函数的多项式插值与逼近讲稿.pptx

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1、函数的多项式插值与逼近第一页，讲稿共二十五页哦注意下面图中注意下面图中曲线曲线的变化情况！的变化情况！例例3：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点端点附近误差附近误差越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)高次插值多项式的这种危险性高次插值多项式的这种危险性,在在2020世纪初被世纪初被RungeRunge发现发现.第二页，讲稿共二十五页哦2 2、从稳定性角度分析、从稳定性角度分析由于插值函数不可避免有误差，不妨设由于插值函数不可避免有误差，不妨设由由 和

2、和 构造出的插值多项式分别记为构造出的插值多项式分别记为:和和第三页，讲稿共二十五页哦二、二、分段插值的构造方法分段插值的构造方法将将插值区间插值区间划分为若干个小区间（通常取划分为若干个小区间（通常取等距划分等距划分）采用采用低次低次插值插值在区间在区间 上得到上得到分段函数分段函数第四页，讲稿共二十五页哦1、分段线性插值分段线性插值/*piecewise linear interpolation*/(1)在每个区间在每个区间 上，用上，用1阶多项式阶多项式(直线直线)逼近逼近 f(x):或者：或者：这里x是局部变量，其定义域为：也仅在其定义域内有定义。第五页，讲稿共二十五页哦几何意义为：第

3、六页，讲稿共二十五页哦(2)、分段线性插值基函数分段线性插值基函数类似于类似于Lagrange插值函数，分段插值函数，分段1阶多项式阶多项式(直线直线)可表示为可表示为:其中其中 为为分段线性插值基函数分段线性插值基函数，满足：，满足：n+1个个分段线性插值基函数分别为：分段线性插值基函数分别为：第七页，讲稿共二十五页哦第八页，讲稿共二十五页哦一般地：一般地：且第九页，讲稿共二十五页哦第十页，讲稿共二十五页哦也称折线插值也称折线插值,如右图如右图曲线的光滑性较差曲线的光滑性较差在节点处有尖点在节点处有尖点但如果增加节点的数量但如果增加节点的数量减小步长减小步长,会改善插值效果会改善插值效果因此

4、则第十一页，讲稿共二十五页哦第十二页，讲稿共二十五页哦分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的原函数的光滑性光滑性。设给定节点设给定节点及相应的函数值及相应的函数值 ，在在a,ba,b上存在，上存在，是在是在a,ba,b上由数据上由数据构成的分段线性插值函数，则构成的分段线性插值函数，则其中其中 关于关于分段二次分段二次插值插值/*Piecewise Square Interpolation*/讨论方法同分段线性插值完全类似。讨论方法同分段线性插值完全类似。第十三页，讲稿共二十五页哦（1 1）几何直观：）几何直观：分段抛物线弧

5、段近似分段抛物线弧段近似2、分段二次插值分段二次插值第十四页，讲稿共二十五页哦（2 2）方法概述：）方法概述：第十五页，讲稿共二十五页哦3 3、误差估计：、误差估计：第十六页，讲稿共二十五页哦三、埃尔米特插值三、埃尔米特插值 /*Hermite Interpolation*/不仅要求函数值重合，而且要求若干阶不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数导数也重合。也重合。即：要求插值函数即：要求插值函数 满足满足 ，注：注：N 个条件可以确定个条件可以确定 次多项式。次多项式。N 1要求在要求在1个节点个节点 x0 处直到处直到m0 阶导数都重合的插阶导数都重合的插值多项式即为值多项式即为Taylo

6、r多项式多项式其余项为其余项为一般只考虑一般只考虑 与与 的值。的值。第十七页，讲稿共二十五页哦1 1、分段三次、分段三次HermiteHermite插值插值可构造两点三次可构造两点三次HermiteHermite插值多项式插值多项式第十八页，讲稿共二十五页哦其中我们称为分段三次Hermite插值多项式，其余项为第十九页，讲稿共二十五页哦分段低次插值的特点分段低次插值的特点:计算较容易计算较容易可以解决可以解决RungeRunge现象现象,可保证收敛性可保证收敛性但插值多项式分段但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点插值曲线在节点处会出现尖点（若无导数值）（若无导数值）优点优点优点优点:缺

7、点缺点缺点缺点:第二十页，讲稿共二十五页哦Qestion:已知函数已知函数 在互异节点在互异节点 处的函数值处的函数值 以及导数值以及导数值 ，要构造不超过，要构造不超过2n+1次的多项式次的多项式满足如下的满足如下的2n+2个条件个条件称上述问题为全导数的称上述问题为全导数的Hermite插值问题插值问题2 2、整体（高次）、整体（高次）HermiteHermite插值插值第二十一页，讲稿共二十五页哦思想思想类似于类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构造一插值多项式的构造方法，即通过构造一组组插值基函数插值基函数来表示来表示Hermite插值多项式。插值多项式。设满足前述设满足前述2n+2个条件的插值多项式个条件的插值多项式 为为其中其中 ，满足满足第二十二页，讲稿共二十五页哦容易导出容易导出全导数的全导数的Hermite插值多项式：插值多项式：其中其中第二十三页，讲稿共二十五页哦如如n=1时时Hermite插值多项式插值多项式 为为第二十四页，讲稿共二十五页哦012 123-101应用应用Hermite插值计算插值计算 的近似值。的近似值。例：例：已知函数已知函数 在点在点 数据表：数据表：解：解：第二十五页，讲稿共二十五页哦