第1章插值精选文档.ppt

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1、第1章插值本讲稿第一页，共六十四页定义：为定义在区间 上的函数，为区间上n+1个互不 相同的点，为给定的某一函数类。求 上的函数 满足问题l是否存在唯一l如何构造l误差估计本讲稿第二页，共六十四页设则所以 有解，当且仅当系数行列式不为系数行列式不为0本讲稿第三页，共六十四页存在唯一定理定理1.1：为n1个节点，n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当本讲稿第四页，共六十四页1.与基函数无关2.与原函数f(x)无关3.基函数个数与点个数相同特点：特点：本讲稿第五页，共六十四页对应于对应于则则Vandermonde行列式本讲稿第六页，共六十四页多项式插值的Lagrange型l如何找？在基函数上下

2、功夫，取基函数为要求则本讲稿第七页，共六十四页求，易知：记本讲稿第八页，共六十四页l线性插值本讲稿第九页，共六十四页l二次插值本讲稿第十页，共六十四页例：本讲稿第十一页，共六十四页算法：fx=0.0for(i=0;i=n;i+)tmp=1.0;for(j=0;ji;j+)tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj);for(j=i+1;j=n;j+)tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj);fx=fx+tmp*yi;return fx;本讲稿第十二页，共六十四页Lab02 Lagrange插值对函数构造插值，并求插值节点取为：(1)(2)对N=5，10，20，40比较以上两组节点的结果。C

3、hebyshev点本讲稿第十三页，共六十四页误差解：求设易知本讲稿第十四页，共六十四页有n+2个零点由a的任意性本讲稿第十五页，共六十四页例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。本讲稿第十六页，共六十四页解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 =0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外推外推/*extrapolation*/的实际误差的实际误差 0.010010.01001利用利用sin 50 0.7

4、6008,内插内插/*interpolation*/的实际误差的实际误差 0.005960.00596内插通常优于外推。选择要计内插通常优于外推。选择要计算的算的 x 所在的区间的端点，插所在的区间的端点，插值效果较好。值效果较好。本讲稿第十七页，共六十四页n=2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061高次插值通常优于低高次插值通常优于低次插值次插值本讲稿第十八页，共六十四页事后误差估计给定任取n+1个构造如：另取则本讲稿第十九页，共六十四页近似则本讲稿第二十页，共六十四页lLagrang

5、e 插值的缺点无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算本讲稿第二十一页，共六十四页为实数Newton型多项式插值且同样承袭性承袭性：本讲稿第二十二页，共六十四页而且有：本讲稿第二十三页，共六十四页这样：本讲稿第二十四页，共六十四页称为k阶差商称为1阶差商定义：差商差商本讲稿第二十五页，共六十四页差商的一个性质差商的一个性质：（用归纳法易证）对称性：定义关键：找不同的元素相减作分母本讲稿第二十六页，共六十四页由归纳：本讲稿第二十七页，共六十四页Newton插值构造1、先构造差商表本讲稿第二十八页，共六十四页l例子2点Newton型插值2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式本讲稿第二十九

6、页，共六十四页差商表求值算法：for(i=1;i=i;j-)yj=(yj-yj-1)/(xj-xj-i);fx=yn;for(i=n;i=1;i-)fx=yi-1+(x-xi-1)yi-1;本讲稿第三十页，共六十四页问题：如果要做到增加一个点，而尽可能减少重复计算，要如何改进前面的算法？本讲稿第三十一页，共六十四页l一些性质性质2本讲稿第三十二页，共六十四页误差性质3本讲稿第三十三页，共六十四页差商性质总结本讲稿第三十四页，共六十四页证明作为作业本讲稿第三十五页，共六十四页Home WorkP40 3(1),4,6本讲稿第三十六页，共六十四页有关上机作业l提交计算机作业的ftp是210.45.

