圆的参数方程及其应用课件.ppt

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1、关于圆的参数方程及其应用现在学习的是第1页，共32页（1）在在取取定定的的坐坐标标系系中中，如如果果曲曲线线上上任任意意一一点点的的坐坐标标x、y都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并并且且对对于于t的的每每一一个个允允许许值值，由由上上述述方方程程组组所所确确定定的的点点M（x,y）都都在在这这条条曲曲线线上上，那那么么上上述述方方程程组组就就叫叫做做这这条条曲曲线线的的参参数数方方程程，联联系系x、y之之间间关关系系的的变变数数叫叫做做参参变变数数，简简称称参参数数。参参数数方方程程的的参参数数可可以以是是有有物物理理、几几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。何意义的变数，

2、也可以是没有明显意义的变数。（2）相相对对于于参参数数方方程程来来说说，前前面面学学过过的的直直接接给给出出曲曲线线上上点的坐标关系的方程，叫做曲线的点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。现在学习的是第2页，共32页已知曲线C的参数方程是 (1)判断点（0，1）,(5,4)是否在上.(2)已知点（，a）在曲线上，求a.现在学习的是第3页，共32页1、曲线、曲线 与与x轴轴的交点坐标是的交点坐标是()A、（、（1，4）；）；B、C、D、B()C现在学习的是第4页，共32页1、圆心在原点的圆的、圆心在原点的圆的参数方程参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第5页，共32页

3、1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第6页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第7页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第8页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor(rcos,rsin)现在学习的是第9页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第1

4、0页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第11页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第12页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第13页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor现在学习的是第14页，共32页1、圆心在原点的圆的参数方程：、圆心在原点的圆的参数方程：x 2+y 2=r 2 xyor(rcos,rs

5、in)圆心在原点圆心在原点半径为半径为 r 的的圆的参数方程圆的参数方程现在学习的是第15页，共32页2、圆心不在原点的圆的参数方程：、圆心不在原点的圆的参数方程：(x a)2+(y b)2=r 2圆心为圆心为(a,b)，半径为，半径为 r 的的圆的参数方程。圆的参数方程。参数参数圆的动半径与过圆心平行圆的动半径与过圆心平行 x 轴轴正半轴的射线所成的角。正半轴的射线所成的角。现在学习的是第16页，共32页例例2、已知点、已知点 P 是圆是圆 x 2+y 2=16 上的一个动上的一个动点，点点，点 A 是是 x 轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为(12,0)，当点当点 P 在圆上运动时，线段

6、在圆上运动时，线段 PA 的中点的中点 M的轨迹是的轨迹是什么？什么？解：设解：设 M(x,y)、P(4cos,4sin),A(12,0)(x 6)2+y 2=4现在学习的是第17页，共32页变式练习：在本题已知条件下，若点在本题已知条件下，若点 M 分分 PA 成定成定比比 2:1，求点，求点 M 的轨迹方程。的轨迹方程。现在学习的是第18页，共32页例例1 1、已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0，将它化，将它化为参数方程。为参数方程。解：解：x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程，（x

7、+1x+1）2 2+（y-3y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为(为参数为参数)现在学习的是第19页，共32页练习：练习：1.填空：已知圆填空：已知圆O的参数方程是的参数方程是(0 2 )如果圆上点如果圆上点P所对应的参数所对应的参数 ，则点，则点P的坐标是的坐标是 现在学习的是第20页，共32页A的圆，化为标准方程为的圆，化为标准方程为（2，-2）1化为参数方程为化为参数方程为把圆方程把圆方程0142)2(22=+-+yxyx现在学习的是第21页，共32页解法解法1:设设M的坐标为的坐标为(x,y),点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点

8、坐标公式得由中点坐标公式得:点点P的坐标为的坐标为(2x-12,2y)(2x-12)2+(2y)2=16即即 M的轨迹方程为的轨迹方程为(x-6)2+y2=4点点P在圆在圆x2+y2=16上上x xMMP PA Ay yO O O O例例2.2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?示例分析现在学习的是第22页，共32页x xMMP PA Ay yO O O O解法解法2:设设M坐标坐标(x,y),可设点可设点P坐

