多元正态总体参数的假设检验讲稿.ppt

《多元正态总体参数的假设检验讲稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元正态总体参数的假设检验讲稿.ppt（113页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、多元正态总体参数的假设检验第一页，讲稿共一百一十三页哦主要内容主要内容几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布单总体均值向量的检验及置信域单总体均值向量的检验及置信域多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验协方差阵的检验协方差阵的检验独立性检验独立性检验正态性检验正态性检验第二页，讲稿共一百一十三页哦3.1 几个重要统计量的分布几个重要统计量的分布一、正态变量二次型的分布一、正态变量二次型的分布1.分量独立的分量独立的 n 维随机向量维随机向量 X 的二次型的二次型则则 ，其中，其中设设且相互独立，记且相互独立，记第三页，讲稿共一百一十三页哦X 的二次型具有以下一些结论：的二次型具有以下一些结

2、论：结论结论1 当当 时，则时，则 当当 时，则有时，则有(或记为或记为 ）。）。结论结论2 当当 ，的分布常称为的分布常称为非中心非中心分布分布。第四页，讲稿共一百一十三页哦定义定义3.1.1 设设 n 维随机向量维随机向量 XNn(,In)（0），则称随机），则称随机变量变量 为服从为服从 n 个自由度、非中心参数个自由度、非中心参数的的 分布，记为分布，记为显然显然则则当当XNn(,In)，0，且，且 时，令时，令第五页，讲稿共一百一十三页哦结论结论3 设设 ，A为对称矩阵，且为对称矩阵，且 rank(A)=r二次型二次型 （A为为对称幂等矩阵对称幂等矩阵）。）。结论结论4 设设 则则其

3、中其中（对称幂等矩阵），（对称幂等矩阵），且且 rank(A)=r(rn)。第六页，讲稿共一百一十三页哦结论结论5 二次型与线性函数的独立性：设二次型与线性函数的独立性：设 ，A为为 n 阶对称矩阵，阶对称矩阵，B 为为 mn 矩阵，令矩阵，令 ，Z=BX(Z 为为 m 维随机向量维随机向量)，若，若 BA=O，则，则 BX 和和相互独立。相互独立。结论结论6 两个二次型相互独立的条件：设两个二次型相互独立的条件：设 ，A，B 为为 n 阶对称矩阵，则阶对称矩阵，则第七页，讲稿共一百一十三页哦2.一般一般 p 维正态随机向量维正态随机向量 的二次型的二次型p 维随机向量的二次型具有下述结论：维

4、随机向量的二次型具有下述结论：结论结论1 设设 则则 ，其中其中结论结论2 设设 则则A为对称矩阵为对称矩阵,rank(A)=r.则则结论结论3 设设 A 和和 B 为为 p 阶对称矩阵，则阶对称矩阵，则第八页，讲稿共一百一十三页哦3.非中心非中心 t 分布和非中心分布和非中心 F 分布分布定义定义3.1.2 设设 相互独立，令相互独立，令则称则称 T 的分布具有的分布具有n个自由度、非中心参数为个自由度、非中心参数为 的的非中心非中心 t 分布，记为分布，记为 T t(n,).定义定义3.1.3 设设 相互独立，令相互独立，令则称则称 F 的分布为具有自由度为的分布为具有自由度为 m,n 和

5、非中心参数和非中心参数为为 的的 F 分布，记为分布，记为 FF(m,n,).第九页，讲稿共一百一十三页哦4.非中心非中心 、非中心、非中心 t 分布和非中心分布和非中心 F 分布的应用分布的应用在一元统计中，关于在一个正态总体在一元统计中，关于在一个正态总体 的均值检的均值检验中，验中，检验检验H0：=0时，检验统计量为时，检验统计量为否定域为否定域为|T|,其中其中 满足：满足：P|T|=(显显著性水平著性水平).当否定当否定H0时，可能犯时，可能犯第一类错误第一类错误，且，且第一类错误的概率第一类错误的概率P“以真当假以真当假”=P|T|=0|=显著性水平显著性水平 ;第十页，讲稿共一百

6、一十三页哦当当H0相容时，可能犯相容时，可能犯第二类错误第二类错误，且，且第二类错误的概率第二类错误的概率P“以假当真以假当真”P|T|0设设 1 0此时检验统计量此时检验统计量T t(n-1,)(非中心参数非中心参数 )，利用非中心利用非中心 t 分布可以计算第二类错误分布可以计算第二类错误 的值，从而得到检的值，从而得到检验法的功效函数为验法的功效函数为1-.类似地，非中心类似地，非中心 和非中心和非中心 F 分布在一元统计的相应检验分布在一元统计的相应检验中，将应用非中心分布来计算第二类错误。中，将应用非中心分布来计算第二类错误。第十一页，讲稿共一百一十三页哦二、威沙特二、威沙特二、威沙

