复变函数第一章.ppt

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1、复变函数第一章现在学习的是第1页，共35页基础课基础课专业基础课专业基础课 工程数学工程数学 专业课专业课线性代数线性代数复变函数复变函数概率论与随机过程概率论与随机过程现在学习的是第2页，共35页参考书参考书现在学习的是第3页，共35页关于复变函数课程关于复变函数课程发展：发展：复数是复数是16世纪解代数方程时引入的；世纪解代数方程时引入的；18世纪欧拉阐明了世纪欧拉阐明了几何、物理意义，得以发展；几何、物理意义，得以发展；19世纪世纪柯西、黎曼、魏尔斯特拉柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯斯（导数、积分、级数）。（导数、积分、级数）。应用：应用：自然科学和工程技术中广泛应用自然科学和工程技术中广泛应

2、用,如空气动力学、流如空气动力学、流体力学、电磁学、热学、理论物理、信息处理等广泛应用。体力学、电磁学、热学、理论物理、信息处理等广泛应用。研究对象：研究对象：高等数学中实变函数：高等数学中实变函数：复变函数中复变函数：复变函数中复变函数：学习要点：学习要点：注意与实变函数共同点和不同点。注意与实变函数共同点和不同点。现在学习的是第4页，共35页复变函数课程的基本内容复变函数课程的基本内容现在学习的是第5页，共35页第一章第一章 复数及复平面复数及复平面基本内容：基本内容：1、复数的代数运算。、复数的代数运算。2、复数的表示、复数的表示(四种形式四种形式)。3、复平面拓扑（区域及其单连通多连通

3、概念）、复平面拓扑（区域及其单连通多连通概念）重点：复数的运算、表示。重点：复数的运算、表示。现在学习的是第6页，共35页1 复数及其几何表示复数及其几何表示1、复数定义、复数定义：i 称为虚单位：称为虚单位：复数大小比较复数大小比较(1)不能比较大小不能比较大小;(2)实部、虚部分别相等实部、虚部分别相等 复数才相等。复数才相等。现在学习的是第7页，共35页2、代数运算：代数运算：加、减：加、减：乘法：乘法：除法：除法：现在学习的是第8页，共35页复数：复数：共轭复数共轭复数:现在学习的是第9页，共35页复平面：复平面：x-实轴实轴y-虚轴虚轴 复数（向量、三角、指数、图形）复数（向量、三角

4、、指数、图形）xz(x,y)yo2 复数的表示复数的表示现在学习的是第10页，共35页复数四种表示方法：复数四种表示方法：1、向量表示、向量表示：2341xy现在学习的是第11页，共35页辐角主值公式：辐角主值公式：2341xy现在学习的是第12页，共35页2、三角表示法：、三角表示法：3、指数表示法：、指数表示法：由欧拉公式由欧拉公式：指数表示：指数表示：目标目标2：将复数的表示相互转换。：将复数的表示相互转换。现在学习的是第13页，共35页4、平面图形、平面图形 复数形式方程：复数形式方程：目标目标3：将复数方程与平面图形相联系。：将复数方程与平面图形相联系。现在学习的是第14页，共35页

5、目标目标3：将复数方程与平面图形相联系。：将复数方程与平面图形相联系。目标目标2：将复数的表示相互转换。：将复数的表示相互转换。作业 P31 1、8现在学习的是第15页，共35页复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 定理二、商：模相除；辐角相减。定理二、商：模相除；辐角相减。辐角相减：辐角相减：两端可能取的值的全体是相同的。两端可能取的值的全体是相同的。1、乘积乘积：定理一、乘积：模相乘；辐角相加。定理一、乘积：模相乘；辐角相加。辐角相加：辐角相加：两端可能取的值的全体是相同的。两端可能取的值的全体是相同的。2、商商：现在学习的是第16页，共35页3、幂、幂：n个相同的复数个相同的复数z相乘，为相

6、乘，为z的的n次幂次幂(n为整数为整数)。4、根、根：（多值性）：（多值性）现在学习的是第17页，共35页几何上看，几何上看，n个值是以原点为中心，个值是以原点为中心，为半径为半径的圆的内接正的圆的内接正n边形的边形的n个顶点。个顶点。现在学习的是第18页，共35页目标目标4：求复数的根和幂。：求复数的根和幂。现在学习的是第19页，共35页 2 复平面的拓扑复平面的拓扑为了研究复变函数，就要看其变化范围，通常变化范围是区域。为了研究复变函数，就要看其变化范围，通常变化范围是区域。现在学习的是第20页，共35页边界点边界点：D为区域，为区域，p不属于不属于D，但在，但在p任意小的邻域任意小的邻域