9、标为坐标为(4cos,4sin)点点M的轨迹是以的轨迹是以(6,0)为圆心、为圆心、2为半径的圆。为半径的圆。由中点公式得由中点公式得:点点M的轨迹方程为的轨迹方程为x=6+2cosy=2sinx=4cosy=4sin 圆圆x2+y2=16的参数方程为的参数方程为例例2.2.如图如图,已知点已知点P是圆是圆x2+y2=16上的一个动点上的一个动点,点点A是是x轴上的定点轴上的定点,坐标为坐标为(12,0).当点当点P在圆在圆 上运动时上运动时,线段线段PA中点中点M的轨迹是什么的轨迹是什么?示例分析现在学习的是第23页，共32页例例5、已知圆的方程是、已知圆的方程是 x 2+y 22ax+2(

10、a2)y+2=0，其中，其中 a 1 且且 a R(1)求证求证:a 取不为取不为 1 的实数时，上述圆恒过定点的实数时，上述圆恒过定点(2)求圆心的轨迹方程求圆心的轨迹方程(2)圆圆心为心为(a,2a)(1)x 2+y 24y+2 2a(x y)=0定点定点(1,1)x+y 2=0现在学习的是第24页，共32页例例3、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求上动点，求（1）x2+y2 的最值，的最值，（2）x+y的最值，的最值，（3）P到直线到直线x+y-1=0的距离的距离d的最值。的最值。现在学习的是第25页，共32页问题：已知问题：已知 a 2+b 2

11、=1，求，求 a+b 的最值。的最值。只能求最大值只能求最大值问题：若问题：若 x 2+y 2=r 2，x、y 如何三角换元？如何三角换元？现在学习的是第26页，共32页练习题：练习题：练习题：练习题：已知点已知点已知点已知点P P（x x，y y）是圆）是圆x x2 2+y+y2 2-6 6x x-4y+12=04y+12=0上动点，上动点，上动点，上动点，求（求（求（求（1 1）x2 2+y+y2 2 的最值；的最值；的最值；的最值；（2 2）x x+y+y的最值；的最值；的最值；的最值；（3 3）P P到直线到直线到直线到直线x+y+y-1=01=0的距离的距离的距离的距离d 的最值。的

12、最值。解：圆解：圆解：圆解：圆x x2 2+y+y2 2-6 6x x-4y+12=04y+12=0即（即（即（即（x x-3 3）2 2+（y y-2 2）2 2=1=1，用参数方程表示为用参数方程表示为用参数方程表示为用参数方程表示为由于点由于点由于点由于点P P在圆上，所以可设在圆上，所以可设在圆上，所以可设在圆上，所以可设P P（3+cos3+cos，2+sin2+sin），），），），（1 1）x x2 2+y+y2 2=(3+cos=(3+cos)2 2+(2+sin+(2+sin)2 2=14+4 sin=14+4 sin +6cos+6cos=14+2 sin(=14+2 si

13、n(+).).(其中其中其中其中tan tan =3/2)=3/2)现在学习的是第27页，共32页 x x2 2+y+y2 2 的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为14+2 14+2 ，最小值为，最小值为，最小值为，最小值为14-2 14-2 。(2)(2)x x+y=3+cos+y=3+cos+2+sin+2+sin=5+sin=5+sin（+）x+yx+y的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为5 5+，最小值为，最小值为，最小值为，最小值为5 5-。(3)显然当显然当显然当显然当sinsin（+）=1=1时，时，时，时，d 取最大值，最取最大值，最取最大值，最取最大值，最小值，分别为

14、小值，分别为小值，分别为小值，分别为 ，。现在学习的是第28页，共32页例例3、设实数、设实数 x、y 满足满足 x 2+(y 1)2=1，求，求(1)3x+4y；(2)x 2+y 2 的最值。的最值。(1)t=4sin+3cos+4(2)t=2+2sin 现在学习的是第29页，共32页变式练习：在本题已知条件下，求使不等式：在本题已知条件下，求使不等式：x+y+m 0 恒成立的实数恒成立的实数 m 的取值范围。的取值范围。简析简析:同理可得同理可得 (x+y)的最大的最大 值值 为为又又 m(x+y)恒成立恒成立故故 m 的取值范围为的取值范围为 现在学习的是第30页，共32页现在学习的是第31页，共32页2022/9/27感谢大家观看现在学习的是第32页，共32页