7、特二、威沙特(Wishart)分布分布1.威沙特分布的定义威沙特分布的定义定义定义3.1.4 设设 X(a)Np(0,)(a=1,n)相互独立相互独立,记记为为 np 矩阵，则称随机阵矩阵，则称随机阵的分布为威沙特分布，记为的分布为威沙特分布，记为WWp(n,).显然，显然，p=1时，时，此时此时即即 就是就是 .当当p=1,时时,W1(n,1)就是就是第十二页，讲稿共一百一十三页哦一般地，设一般地，设X(a)Np(,)(a=1,2,n)相互独立，记相互独立，记则称则称 服从非中心参数为服从非中心参数为的非中心威沙特分布，记的非中心威沙特分布，记为为 ，其中，其中第十三页，讲稿共一百一十三页哦

8、当当X(a)Np(a,)(a=1,2,n)相互独立，非中心参数相互独立，非中心参数或或这里这里其中其中 p 为随机阵为随机阵 W 的阶数，的阶数，n 为自由度，一元统计中的为自由度，一元统计中的 2对应对应 p 元元统计中的协方差阵统计中的协方差阵.【注注】随机阵随机阵 W 的密度函数是威沙特于的密度函数是威沙特于1928年推导出来的，故此分年推导出来的，故此分布称为威沙特分布。布称为威沙特分布。第十四页，讲稿共一百一十三页哦2.威沙特分布的性质威沙特分布的性质性质性质性质性质1 1 设设X(a)Np(,)(a=1,2,n)相互独立，则样本离差阵相互独立，则样本离差阵A服从威沙特分布，即服从威

9、沙特分布，即性质性质性质性质2 2 关于自由度关于自由度 n 具有具有可加性可加性可加性可加性：设：设 (i=1,k)相相互独立，则互独立，则其中其中第十五页，讲稿共一百一十三页哦特别地：特别地：（1）aWWp(n,a)(a0为常数）为常数）.（2）设）设 ，则，则 ，即，即性质性质性质性质3 3 设设 p 阶随机阵阶随机阵 ，C 是是mp常数矩阵常数矩阵,则则 m 阶阶随机阵随机阵 也服从威沙特分布，即也服从威沙特分布，即第十六页，讲稿共一百一十三页哦性质性质性质性质4 4 分块威沙特矩阵的分布（习题三中第分块威沙特矩阵的分布（习题三中第3-4题）题）:设设相互独立，其中相互独立，其中又已知

10、随机阵又已知随机阵则则（1）（2）当）当 时，时，W11与与 W22 相互独立相互独立.第十七页，讲稿共一百一十三页哦性质性质性质性质5 5 设设 ，记，记 ，则，则其中其中且且 与与W11相互独立相互独立.性质性质性质性质6 6 设随机阵设随机阵 ，则，则第十八页，讲稿共一百一十三页哦性质性质性质性质7 7 设设 ，A为为 n 阶对称矩阵，则阶对称矩阵，则其中其中性质性质性质性质8 8 设设 A和和 B 均为均为 n 阶对称幂等矩阵阶对称幂等矩阵,则则相互独立相互独立第十九页，讲稿共一百一十三页哦三、霍特林三、霍特林(Hotelling)(Hotelling)T 2 分布分布分布分布1.霍特

11、林霍特林 T 2 分布的定义分布的定义定义定义3.1.5 设设 XNp(0,),随机阵随机阵WWp(n,)(0,n p),且且 X 与与 W 相互独立，则称统计量相互独立，则称统计量 为为霍特林霍特林霍特林霍特林 T T 2 2统计量统计量统计量统计量，其分布称为其分布称为服从服从服从服从 n n 个自由度的个自由度的个自由度的个自由度的 T T 2 2 分布分布分布分布，记为，记为更一般地，若更一般地，若XNp(,)(0),则称则称 T 2 的分布为的分布为非中心非中心非中心非中心霍特林霍特林霍特林霍特林 T T 2 2 分布分布分布分布，记为，记为 T 2 T 2(p,n,).第二十页，讲

12、稿共一百一十三页哦2.霍特林霍特林 T 2 分布的性质分布的性质性质性质性质性质1 1 设设 X(a)(a=1,n)是来自是来自 p元总体元总体 Np(,)的随机样本，的随机样本，X 和和 A 分别是正态总体分别是正态总体Np(,)的样本均值向量和样本离差阵的样本均值向量和样本离差阵,则统计量则统计量第二十一页，讲稿共一百一十三页哦性质性质性质性质2 2 T 2与与 F 分布的关系：设分布的关系：设 T 2T 2(p,n),则则性质性质性质性质3 3 设设 X(a)(a=1,n)是来自是来自 p元总体元总体 Np(,)的随机样本的随机样本.,A分别为样本均值和样本离差阵，记分别为样本均值和样本

