复变函数第四单元复数复变函数幂级数.ppt
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1、复变函数第四单元复数复变函数幂级数复变函数第四单元复数复变函数幂级数复变函数第四单元复数复变函数幂级数复变函数第四单元复数复变函数幂级数现在学习的是第1页,共77页4.1 复数项级数复数项级数&1.复数列的极限复数列的极限&2.级数的概念级数的概念现在学习的是第2页,共77页 1.复数列的极限复数列的极限定义定义又设复常数:又设复常数:定理定理1证明证明现在学习的是第3页,共77页现在学习的是第4页,共77页例例1 判断下列数列是否收敛?若收敛,求出其极限判断下列数列是否收敛?若收敛,求出其极限.现在学习的是第5页,共77页2.级数的概念级数的概念级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分
2、和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级数无穷级数定义定义设复数列:设复数列:现在学习的是第6页,共77页例例2解解定理定理2证明证明现在学习的是第7页,共77页A 由定理由定理2,复数,复数项级数的收数的收敛问题可可归之之为 两个两个实数数项级数的收数的收敛问题.性质性质定理定理3证明证明现在学习的是第8页,共77页A?定义定义由定理由定理3的证明过程,及不等式的证明过程,及不等式定理定理4现在学习的是第9页,共77页解解例例2现在学习的是第10页,共77页级数收敛判定:级数收敛判定:1.正项级数收敛判定:正项级数收敛判定:2.交错级数收敛判定:交错级数收敛判定:3.特殊结构的级数收敛判定:特殊结
3、构的级数收敛判定:现在学习的是第11页,共77页练习:练习:现在学习的是第12页,共77页&1.幂级数的概念幂级数的概念&2.收敛定理收敛定理&3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径&4.收敛半径的求法收敛半径的求法&5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 幂级数幂级数现在学习的是第13页,共77页1.幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列:设复变函数列:-称为复变函数项级数称为复变函数项级数级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和现在学习的是第14页,共77页若级数若级数(1)在在D内处处收敛,其和为内处处收敛,其和为z的函数的函数-级数级数(1)的和函数
4、的和函数特殊情况,在级数特殊情况,在级数(1)中中称为幂级数称为幂级数现在学习的是第15页,共77页2.收敛定理收敛定理同实变函数一样,复变幂级数也有所谓的收敛定理:同实变函数一样,复变幂级数也有所谓的收敛定理:定理定理1(阿贝尔阿贝尔(Able)定理)定理)现在学习的是第16页,共77页证明证明现在学习的是第17页,共77页(2)用反证法,用反证法,3.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理,幂级数的收敛范围不外乎下述定理,幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况:三种情况:(i)若对所有正实数都收敛,级数若对所有正实数都收敛,级数(3)在复平面上处处在复平面上处处收敛收敛.(ii)除除
5、z=0外,对所有的正实数都是发散的,这时,外,对所有的正实数都是发散的,这时,级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散外处处发散.现在学习的是第18页,共77页显然,显然,否则,级数否则,级数(3)将在将在 处发散处发散.将收将收敛部分染成部分染成红色,色,发散散部分染成部分染成蓝色,色,逐逐渐变大,大,在在c c 内部都是内部都是红色色,逐逐渐变小,在小,在c c 外部都是外部都是蓝色,色,红、蓝色不会交色不会交错.故故播放播放现在学习的是第19页,共77页现在学习的是第20页,共77页A (i)幂级数在收数在收敛圆内部收内部收敛,在收,在收敛圆外外部部发散,在散,在圆周上可能
6、收周上可能收敛可能可能发散,具体散,具体问题要具体分析要具体分析.定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆;这个圆的半径收敛圆;这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径叫做幂级数的收敛半径.(ii)幂级数数(3)的收的收敛范范围是以是以0为中心,半径中心,半径为R的的圆域;域;幂级数数(2)的收的收敛范范围是以是以z0为中心中心,半径半径为R的的圆域域.现在学习的是第21页,共77页4.收敛半径的求法收敛半径的求法 定理定理2(比值法比值法)证明证明现在学习的是第22页,共77页现在学习的是第23页,共77页 定理定理3(根值法根值法)现在学习的是第24
7、页,共77页 定理定理3(根值法根值法)定理定理2(比值法比值法)现在学习的是第25页,共77页例例1解解 综上综上现在学习的是第26页,共77页例例2 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径现在学习的是第27页,共77页5.幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q代数运算代数运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算现在学习的是第28页,共77页-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级数的代数的代换运运算在函数展算在函数展成成幂级数中数中很有用很有用.例例3解解代换代换现在学习的是第29页,共77页解解代换代换展开展开还原还原现在学习的是第
8、30页,共77页q分析运算分析运算定理定理4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算现在学习的是第31页,共77页例例4 求幂级数的和函数及收敛圆求幂级数的和函数及收敛圆.现在学习的是第32页,共77页&1.泰勒展开定理泰勒展开定理&2.展开式的唯一性展开式的唯一性&3.简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数现在学习的是第33页,共77页1.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题:现在研究与此相反的问题:一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,
9、一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示?)数在解析点能否用幂级数表示?)由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数它的收敛圆内部是一个解析函数.以下定理给出了肯定回答:以下定理给出了肯定回答:任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示能用幂级数表示.现在学习的是第34页,共77页定理定理1(泰勒展开定理)(泰勒展开定理)Dk分析:分析:代入代入(1)得得现在学习的是第35页,共77页Dkz现在学习的是第36页,共77页-(*)得证!得证!现在学习的是第37页
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- 函数 第四 单元 复数 幂级数
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