7、66.200，l可以直接在“我的电脑”里输入ftp:/210.45.66.200登录，l也可以用flashfxp等客户端软件登录，登录不需要输入用户名密码，匿名登录即可。lftp的权限只能提交作业，而不能下载或删除作业，l如果他们发现自己提交的作业有问题，直接重新提交一份即可。本讲稿第三十七页，共六十四页有关上机作业2l为了避免病毒起见，ftp我设置只能提交.rar,.zip,.7z三种压缩包格式，其余的文档类型不能提交，所以他们每个人的作业必须打包压缩后才能提交。l每个人作业的文件名最好包含姓名和学号。本讲稿第三十八页，共六十四页有关上机作业3l我在ftp里设置了“第一次作业”、“第二次作业

8、”等目录，每次作业放在相应的文件夹内。l最好让所有同学不论是否是否已通过邮件发送前两次作业，都往ftp提交作业，邮件每天太多，比较容易漏看，ftp则一目了然，比较清楚。本讲稿第三十九页，共六十四页1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。称为二重密切Hermite插值本讲稿第四十页，共六十四页例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)和和 f(x1),求多项式求多项式 P(x)满足满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且且 P(x1)=f(x1),并估计

9、误差。并估计误差。模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1,x2，且且 h0(x1)=0 x1 是重根。是重根。)()()(22100 xxxxCxh =又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)与与h0(x)完全类似。完全类似。其中其中 hi(xj)=ij,hi(x1)=0,(xi)=0,(x1)=1 h1 h1本讲稿第四十一页，共六十四页h1(x)有根有根 x0,x2 )()()(201xxxxBAxxh +=由余下条件由余下条件 h1(x1)=

10、1 和和 h1(x1)=0 可解。可解。(x)h1有根有根 x0,x1,x2 h1)()()(2101xxxxxxCx =h1又又:(x1)=1 C1 可解。可解。与与 Lagrange 分析完分析完全类似全类似本讲稿第四十二页，共六十四页 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数，注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1l对二重密切Hermite插值本讲稿第四十三页，共六十四页本讲稿第四十四页，共六十四页l 整个构造步骤如下：1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数2、假设一组基函数，列出插值多项式3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数

11、称为构造基函数方法本讲稿第四十五页，共六十四页误差分析类似Lagrange插值的分析方法本讲稿第四十六页，共六十四页二重密切Hermite插值误差本讲稿第四十七页，共六十四页例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大越大Ln(x)f(x)是否次数越高越好呢？本讲稿第四十八页，共六十四页分段低阶插值lRunge现象例：等距节点构造10次Lagrange插值多项式-0.900.047061.57872-0.700.07547-0.22620-0.500

12、.137930.25376-0.300.307690.235351901年，Runge等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。本讲稿第四十九页，共六十四页l分段线性插值每个小区间上，作线性插值(1)(2)在每个小区间上为一个不高于1次的多项式特性特性本讲稿第五十页，共六十四页l误差可以看出本讲稿第五十一页，共六十四页收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。类似，可以作二重密切Hermite插值关键：分段、低阶插值本讲稿第五十二页，共六十四页三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导数，

13、称为三次样条函数插值。本讲稿第五十三页，共六十四页每个小区间不高于3次，有4n个未知数，我们的已知条件如下：共3n-3+n+1=4n-2个条件本讲稿第五十四页，共六十四页lm关系式需要附加2个条件，通常在边界处给出设所以，是3次二重Hermite插值，记本讲稿第五十五页，共六十四页本讲稿第五十六页，共六十四页由本讲稿第五十七页，共六十四页本讲稿第五十八页，共六十四页两个边界条件有本讲稿第五十九页，共六十四页l边值条件边值条件(1)固支边界条件(2)(3)周期边界条件本讲稿第六十页，共六十四页lM关系式设记三弯距法：3次多项式导2次后，为线性函数本讲稿第六十一页，共六十四页积分2次由有本讲稿第六十二页，共六十四页计算过程如下本讲稿第六十三页，共六十四页Home Work1.推导三次样条函数插值在周期边界条件下的m和M关系式的边界条件2.P40:12,15本讲稿第六十四页，共六十四页