13、离差阵，记则则第二十二页，讲稿共一百一十三页哦性质性质性质性质4 4 T 2 统计量的分布只与统计量的分布只与 p,n 有关，而与有关，而与无关。无关。设设 UNp(0,Ip),W0Wp(n,Ip),U 和和 W0 相互独立，则相互独立，则性质性质性质性质5 5 T 2 统计量对非退化变换保持不变统计量对非退化变换保持不变.设设 X(a)(a=1,n)是来自是来自 p元总体元总体 Np(,)的随机样本的随机样本,和和 Ax分别表示正态总体分别表示正态总体 X 的样本均值向量和样本离差阵，则由性质的样本均值向量和样本离差阵，则由性质1有有令令Y(a)=CX(a)+d(a=1,n),其中其中C为为

14、pp非退化常数矩阵非退化常数矩阵,d 为为 p 维维常向量，则可以证明常向量，则可以证明(习题三中第习题三中第3-4题题)第二十三页，讲稿共一百一十三页哦四、威尔克斯四、威尔克斯四、威尔克斯四、威尔克斯(Wilks)统计量及其统计量及其分布分布1.威尔克斯威尔克斯(Wilks)分布的定义分布的定义定义定义3.1.6 设设 XNp(,),则称协方差阵的行列式则称协方差阵的行列式|为为X 的的广义方差广义方差广义方差广义方差.若若 X(a)(a=1,n)为为 p元总体元总体 X 的随机样本的随机样本.A 为样本离为样本离差阵差阵,则称则称 或或 为为样本广义方差样本广义方差样本广义方差样本广义方差

15、.定义定义3.1.7 设设 A1Wp(n1,),A2Wp(n2,)(0,n1p),且且 A1与与 A2独立独立,则称广义方差之比则称广义方差之比为为威尔克斯统计量或威尔克斯统计量或威尔克斯统计量或威尔克斯统计量或 统计量统计量统计量统计量.其分布称为其分布称为威尔克斯分布威尔克斯分布威尔克斯分布威尔克斯分布,记为记为第二十四页，讲稿共一百一十三页哦2.统计量与统计量与 T 2 或或 F 统计量的关系统计量的关系结论结论结论结论1 1 1 1 当当 n2=1 时时,设设 n1=n p,则则或或第二十五页，讲稿共一百一十三页哦结论结论结论结论2 2 当当 n2=2 时时,设设 n1=n p,则则结

16、论结论结论结论3 3 当当 p=1 时，则时，则第二十六页，讲稿共一百一十三页哦结论结论结论结论4 4 当当 p=2 时时,则则结论结论结论结论5 5 当当 n22,p2 时时,可用可用 2 统计量或统计量或 F 统计量近似统计量近似.博克斯博克斯(Box)(1949)给出以下结论：给出以下结论：其中其中设设 (p,n1,n2),则当则当n时时,第二十七页，讲稿共一百一十三页哦3.两个重要结论两个重要结论结论结论结论结论1 1 若若 (p,n1,n2),则存在则存在(k=1,p)相互独立，使得相互独立，使得结论结论结论结论2 2 若若 n2 p,则则 注注注注 结论结论2 是一元统计中是一元统

17、计中 的推广的推广.第二十八页，讲稿共一百一十三页哦3.2 单总体均值向量的检验及置信域单总体均值向量的检验及置信域一、均值向量的检验一、均值向量的检验设总体设总体 XNp(,),随机样本随机样本 X(a)(a=1,n).检验检验(0为已知向量为已知向量)1.1.当当当当 0 0已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验已知时均值向量的检验因为因为利用二次型分布的结论，知利用二次型分布的结论，知第二十九页，讲稿共一百一十三页哦按传统的检验方法，对给定的显著性水平按传统的检验方法，对给定的显著性水平 ,查查 2 分布临界值分布临界值表得表得 ,使使 ,则否定域为则否定域为由样本

18、值由样本值 X(a)(a=1,n),计算计算 及及 值值,若若 ,则否定则否定H0,否则否则 H0 相容相容.假设在假设在 H0 成立情况下成立情况下,随机变量随机变量 ,由样本值计算得到由样本值计算得到T02的值为的值为 d,同时可以计算以下概率值：同时可以计算以下概率值：常称此概率值为常称此概率值为显著性概率值显著性概率值，或简称为，或简称为 p 值值.第三十页，讲稿共一百一十三页哦 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ,当当 p p 0.05 ,故故 H0 相容相容.在这种情况下在这种情况下,可能犯第二类错误可能犯第二类错误,且第二类错误的概率为且第二类错误的概率为(假定总体均值假定总

