第26节随机变量函数的分布精选文档.ppt

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1、第26节随机变量函数的分布本讲稿第一页，共十二页*已知圆轴截面直径已知圆轴截面直径 d 的分布的分布，求截面求截面面积面积 的分布；的分布；1.1.问题的提出问题的提出*已知已知t=t0时刻噪声电压时刻噪声电压V V的分布的分布，求功率求功率W=V 2/R(R为为电阻电阻)的分布的分布 已知随机变量已知随机变量X 的分布，对函数的分布，对函数Y=g(X)，如何由如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布的分布？?本讲稿第二页，共十二页例例例例1 1 1 1 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X X分布列如下表分布列如下表分布列如下表分布列如下表,试求试求试求试求Y Y=(=(=(=(X

2、 X-1)-1)-1)-1)2 2 的分布列的分布列的分布列的分布列.解解X-1012pk0.20.30.10.4Y014pk0.10.70.22.2.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布Y 所有可能值为所有可能值为0,1,4,由由PY=4=PX=-1=0.2PY=0=P(X-1)2=0=PX=1=0.1 PY=1=PX=0+PX=2=0.7故故Y 的分布列为的分布列为本讲稿第三页，共十二页本讲稿第四页，共十二页3.3.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布设设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，则则例例2 2设设求求Y=2X+8的概率密度的概率密度.于是于是Y 的密

3、度函数的密度函数解解故故本讲稿第五页，共十二页其中其中定理定理 设设X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率密度具有概率密度 p(x)的连的连续型随机变量续型随机变量,又设又设y=g(x)处处可导，且对于任意处处可导，且对于任意x,恒有恒有 或恒有或恒有 ，记记 y=g(x)的反函数为的反函数为x=h(y)，则，则Y=g(X)是一个连续型是一个连续型随机变量随机变量，它的概率密度为它的概率密度为本讲稿第六页，共十二页例例3 3 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，求上服从均匀分布，求随机变量函数随机变量函数Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解解在区间在区间(0,1)

4、上上,函数函数lnx 0,故故 y在区间在区间(0,1)上单调下降上单调下降,有反函数有反函数,由定理得由定理得由由X在在(0,1)上服从均匀分布知上服从均匀分布知得得即即:Y 服从指数分布服从指数分布Exp(0.5).本讲稿第七页，共十二页例例4 4设设 X 具有概率密度具有概率密度 ,求求Y=X 2的概率密度的概率密度.求导可得求导可得当当 y0 时时,Y=X 2 0，故当故当 y 0时时，设设Y 和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，注意到注意到 解解本讲稿第八页，共十二页若若密度函数为：密度函数为：,则则Y=X 2 的概率的概率这是自由度为这是自由度为1的卡方分布。的卡方分布。本讲稿第九页，共十二页时时 ,例例5 5 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sin X的概率密度的概率密度.当当 y 0 时时,当当 y 1时时,当当故故解解 注意到注意到=P(0 X arcsin y)+P(-arcsin y X ）当当0y 1,G(y)=1;对对y 0 时，时，Y=kX Ga(,/k).本讲稿第十二页，共十二页