复变函数分式线性映射.ppt

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1、复变函数课件分式线复变函数课件分式线性映射性映射1现在学习的是第1页，共28页一、分式线性映射的概念一、分式线性映射的概念称为称为分式线性映射分式线性映射.说明说明:否则否则,由于由于那末整个那末整个z平面映射成平面映射成 w平面上的一点平面上的一点.小知识小知识2现在学习的是第2页，共28页分式线性映射的分式线性映射的逆映射逆映射,也是分式线性映射也是分式线性映射.2)由由3)两分式线性映射两分式线性映射仍复合为分式线性映仍复合为分式线性映3现在学习的是第3页，共28页4)分式线性映射分式线性映射一个一般形式的分式线性映射是由下列三种一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊的简单映射复合而

2、成特殊的简单映射复合而成:4现在学习的是第4页，共28页二、几种简单的分式线性映射二、几种简单的分式线性映射平移映射平移映射(为方便起见为方便起见,令令w平面与平面与z平面重合平面重合)5现在学习的是第5页，共28页二、几种简单的分式线性映射二、几种简单的分式线性映射平移映射平移映射(为方便起见为方便起见,令令w平面与平面与z平面重合平面重合)6现在学习的是第6页，共28页旋转与伸长旋转与伸长(或缩短或缩短)变换变换事实上事实上,设设那末那末因此因此,把把z先转一个角度先转一个角度7现在学习的是第7页，共28页关于横轴对称关于横轴对称反演变换反演变换此映射可进一步分解为此映射可进一步分解为欲由

3、点欲由点z作出点作出点w,可考虑如下作图次序可考虑如下作图次序:关键关键:8现在学习的是第8页，共28页对称点的定义对称点的定义:设设C为以原点为中心为以原点为中心,r为半径的圆周为半径的圆周.在以在以满足关系式满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的那末就称这两点为关于这圆周的对称点对称点.规定规定:无穷远点的对称点是圆心无穷远点的对称点是圆心O O.9现在学习的是第9页，共28页.设设P在在C外外,从从P作作C的切线的切线PT,由由T作作OP的垂的垂作图作图:.10现在学习的是第10页，共28页故可知故可知:.关于单位圆对称关于单位圆对称关于实轴对称关于实轴对称11现在学习的是第11页，共2

4、8页三、分式线性映射的性质三、分式线性映射的性质1.1.一一对应性一一对应性例如例如:结论结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应分式线性映射在扩充复平面上一一对应.12现在学习的是第12页，共28页2.2.保角性保角性若若规定规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角的交角,等于它们在映射等于它们在映射 下所映成的通过下所映成的通过原点的两条象曲线的交角原点的两条象曲线的交角.13现在学习的是第13页，共28页综上所述知综上所述知:14现在学习的是第14页，共28页综上所述综上所述:定理一定理一 分式线性映射在扩充复平面上是一一对分式线性映射在扩充复平面上是

5、一一对应的，且具有保角性应的，且具有保角性15现在学习的是第15页，共28页3.保圆性保圆性 所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质圆周的性质.特殊地特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射映射特点特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.16现在学习的是第16页，共28页2)映射映射若若z平面上圆方程为平面上圆方程为:令令有有代入代入z平面圆方程得其象曲线方程平面圆方程得其象曲线方程:即即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.17现在学习的是

6、第17页，共28页3)分式线性映射分式线性映射定理定理二二 分式线性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周,即具有保圆性即具有保圆性.说明说明:如果给定的圆周或直线上没有点映射成无如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线那末它就映射成直线.如果如果18现在学习的是第18页，共28页4.保对称性保对称性对称点的特性对称点的特性.19现在学习的是第19页，共28页.20现在学习的是第20页，共28页结论

7、结论充要条件是充要条件是:21现在学习的是第21页，共28页即即分式线性映射具有保对称性分式线性映射具有保对称性.定理定理三三22现在学习的是第22页，共28页证证分式线性映射分式线性映射证毕证毕23现在学习的是第23页，共28页小知识小知识1.分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(17901868)研究研究,所以也称为所以也称为默比乌斯映射默比乌斯映射.对每一个固定的对每一个固定的w,此式关于此式关于z是线性的是线性的;对每一对每一个固定的个固定的z,此式关于此式关于w也是线性的也是线性的,因此称上式因此称上式是双线性的是双线性的.分式线性映射也称分式线性

8、映射也称双线性映射双线性映射.默比乌斯默比乌斯24现在学习的是第24页，共28页四、小结与思考四、小结与思考 分式线性映射是一类比较简单而又很重要的分式线性映射是一类比较简单而又很重要的共形映射共形映射,应熟悉分式线性映射的分解和复合应熟悉分式线性映射的分解和复合,及及其保角性、保圆性和保对称性其保角性、保圆性和保对称性.25现在学习的是第25页，共28页思考题思考题26现在学习的是第26页，共28页思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.27现在学习的是第27页，共28页默比乌斯资料默比乌斯资料 August MbiusBorn:17 Nov 1790 in Schulpforta,Saxony(now Germany)Died:26 Sept 1868 in Leipzig,Germany 28现在学习的是第28页，共28页