19、体均值 1 0,取取 1X).第三十七页，讲稿共一百一十三页哦二、似然比统计量二、似然比统计量二、似然比统计量二、似然比统计量设设 p元总体的密度函数为元总体的密度函数为 f(x,),其中其中 是未知参数是未知参数,且且 (参数空间参数空间)，又设，又设 0是是 的子集的子集,我们希望对下列假设：我们希望对下列假设：作出判断作出判断,这就是假设检验这就是假设检验问题问题.称称H0为为原假设原假设原假设原假设(或或零假设零假设零假设零假设),H1为为对立假设对立假设对立假设对立假设(或或备择假设备择假设备择假设备择假设).第三十八页，讲稿共一百一十三页哦从总体从总体X 抽取容量为抽取容量为n 的

20、样本的样本X(t)(t=1,n).把样本的联合密度函数把样本的联合密度函数记为记为 L(X;),并称它为并称它为样本的似然函数样本的似然函数样本的似然函数样本的似然函数.引入统计量引入统计量它是样本它是样本 X(t)(t=1,n)的函数的函数,常称常称 为为似然比统计量似然比统计量似然比统计量似然比统计量.由于由于 0 ,从而从而0 1.第三十九页，讲稿共一百一十三页哦 定理定理定理定理3.2.13.2.1 当样本容量当样本容量 n 很大时，很大时，近似服从自由度为近似服从自由度为 f 的的 2 分布，其中分布，其中f 的维的维数数 0 的维数的维数.第四十页，讲稿共一百一十三页哦 设样本的似

21、然函数为设样本的似然函数为L(,).检验均值向量检验均值向量 0的似然比统计量的似然比统计量为：为：在第二章在第二章2.5中已经导出中已经导出:上面比式的分母当上面比式的分母当时达最大值时达最大值,且最大值为且最大值为第四十一页，讲稿共一百一十三页哦由习题二第由习题二第215题知题知,上面比式的分子当上面比式的分子当时达最大值时达最大值,且最大值为且最大值为故故第四十二页，讲稿共一百一十三页哦下面来推导似然比统计量下面来推导似然比统计量 与与 T 2 的关系：的关系：第四十三页，讲稿共一百一十三页哦利用分块矩阵行列式的性质有：利用分块矩阵行列式的性质有：第四十四页，讲稿共一百一十三页哦所以所以

22、其中其中否定域：否定域：其中其中第四十五页，讲稿共一百一十三页哦三、置信域与联立置信区间三、置信域与联立置信区间1.1.置信域置信域置信域置信域假设假设X(t)(t=1,2,n)来自来自p元正元正 态总体态总体Np(,)(未知未知),由前面的由前面的讨论可知讨论可知或者或者第四十六页，讲稿共一百一十三页哦任给置信度任给置信度1 ,查查 F 的分布临界值表得的分布临界值表得 F 满足满足(3.2.1)则均值向量则均值向量 的置信度为的置信度为1 的置信域为的置信域为该置信域是一个中心在该置信域是一个中心在 的椭球的椭球.第四十七页，讲稿共一百一十三页哦当检验假设当检验假设H0:0时时,若若 0

23、落入上述置信域内，即落入上述置信域内，即则在显著水平则在显著水平 下下,H0相容相容;若若 0没有落入上述置信域内没有落入上述置信域内,则否定则否定H0.可见在多元统计中可见在多元统计中,讨论均值向量的假设检验问题本质上也讨论均值向量的假设检验问题本质上也等价于求均值向量的置信域等价于求均值向量的置信域.第四十八页，讲稿共一百一十三页哦例例例例3.2.13.2.1 人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系人的出汗多少与人体内钠和钾的含量有一定的关系.今测量了今测量了20名名健康成年女性的汗出量健康成年女性的汗出量(X1)、钠的含量、钠的含量(X2)和钾的含量和钾的含量(X3)(数据见表数据

24、见表3.1).表表3.1 成年女性的出汗量及其体内钠和钾含量的数据成年女性的出汗量及其体内钠和钾含量的数据序号序号X1X2X3序号序号X1X2X31357911131517193.73.83.12.46.73.93.51.54.54.148.547.255.524.847.436.927.813.571.644.19.310.99.714.08.512.79.810.18.211.224681012141618204.73.24.67.25.44.54.58.56.55.565.153.236.133.154.158.840.256.452.840.98.012.07.97.611.312.3

