

13、的两个偏导数存在.若用若用“”表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A).(B).(C).(D).25现在学习的是第25页，共51页二、典型例题二、典型例题例例1 求下面函数的定义域求下面函数的定义域26现在学习的是第26页，共51页设函数设函数证明证明:当当P(x,y)沿沿x轴轴的方向的方向当当P(x,y)沿沿y轴轴的方向的方向也有也有证证函数的极限不存在函数的极限不存在.无限接近点无限接近点(0,0)时时,同样同样,无限接近点无限接近点(0,0)时时,例例227现在学习的是第27页，共51页函数的极限存在且相等函数的极限存在且相等.当当P(x,y)沿直线沿直线 y=kx

14、的方向的方向其值随其值随k的不同而变化的不同而变化.所以所以,极限不存在极限不存在说明函数取上面两个说明函数取上面两个无限接近无限接近于点于点(0,0)时时,另一方面另一方面,无限接近点无限接近点(0,0)时时,设函数设函数证明证明:函数的极限不存在函数的极限不存在.特殊方向特殊方向28现在学习的是第28页，共51页极限极限 是否存在？是否存在？练习取取解解当当P(x,y)沿沿x轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时,当当P(x,y)沿沿y轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时,29现在学习的是第29页，共51页 极限不存在极限不存在.取取极限极限 是否存在？是否存在？

15、30现在学习的是第30页，共51页例3 证明函数分别对于每个自变量x和y都连续,但作为二元函数在点 却不连续.31现在学习的是第31页，共51页例例4 4 求极限求极限 解解其中其中32现在学习的是第32页，共51页例例5 5 求极限求极限 解解将将分母有理化分母有理化,得得 33现在学习的是第33页，共51页求多元函数的偏导数求多元函数的偏导数 例例 6 求求 的偏导数的偏导数.利用一元函数利用一元函数只需将只需将y的求导法对的求导法对x求导即可求导即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,例例 7 求求 的偏导数的偏导数.34现在学习的是第34页，共51页三个偏导数三个偏导

16、数.解解 求某一点的偏导数时求某一点的偏导数时,例例8变为一元函数变为一元函数,代入代入,在点在点(1,0,2)处的处的可将其它变量的值可将其它变量的值再求导再求导,常常较简单常常较简单.35现在学习的是第35页，共51页 证证 偏导数的记号只是一个整体记号偏导数的记号只是一个整体记号,不能像不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商微分的商.例例936现在学习的是第36页，共51页 曲线曲线在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与x轴正向所成的倾角是多少轴正向所成的倾角是多少?解解在点在点(2,4,5)处的处的切线切线与与y轴正向所成的倾角是

17、多少轴正向所成的倾角是多少?思考 曲线曲线37现在学习的是第37页，共51页解解例例10按按定义定义得得38现在学习的是第38页，共51页注注 但前面已证但前面已证,此函数在点此函数在点(0,0)是是不连续不连续的的.按按定义定义得得 由以上计算可知由以上计算可知,在点在点 处处可偏导可偏导,39现在学习的是第39页，共51页 二元函数二元函数f(x,y)在点在点(x0,y0)处两个偏导数处两个偏导数 fx(x0,y0),f y(x0,y0)存在是存在是 f(x,y)在该点连续的在该点连续的().A.充分条件而非必要条件充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件C.充分必

18、要条件充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件既非充分条件又非必要条件D40现在学习的是第40页，共51页偏偏 导导 数数例例11验证函数验证函数满足满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程:41现在学习的是第41页，共51页例例12解解有有42现在学习的是第42页，共51页按按定义定义得得43现在学习的是第43页，共51页例1344现在学习的是第44页，共51页例14.设函数证明:(1)函数例15.设函数证明:(1)函数(2)函数45现在学习的是第45页，共51页三、堂上练习三、堂上练习1.函数的连续范围是_.2.已知函数3.函数在_处间断.46现在学习的是第46页，共51页4.讨论函数的连续性.5.设47现在学习的是第47页，共51页 答案答案:0解解6.设48现在学习的是第48页，共51页7.设其中 有二阶连续偏导,求8.设其中 可微,证明:49现在学习的是第49页，共51页9.设10.证明:50现在学习的是第50页，共51页四、小结四、小结多元函数的概念,二元函数的几何意义理解二元函数的极限与连续的概念了解有界闭区域上多元连续函数的性质了解多元函数的偏导数与全微分理解概念,会求偏导与全微分全微分存在的必要条件和充分条件了解51现在学习的是第51页，共51页