7、 内总包含有内总包含有D中的点，称中的点，称p为为D的边界点。的边界点。内点内点：D为复平面点集，为复平面点集，z为为D中任一点，中任一点，如果如果z的的一个一个 邻域存在使该邻域内邻域存在使该邻域内 的所有点都属于的所有点都属于D，称，称z为为 D的内点。的内点。开集开集：如果：如果D的每个点都是它的内点，称的每个点都是它的内点，称D为开集。为开集。现在学习的是第21页，共35页连通连通：点集：点集D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全 属于它的一条属于它的一条 折线连接起来，折线连接起来，称称D为连通的。为连通的。区域区域：平面点集称为区域它必须满足下列：平面点集称为区域它必须满足

8、下列 两个条件：两个条件：1）D是一个开集。是一个开集。2）D是连通的。是连通的。边界边界：D的所有边界点组成的所有边界点组成D的边界。的边界。闭区域闭区域：区域：区域D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域 。有界区域有界区域：M为正整数，如果为正整数，如果D区域内的所有点区域内的所有点z都满都满 足足 ，D为有界区域。为有界区域。无界区域无界区域：否则称：否则称D为无界区域。为无界区域。现在学习的是第22页，共35页现在学习的是第23页，共35页单连通域：区域单连通域：区域D中任做一条简单闭曲线，曲线内中任做一条简单闭曲线，曲线内 部总属于部总属于D，称，称D 为单连通区域。为单

9、连通区域。多连通域：不满足单连通域条件的区域。多连通域：不满足单连通域条件的区域。目标目标5：判断定义的集合为：判断定义的集合为：区域或闭区域；有界或无界；单连通或多连通。区域或闭区域；有界或无界；单连通或多连通。现在学习的是第24页，共35页目标目标4：求复数的根和幂。：求复数的根和幂。目标目标5：判断定义的集合为：判断定义的集合为：区域或闭区域；有界或无界；区域或闭区域；有界或无界；单连通或多连通。单连通或多连通。现在学习的是第25页，共35页1、复变函数定义：、复变函数定义：单值函数：单值函数：z 与与w 一一对应。一一对应。多值函数：一个多值函数：一个z对应两个以上对应两个以上w值。值

10、。反函数：反函数：z=g(w)2、映射、映射：习惯将实变函数用几何图形表示，复变函数是对变习惯将实变函数用几何图形表示，复变函数是对变量量(x,y)(u,v)之间的对应关系，可以看作之间的对应关系，可以看作(x,y)平面通平面通过过 f 变换到变换到(u,v)平面的映射。平面的映射。5 复变函数复变函数现在学习的是第26页，共35页目标目标6：用简单的函数关系找到映射曲线。：用简单的函数关系找到映射曲线。现在学习的是第27页，共35页6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性1、极限：、极限：现在学习的是第28页，共35页现在学习的是第29页，共35页2、连续性：、连续性：现在学习的是第

11、30页，共35页目标目标7：判断函数的连续性。：判断函数的连续性。现在学习的是第31页，共35页目标目标6：用简单的函数关系找到映射曲线。：用简单的函数关系找到映射曲线。目标目标7：判断函数的连续性。：判断函数的连续性。现在学习的是第32页，共35页第一章第一章 小结小结 (3个内容个内容)1、复数：、复数：1）复数的概念）复数的概念 z=x+i y 2）复数的运算（加、减、乘、除，交）复数的运算（加、减、乘、除，交 换率、换率、结合率、分配率、共轭复数）结合率、分配率、共轭复数）3）复数的表示（向量、三角、指数、图形）复数的表示（向量、三角、指数、图形）4)幂与根：幂与根：现在学习的是第33

12、页，共35页2、复平面的拓扑、复平面的拓扑邻域，内点，开集，邻域，内点，开集，区域，闭区域，区域，闭区域，有界区域，圆域，圆环域，连通，有界区域，圆域，圆环域，连通，单连通域，多连通域，边界点，边界，单连通域，多连通域，边界点，边界，连续曲线，光滑曲线，闭曲线，简单曲线连续曲线，光滑曲线，闭曲线，简单曲线现在学习的是第34页，共35页目标目标1：计算：计算得到（实部得到（实部+i虚部）虚部）目标目标2：将复数的表示相互转换。：将复数的表示相互转换。目标目标4：求复数的根和幂。：求复数的根和幂。目标目标5：复数方程与图形的关系：复数方程与图形的关系：区域或闭区域；有界或无界；单连通或多连通。区域或闭区域；有界或无界；单连通或多连通。目标目标6：用简单的函数关系找到映射曲线。：用简单的函数关系找到映射曲线。目标目标7：判断函数的连续性。：判断函数的连续性。现在学习的是第35页，共35页