25、8.47.110.99.4例例例例3.2.23.2.2 沿用沿用例例例例3.2.13.2.1的数据的数据,试求试求 的置信度为的置信度为95的置信椭球的置信椭球.第四十九页，讲稿共一百一十三页哦解：解：解：解：由观测数据计算样本均值向量由观测数据计算样本均值向量 和样本离差阵和样本离差阵A及样本协方差阵及样本协方差阵SS的特征值的特征值 和单位正交向量和单位正交向量 l 分别为分别为第五十页，讲稿共一百一十三页哦记记由由 S-1 的谱分解式的谱分解式并令并令 则则 的置信度为的置信度为95%的置信椭球的置信椭球为为置信椭球的第一长轴半径为置信椭球的第一长轴半径为 方向沿方向沿 l1;第二长第二

26、长轴半径为轴半径为 方向沿方向沿 l2;短轴半径为短轴半径为0.8356,方向沿方向沿 l3.第一长轴与短轴的比为第一长轴与短轴的比为 即第一长即第一长轴的长度是短轴的轴的长度是短轴的12倍还多倍还多.第五十一页，讲稿共一百一十三页哦2.2.联立置信区间联立置信区间联立置信区间联立置信区间设设XNp(,),考虑考虑 X 的线性组合的线性组合由多元正态分布的性质由多元正态分布的性质2可知可知:假设假设X(t)(t=1,2,n)为为p元正态总体元正态总体Np(,)的简单随机样本的简单随机样本,则总体则总体 Z的样本为的样本为且样本均值和样本方差分别为且样本均值和样本方差分别为 这里这里分别为样本分

27、别为样本X(t)(t=1,2,n)的样本均值和样本协方差阵的样本均值和样本协方差阵.第五十二页，讲稿共一百一十三页哦对任意的对任意的 a,考虑考虑 的置信区间便能得到所要的联立置信区间的置信区间便能得到所要的联立置信区间.事实上事实上,当当 a 固定而固定而 未知时未知时,的置信度为的置信度为1 的置信区间可根据的置信区间可根据 t 统计量统计量得到得到.于是置信区间为于是置信区间为(3.2.2)其中其中 满足满足:(这里这里 tt(n-1).第五十三页，讲稿共一百一十三页哦由由(3.2.2)式可以给出式可以给出 的分量的分量 i(i=1,2,p)的置信区间的置信区间,如取如取a=ei=(0,

28、1,0),即取即取 ei 的第的第 i 个分量为个分量为1,其余均为其余均为0的向量的向量,则则(3.2.2)式给出一元正态均值式给出一元正态均值 的置信区间的置信区间.显然通过选显然通过选 则不同的系数向量则不同的系数向量 a,便可得到便可得到 的若干个线性组合的置信度为的若干个线性组合的置信度为1 的置信区间的置信区间;但请注意但请注意,这时总的置信度不再是这时总的置信度不再是1 ,而比而比1 低低.第五十四页，讲稿共一百一十三页哦下面给出构造所有下面给出构造所有下面给出构造所有下面给出构造所有 的联立置信区间估计的的联立置信区间估计的的联立置信区间估计的的联立置信区间估计的 Scheff

29、e Scheffe 方法方法方法方法.对于给定的样本对于给定的样本 X(t)(t=1,2,n)和系数向量和系数向量a,若全体若全体 值的值的置信区间是由置信区间是由(3.2.2)式给出式给出,则不等式则不等式成立成立.若让若让 a 变化变化,求所有求所有 的联立置信区间的联立置信区间,那么应将那么应将(3.2.2)式式的右边换上更大的常数才较为合理的右边换上更大的常数才较为合理.为此来求最大值为此来求最大值(3.2.3)根据附录中定理根据附录中定理7.1有有且最大值在且最大值在 a 与与 成比例时达到成比例时达到.第五十五页，讲稿共一百一十三页哦定理定理定理定理3.2.23.2.2 假设假设X

30、(t)(t=1,2,n)为来自为来自p元正态总体元正态总体Np(,)(0未知未知)的随机样本的随机样本,则对所有的则对所有的 a,区间区间包含包含 的概率为的概率为1 (其中其中 F 满足满足(3.2.1)式式).第五十六页，讲稿共一百一十三页哦由于置信概率由由于置信概率由 T 2 分布确定分布确定,因此为方便起见因此为方便起见,以后称定理以后称定理3.2.2给出的联立置信区间为给出的联立置信区间为 T 2 区间区间。在。在 T 2 区间中，若取区间中，若取a=ei=(0,1,0),我们便同时得到我们便同时得到 i(i=1,p)的的置信度置信度均为均为1 T 2 区间区间其中其中sii 为样本

