微积分课程之不定积分大全.ppt

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1、微积分课程之不定积分课件大微积分课程之不定积分课件大全全1现在学习的是第1页，共30页第一节第一节 不定积分不定积分的概念与性质的概念与性质原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式基本积分公式不定积分的性质不定积分的性质小结小结 思考题思考题 作业作业 indefinite integral第四章第四章 不定积分不定积分2现在学习的是第2页，共30页一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念几何问题几何问题解解例例设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍处横坐标的两倍,求曲线的方程求曲线的方程.设曲线方程为设曲线方程为

2、满足此条件的函数有无穷多个满足此条件的函数有无穷多个,如如等都是等都是.一般一般,所求曲线方程为所求曲线方程为C为任意常数为任意常数.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质3现在学习的是第3页，共30页定义定义1例例1.原函数原函数如果在区间如果在区间I I上上,则称则称或或原函数原函数.一个一个或由或由知知是是原函数原函数.也是也是的原函数的原函数,其中其中为任意常数为任意常数.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4现在学习的是第4页，共30页一般一般,的原函数的原函数(C为任意常数为任意常数).因因一个函数如果有原函数一个函数如果有原函数,就有无穷多个就有无穷多个.在区间在区间I I

3、上的一个上的一个在区间在区间I I上的任一原函数都上的任一原函数都其中其中C为某一常数为某一常数.则则定理定理定理表明定理表明:的一整族函数的一整族函数形如形如是是f(x)的全部原函数的全部原函数.原函数原函数,结结 论论 的形式的形式,不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质可表为可表为5现在学习的是第5页，共30页故故证证的的另另一个原函数一个原函数,则则又又只要找到只要找到f(x)的一个原函数的一个原函数,就知道就知道它的全部原函数它的全部原函数.在区间在区间I I上的一个原函数上的一个原函数,则则f(x)在区间在区间I I上的任一原函数都可表为上的任一原函数都可表为其中其中C为某一常数

4、为某一常数.定理定理的形式的形式,要证要证常数常数因为因为不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质导数恒为零的函数必为常数导数恒为零的函数必为常数某个常数某个常数6现在学习的是第6页，共30页积积分分变变量量积积分分常常数数被被积积函函数数定义定义2被被积积表表达达式式2.不定积分不定积分不定积分不定积分.(1)定义定义全部原函数的一般表达式全部原函数的一般表达式称为函数称为函数f(x)的的 总和总和(summa)记为记为不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质积积分分号号7现在学习的是第7页，共30页1.被积函数是原函数的导数被积函数是原函数的导数,被积表达式是被积表达式是原函数的微分原函数

5、的微分.2.不定积分表示那些导数等于被积函数的所不定积分表示那些导数等于被积函数的所或说其微分等于被积表达式的所或说其微分等于被积表达式的所有有函数函数.有函数有函数.因此因此绝不能漏写积分常数绝不能漏写积分常数C.3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称求已知函数的原函数或不定积分的运算称 为积分运算为积分运算,它是微分运算的逆运算它是微分运算的逆运算.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质8现在学习的是第8页，共30页例例 求求解解解解例例 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质9现在学习的是第9页，共30页(2)不定积分的几何意义不定积分的几何意义积分曲线积分曲线称为称为的的积分曲线

6、积分曲线.的图形的图形向平行于向平行于y 轴的方向任意轴的方向任意上下移动上下移动,得出的无穷多条曲线得出的无穷多条曲线,称为称为的图形是的图形是平面的一条曲线平面的一条曲线,是将曲线是将曲线族族.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质10现在学习的是第10页，共30页 由于不论常数由于不论常数C 取何值取何值,同一同一x处其导数等于处其导数等于f(x),各切线相互平行各切线相互平行.有积分曲线族有积分曲线族即即x不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质11现在学习的是第11页，共30页不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质解解故所求曲线方程为故所求曲线方程为(3)积分常数的确定积分常数的

7、确定求通过点求通过点 且其切线斜率为且其切线斜率为2x曲线曲线.例例 在求原函数的实际问题中,有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数,这时应根据这个特性确定常数C的值,从而找出需要的原函数.的曲线的曲线族族为为有有12现在学习的是第12页，共30页解解例例所以所以不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质13现在学习的是第13页，共30页（原函数存在定理）（原函数存在定理）连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数.则它必有原函数则它必有原函数.(4)原函数存在问题原函数存在问题定理定理2哪些函数有原函数哪些函数有原函数又如何求其原函数又如何求其原函数不定积分的概念与性质不定积分

8、的概念与性质原函数是否必为连续函数原函数是否必为连续函数14现在学习的是第14页，共30页 由不定积分的定义 结论结论微分微分运算与运算与求不定积分求不定积分的运算是的运算是如如(1)或或或或互逆互逆的的.二、不定积分的性质二、不定积分的性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质15现在学习的是第15页，共30页证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(2)(2)，(3)称为线性性质称为线性性质.思考思考:k=0,等式是否成立等式是否成立?(3)不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质16现在学习的是第16页，共30页实例实例启示

9、启示能否根据求导公式得出积分公式能否根据求导公式得出积分公式结论结论 要判断一个不定积分公式是否正确要判断一个不定积分公式是否正确,只要将只要将右端的函数求导右端的函数求导,看是否等于被积函数看是否等于被积函数.求导公式求导公式积分公式积分公式.三、基本积分公式三、基本积分公式不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质积分运算和微分运算是互逆的，积分运算和微分运算是互逆的，17现在学习的是第17页，共30页基基本本积积分分公公式式(k是常数是常数)说明：说明：简写为简写为不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质18现在学习的是第18页，共30页不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质19现在学习

10、的是第19页，共30页熟熟 记记不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质20现在学习的是第20页，共30页例例 求积分求积分解解出一些简单函数的不定积分出一些简单函数的不定积分,称为称为利用利用不定积分的性质不定积分的性质和和基本积分公式基本积分公式,可求可求由公式由公式直接积分法直接积分法.不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质21现在学习的是第21页，共30页例例 求积分求积分解解不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质22现在学习的是第22页，共30页例例 求积分求积分解解不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质23现在学习的是第23页，共30页例例 求积分求积分解解 称为称为分项积分

11、法分项积分法.分项积分法分项积分法 利用线性性质计算积分利用线性性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形上两例是将被积函数作恒等变形,不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质24现在学习的是第24页，共30页例例 求积分求积分解解不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 以上几例中的被积函数都需要进行恒等以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形变形,才能使用基本积分表才能使用基本积分表.25现在学习的是第25页，共30页解解例例 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质26现在学习的是第26页，共30页解解所求曲线方程为所求曲线方程为不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质已知一曲线已知一曲线

12、 y=f(x)在点在点(x,f(x)处的切线处的切线例例斜率为斜率为且此曲线与且此曲线与y轴的交点为轴的交点为(0,5),求此曲线的方程求此曲线的方程.27现在学习的是第27页，共30页不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质28现在学习的是第28页，共30页不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质29现在学习的是第29页，共30页熟记熟记基本积分公式基本积分公式不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念原函数的概念不定积分的概念不定积分的概念求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、小结四、小结不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的几何意义不定积分的几何意义30现在学习的是第30页，共30页