函数的极值与导数讲稿.ppt

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1、关于函数的极值与导数第一页，讲稿共三十二页哦aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,x(x-1)0,得得x0 x1x1，则则f(x)单增区间（单增区间（，0 0）,（1 1，+）令令x(x-1)0,x(x-1)0,得得0 x1,0 x1,f(x)单减区单减区(0,2).(0,2).注意注意:求单调区间求单调区间:1:首先注意首先注意 定义域定义域,2:其次区间其次区间不能不能用用 U 连接连接（第一步）（第一步）解：解：（第二步）（第二步）（第三步）（第三步）上页下页铃结束返回首页第三页，讲稿共三十二页哦 yxOabyf(x)x1 f(x1)x2 f(x2)x3 f(

2、x3)x4 f(x4)在在x1、x3处函数值处函数值f(x1)、f(x3)与与x1、x3左右近旁左右近旁各点各点处的处的函数值函数值相比相比,有什么特点有什么特点?f(x2)、f(x4)比比x2、x4左右近旁左右近旁各点处的各点处的函数值函数值相比相比呢呢?观察图像观察图像：上页下页铃结束返回首页第四页，讲稿共三十二页哦函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；函数的函数的极大值极大值

3、与与极小值极小值统称统称为为极值极值.(极值即极值即峰谷处峰谷处的函数值值）的函数值值）使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点上页下页铃结束返回首页第五页，讲稿共三十二页哦（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极言的，在函数的整个定义域内可能有多个极大值或极小值小值（2）极大值不一定比极小值大）极大值不一定比极小值大（3）可导函数可导函数f(x),点是极值点的点是极值点的必要条件必要条件是在该是在该 点的导数为点的导数为0或者不存在或者不存在例：例：y=x2上页下页铃结束返回首页

4、第六页，讲稿共三十二页哦1理解极理解极值值概念概念时时需注意的几点需注意的几点(1)函函数数的的极极值值是是一一个个局局部部性性的的概概念念，是是仅仅对对某一点的左右两某一点的左右两侧侧附近的点而言的附近的点而言的(2)极极值值点点是是函函数数定定义义域域内内的的点点，而而函函数数定定义义域的域的端点端点绝绝不是不是函数的函数的极极值值点点(3)若若f(x)在在a，b内内有有极极值值，那那么么f(x)在在a，b内内绝绝不不是是单单调调函函数数，即即在在定定义义域域上上单单调调的的函函数数没有没有极极值值总结总结上页下页铃结束返回首页第七页，讲稿共三十二页哦(4)极大值与极小值没有必然的大小关系

5、一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数若函数f(x)在在a，b上有极上有极值值，它的极，它的极值值点的分布点的分布是有是有规规律的律的(如如图图(2)所示所示)，相相邻邻两个极大两个极大值值点之点之间间必有必有一个极小一个极小值值点，同点，同样样相相邻邻两个极小两个极小值值点之点之间间必必有有一个极大一个极大值值点点上页下页铃结束返回首页第八页，讲稿共三十二页哦练习：练习：下图是导函数下图是导函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数 的的极值点极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.

6、abxyx1Ox2x3x4x5x6上页下页铃结束返回首页第九页，讲稿共三十二页哦 yxO探究：探究：极值点处导数值极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处，如果有切线，切线水平极值点处，如果有切线，切线水平即即:k切切=f (x)=0aby=f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，则，则x0是否为极值点？是否为极值点？结论：结论：导导数数为为0的点不一定是极的点不一定是极值值点，但都叫点，但都叫驻驻点。点。x yO分析yx3上页下页铃结束返回首页第十页，讲稿共三十二页哦进一步探究:极值点两侧函

7、数图像单调性有何特点?极大值极大值极小值极小值即即:极值点两侧极值点两侧单调性单调性互异互异上页下页铃结束返回首页第十一页，讲稿共三十二页哦 f (x)0 yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0探究探究:极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2 xXx2 2 f (x)f(x)xXx1 1 f (x)f(x)增增f (x)0f (x)=0f (x)0极大值极大值减减f (x)0注意注意:(1)f (x0)=0，x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f (x0)=0且且x0两侧单调性不同不同，x0才

8、是极值点才是极值点.(3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0)=0的点，的点，再再列表判断单调性列表判断单调性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x)=0上页下页铃结束返回首页第十二页，讲稿共三十二页哦因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.解解:令令 解得解得 或或当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值