31、协方差阵为样本协方差阵 S 的第的第i 个对角元素个对角元素.(3.2.4)第五十七页，讲稿共一百一十三页哦3.3 多总体均值向量的检验多总体均值向量的检验一、两正态总体均值向量的检验一、两正态总体均值向量的检验1.1.两总体协方差阵相等两总体协方差阵相等两总体协方差阵相等两总体协方差阵相等(但未知但未知但未知但未知)时均值向量的检验时均值向量的检验时均值向量的检验时均值向量的检验设设X(a)(a=1,n)为来自总体为来自总体 XNp(1),)的随机样本的随机样本,Y(a)(a=1,m)为来自总体为来自总体YNp(2),)的随机样本的随机样本,且相互独立且相互独立,未知未知.检验检验检验统计量

32、检验统计量,可考虑以下检验统计量可考虑以下检验统计量 T 2：其中其中A1和和A2是两总体的样本离差阵是两总体的样本离差阵.第五十八页，讲稿共一百一十三页哦由由 T 2 统计量的定义统计量的定义3.1.5可知可知利用利用 T 2 与与 F 的关系的关系,检验统计量取为检验统计量取为第五十九页，讲稿共一百一十三页哦 例例例例3.3.13.3.1 为了研究日、美两国在华投资企业对中国经营环境为了研究日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价是否存在差异的评价是否存在差异.今从两国在华投资企业中各抽出今从两国在华投资企业中各抽出10家家,让其对中国的政治、经济、法律、文化等环境进行打分让其对中国的政

33、治、经济、法律、文化等环境进行打分,评评分结果如表分结果如表3.2所示所示(表中序号表中序号1至至10为美国在华投资企业的代为美国在华投资企业的代号号,11至至20为日本在华投资企业的代号为日本在华投资企业的代号.数据来源于数据来源于:国务院发国务院发展研究中心展研究中心 APEC 在华投资企业情况调查在华投资企业情况调查).第六十页，讲稿共一百一十三页哦表表3.2 日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价数据日、美两国在华投资企业对中国经营环境的评价数据序号序号政治政治环环境境经济环经济环境境法律法律环环境境文化文化环环境境123456789106575607570556065605535

34、50454030404540505525203540303530253035605565705065606070751112131415161718192055504550556065504045556045505040556045504045355030454535304565707570756075806570第六十一页，讲稿共一百一十三页哦解：解：解：解：比较日、美两国在华投资企业对中国多方面的经营环境的比较日、美两国在华投资企业对中国多方面的经营环境的评价是否有差异问题评价是否有差异问题,就是两总体均值向量是否相等的检验问题就是两总体均值向量是否相等的检验问题.记美国在华投资企业对中国

35、记美国在华投资企业对中国4个方面的经营环境的评价为个方面的经营环境的评价为4元总元总体体X,并设并设XN4(1),).日本在华投资企业对中国经营环境的评日本在华投资企业对中国经营环境的评价为价为4元总体元总体Y,并设并设YN4(2),).来自两总体的样本容量来自两总体的样本容量n=m=10.检验检验取检验统计量为取检验统计量为由样本值计算得：由样本值计算得：第六十二页，讲稿共一百一十三页哦进一步计算可得：进一步计算可得：第六十三页，讲稿共一百一十三页哦对给定显著性水平对给定显著性水平 0.01,利用统计软件进行检验时利用统计软件进行检验时,首先计算首先计算p 值值(此时检验统计量此时检验统计量

36、 FF(4,15):因因 p=0.00370.01=,故否定故否定H0,即日、美两国在华企业投资对中即日、美两国在华企业投资对中国国经营环境的评价存在显著性差异经营环境的评价存在显著性差异.在这种情况下在这种情况下,可能犯第一类错误可能犯第一类错误,且犯第一类错误的概率为且犯第一类错误的概率为0.01.第六十四页，讲稿共一百一十三页哦2.2.两总体协方差阵不等时均值向量的检验两总体协方差阵不等时均值向量的检验两总体协方差阵不等时均值向量的检验两总体协方差阵不等时均值向量的检验在一元统计中在一元统计中(p=1时时),当当 时时,检验检验 H0:(1)=(2)也没有很也没有很好好的方法的方法,以下

37、介绍实用中的几种方法以下介绍实用中的几种方法.(1)(1)当当当当n=mn=m时时时时,作为成对数据进行处理作为成对数据进行处理作为成对数据进行处理作为成对数据进行处理:令令将两个总体化为单个将两个总体化为单个 p 元总体元总体 Z 的均值检验问题的均值检验问题利用利用3.2中介绍的方法进行检验中介绍的方法进行检验.注意注意:这里这里X(i)与与Y(i)(i=1,n)相互独立的信息没有利用相互独立的信息没有利用.第六十五页，讲稿共一百一十三页哦(2)(2)当当当当nmnm时时时时(不妨设不妨设不妨设不妨设 n n F =,否定域否定域W=F F .第七十一页，讲稿共一百一十三页哦推广到推广到

38、k 个个 p元总体元总体Np(i),)(假定假定 k 个总体的协方差阵相等个总体的协方差阵相等,且记为且记为 ),记第记第i个个p元总体的数据阵为元总体的数据阵为对总离差阵对总离差阵 T 进行分解：进行分解：其中其中 称为称为组内离差阵组内离差阵,称为称为组间离差阵组间离差阵.第七十二页，讲稿共一百一十三页哦根据直观想法及用似然比原理得到检验根据直观想法及用似然比原理得到检验 H0 的统计量为的统计量为易见：易见：(1)因因AiWp(ni-1,)且相互独立且相互独立(i=1,k),由可加性得由可加性得(2)在在H0下下,TWp(n-1,).(3)还可以证明在还可以证明在H0下下,BWp(k-1

39、,),且且 B 与与A 相互独立相互独立.第七十三页，讲稿共一百一十三页哦根据根据 分布的定义分布的定义,可知可知给定显著性水平给定显著性水平 ,查威尔克斯临界值表查威尔克斯临界值表,可得可得 ,使使故否定域故否定域 W=.当手头没有威尔克斯临界值表时当手头没有威尔克斯临界值表时,可用可用 2分布分布或或 F 分布来近似分布来近似,即由即由 的函数的近似分布进行检验的函数的近似分布进行检验(见参考文献见参考文献1或或2).第七十四页，讲稿共一百一十三页哦例例例例3.3.23.3.2 为了研究某种疾病，对一批人同时测量了为了研究某种疾病，对一批人同时测量了4个指标：个指标：脂蛋脂蛋白白(X1)，

40、甘油三脂，甘油三脂(X2)，脂蛋白脂蛋白(X3)，前，前 脂蛋白脂蛋白(X4)。按不同年龄、。按不同年龄、不同性别分为三组不同性别分为三组(20至至35岁的女性、岁的女性、20至至25岁的男性和岁的男性和35至至50岁的岁的男性男性)，数据见表，数据见表3.3。试问这三个组的。试问这三个组的4项指标间有无显著差异项指标间有无显著差异(=0.01)？第七十五页，讲稿共一百一十三页哦X1X2X3X4组组X1X2X3X4组组X1X2X3X4组组2602002401702702051902002502002252101702701902803102702502607572876511013069451

41、171071301256476608111957671354034453939342745212836263133342025313139181718172423151520201117141316181581429111111111111111111113103101902251702102802102802002002801902952702802402803702801226040656582673865767694605512512062697040303527343731373630403926333024323229303721181516161718172317201117162

42、11820202017222222222222222222223202603602952703802402602602952403103303452502602253453602506459881006511455551107311410311212762591001201071173937283632364234293338322124222134362536171126122121102020211818112016193018231633333333333333333333表表3.3 身体指标化验数据身体指标化验数据第七十六页，讲稿共一百一十三页哦解：解：解：解：比较三个组比较三个组(k

43、=3)的的4项指标项指标(p=4)间是否有差异问题间是否有差异问题,就是多总就是多总体均值是否相等的检验问题体均值是否相等的检验问题.设第设第 i 组为组为4元总体元总体N4(i),)(i=1,2,3),来自来自3个总体的样本容量个总体的样本容量 n1=n2=n3=20.检验：检验：因似然比统计量因似然比统计量 (p,n-k,k-1),在此例中在此例中k-12,可以利用可以利用 统计量与统计量与 F 统计量的关系统计量的关系,取检验统计量为取检验统计量为 F 统计量：统计量：第七十七页，讲稿共一百一十三页哦由样本值计算得由样本值计算得:，以及，以及第七十八页，讲稿共一百一十三页哦进一步计算可得

44、进一步计算可得第七十九页，讲稿共一百一十三页哦 对给定对给定 0.01,利用统计软件利用统计软件(如如SAS系统系统),首先计算首先计算p值值(此时检验统此时检验统计量计量 FF(8,108):因因p0.003538 0未知未知)的随的随机机样本样本,检验检验1.1.当当当当 0 0I Ip p 时检验时检验时检验时检验 HH0 0:=I Ip p,HH1 1:I Ip p利用似然比原理来导出似然比统计量利用似然比原理来导出似然比统计量 1：第八十二页，讲稿共一百一十三页哦当当 Ip成立时成立时,似然函数似然函数L(,Ip)在在 X 达最大值达最大值,因此因此 1表示式的分子表示式的分子L(X