9、有极小值 4/3.上页下页铃结束返回首页第十三页，讲稿共三十二页哦变式变式求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:令令 解得解得 列表列表:x0f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 所以所以,当当 时时,f(x)有极小值有极小值上页下页铃结束返回首页第十四页，讲稿共三十二页哦求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 列表列表:x(,3)3(3,3)3(3,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.上页下页铃结束返回首页第十五页，讲稿共三十二页哦

10、求下列函数的极值求下列函数的极值:解解:解得解得 所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 10;当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 22.解得解得 所以所以,当当 x=1 时时,f(x)有极小值有极小值 2;当当 x=1 时时,f(x)有极大值有极大值 2.上页下页铃结束返回首页第十六页，讲稿共三十二页哦小结：小结：极值定义 关键：可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0或者不存在或者不存在。极值点左右两边的导数必须异号。3 3个步骤：个步骤：确定定义域确定定义域求求f(x)=0的根的根并列成表格并列成表格判断极值：判断极值：用方程用方程f(x)=0的根的根x0，

11、x1,.,顺次将函数的定义顺次将函数的定义域分成若干个开区间，如域分成若干个开区间，如果果xn左侧左侧紧邻区间导函数紧邻区间导函数f(x)都都小于小于0，右侧右侧紧邻区间导函数紧邻区间导函数f(x)都都大于大于0，则，则f(x)在在xn左边减左边减少少，右边增加右边增加,xn是极小值点是极小值点，f(xn)是极小值是极小值。如。如果果xn左侧左侧紧紧邻区间导函数邻区间导函数f(x)都都大于大于0，右侧紧邻区间导函数，右侧紧邻区间导函数f(x)都都小小于于0，则，则f(x)在在xn左边增加左边增加，右边减少右边减少,xn是是极大值点极大值点，f(xn)是是极大值极大值。上页下页铃结束返回首页第十

12、七页，讲稿共三十二页哦例例2求函数f(x)x32x21在区间1,2上的最大值与最小值分析首先求f(x)在(1,2)内的极值然后将f(x)的各极值与f(1)，f(2)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值解析f(x)3x24x.上页下页铃结束返回首页第十八页，讲稿共三十二页哦故f(x)最大值1，f(x)最小值2.点评利用求最值的步骤求解1、函数最大值及最小值点必在下面各种点之中：导数等于0的点、导数不存在的点或区间的端点2、函数在区间a，b上连续是f(x)在a，b上存在最值的充分而非必要条件上页下页铃结束返回首页第十九页，讲稿共三十二页哦变式：变式：求函数求函数f(x)=x2-4x+6

13、在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 上页下页铃结束返回首页第二十页，讲稿共三十二页哦 故函数故函数f(x)在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值为最大值为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、f(x)=2x-4令令f(x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112上页下页铃结束返回首页第二十一页，讲稿共三十二页哦例例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc

14、0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.上页下页铃结束返回首页第二十二页，讲稿共三十二页哦点评若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数上页下页铃结束返回首页第二十三页，讲稿共三十二页哦注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某，并对同一个函数来说，在某一点一点的极大值也可能小于另一点的极小值的极大值也可能小于另一点的极小值。思考思考

15、1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。f (x0)=0,则则f(x0)必为必为极值；极值；f(x)=在在x=0 处取处取极大值极大值0，函数的极小值函数的极小值一定小于一定小于极大值极大值函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极值即为最值函数的极值即为最值上页下页铃结束返回首页第二十四页，讲稿共三十二页哦有极大值和极小值有极大值和极小值,求求a范围范围?思考思考2解析:f(x)有极大值和极小值极大值和极小值 f(x)=0有2实根,已知函数已知函数解得 a6或a3上页下页铃结束返回首页第二十五页，讲稿共三十二页哦

16、练习练习1：求求 在在 时极值。时极值。上页下页铃结束返回首页第二十六页，讲稿共三十二页哦练习练习2:若若f(x)=ax3+bx2-x在在x=1与与 x=-1 处有极值处有极值.(1)求求a、b的值的值(2)求求f(x)的极值的极值.上页下页铃结束返回首页第二十七页，讲稿共三十二页哦练习练习3：设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实数恰有三个单调区间，试确定实数a的的取值范围，并求出这三个单调区间取值范围，并求出这三个单调区间.上页下页铃结束返回首页第二十八页，讲稿共三十二页哦上页下页铃结束返回首页第二十九页，讲稿共三十二页哦上页下页铃结束返回首页第三十页，讲稿共三十二页哦上页下页铃结束返回首页第三十一页，讲稿共三十二页哦感谢大家观看2022/9/27第三十二页，讲稿共三十二页哦