45、,Ip)1表示式的分母表示式的分母L(X,)第八十三页，讲稿共一百一十三页哦所以似然比统计量所以似然比统计量其中其中 利用定理利用定理3.2.1可知可知,当当 n 很大且很大且 H0 成立时成立时,=-2ln 1的近似的近似分布为分布为 ,利用检验统计量利用检验统计量来构造检验方法来构造检验方法.第八十四页，讲稿共一百一十三页哦2.2.当当当当 0 0 I Ip p 时检验时检验时检验时检验 HH0 0:=0 0 ,HH1 1:0 0因因 00,存在非退化矩阵存在非退化矩阵 Dpp,使使 D 0D=Ip.令令则则def检验检验其中其中第八十五页，讲稿共一百一十三页哦若注意到若注意到 D 0D=

46、Ip,则似然比统计量则似然比统计量 2 还可以表示为还可以表示为研究似然比统计量研究似然比统计量 2的抽样分布是很困难的的抽样分布是很困难的,通常根据定理通常根据定理3.2.1由由 2的近似分布来构造检验法的近似分布来构造检验法.当样本容量当样本容量 n 很大时很大时,在在 H0 成立时成立时,-2ln 2 的极限分布为的极限分布为除此以外除此以外,在不同适用范围下还有其他近似分布可用来构造检验法在不同适用范围下还有其他近似分布可用来构造检验法(见参见参考文献考文献1或或2).第八十六页，讲稿共一百一十三页哦3.3.检验检验检验检验 HH0 0:=2 2 0 0 (2 2未知未知未知未知)当当

47、 0=Ip时此检验常称为时此检验常称为球性检验球性检验球性检验球性检验.以下利用似然比原理来导出似然比统计量以下利用似然比原理来导出似然比统计量 3:第八十七页，讲稿共一百一十三页哦当当 2给定时给定时,似然函数似然函数L(,2 0)在在 =X 达最大值达最大值,且且令令可得出可得出 .第八十八页，讲稿共一百一十三页哦从而有从而有 3表示式的分子表示式的分子=3表示式的分母表示式的分母=第八十九页，讲稿共一百一十三页哦所以似然比统计量所以似然比统计量或等价于或等价于当样本容量当样本容量 n 很大时很大时,在在 H0 为真时有以下近似分布为真时有以下近似分布:近似为近似为第九十页，讲稿共一百一十

48、三页哦二、多总体协方差阵的检验二、多总体协方差阵的检验设有设有 k 个总体个总体 Np(t),t)(t=1,k),(t=1,k;a=1,nt)为来自第为来自第 t 个总体个总体 Np(t),t)的随机样本的随机样本,记记 .检验检验 def似然比统计量似然比统计量 4 为为第九十一页，讲稿共一百一十三页哦上式的分母上式的分母=上式的分子上式的分子=第九十二页，讲稿共一百一十三页哦则似然比统计量则似然比统计量 4为为根据无偏性的要求进行修正根据无偏性的要求进行修正,将将 4中的中的 ni 用用 ni-1替代替代,n用用 n-k替代替代.然后对然后对 4 取对数取对数,可得到统计量可得到统计量:第

49、九十三页，讲稿共一百一十三页哦当样本容量当样本容量 n 很大时很大时,在在 H0 为真时为真时 M 有以下近似分布有以下近似分布:其中其中第九十四页，讲稿共一百一十三页哦例例例例3.4.13.4.1 对例对例3.3.2表表3.3中给出的身体指标化验数据中给出的身体指标化验数据,试判断三个组试判断三个组(即即三个总体三个总体)的协方差阵是否相等？的协方差阵是否相等？(=0.10)解：解：解：解：这是三个这是三个4元正态总体的协方差阵是否相等的检验问题元正态总体的协方差阵是否相等的检验问题.设第设第 i 组为组为4维总体维总体 N4(i),i)(i=1,2,3).来自三个总体的样本容量来自三个总体

50、的样本容量n1n2n320.检验检验在在H0成立时成立时,取近似检验统计量为取近似检验统计量为 2(f)统计量统计量:第九十五页，讲稿共一百一十三页哦由样本计算三个总体的样本协方差阵：由样本计算三个总体的样本协方差阵：第九十六页，讲稿共一百一十三页哦第九十七页，讲稿共一百一十三页哦进一步计算可得进一步计算可得对给定对给定 0.10,利用统计软件利用统计软件,首先计算首先计算p值值(此时检验统计量此时检验统计量 ):因因 p0.4374 0.10 ,故故H0相容相容,这表明三个组的协方差阵之间没有显著这表明三个组的协方差阵之间没有显著的差异的差异.第九十八页，讲稿共一百一十三页哦三、多个正态总体