线性系统的稳定性分析讲稿.ppt
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1、关于线性系统的稳定性分析第一页,讲稿共七十八页哦(1)稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。一、稳定性的基本概念 (2)自动控制理论的基本任务(之一)分析系统的稳定性问题;提出保证系统稳定的措施。对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。第二页,讲稿共七十八页哦例例稳定的摆不稳定的摆(a)(a)稳定稳定(b)(b)临界稳定临界稳定(c)(c)不稳定不稳定第三页,讲稿共七十八页哦稳定性的定义稳定性的定义控制系统在外部扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。注意:控制系统自身的固有特性,取决于注意:控制系统自身的固有特性,取决于系统本身的结构和参数,与输入无关。系统本身的结
2、构和参数,与输入无关。第四页,讲稿共七十八页哦不论扰动引起的初始偏差有多大,当扰动取消后,系统 都 能 够 恢 复 到 原 有 的 平 衡 状 态。(a)大范围稳定大范围稳定大范围稳定:第五页,讲稿共七十八页哦(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意:对于线性系统,小范围稳定注意:对于线性系统,小范围稳定大范围稳定。大范围稳定。第六页,讲稿共七十八页哦(a)不稳定第七页,讲稿共七十八页哦临界稳定临界稳定:若系统在扰动消失后,输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡,则系统处于临界稳定状态。注意:经典控制论中,临界稳定也视为不稳定。注意:经典控制论中,临界稳定也视为不稳定。第
3、八页,讲稿共七十八页哦运动稳定性(线性系统)对于线性系统只有大范围稳定的问题对于线性系统只有大范围稳定的问题对于线性系统而言,平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的对于线性系统而言,平衡状态稳定性和运动稳定性是等价的 线性系统在初始扰动的影响下,其动态过程随时间的线性系统在初始扰动的影响下,其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零,则称系统推移逐渐衰减并趋于零,则称系统渐进稳定渐进稳定,简称稳定。,简称稳定。如动态过程随时间的推移而发散,称为不稳定。如动态过程随时间的推移而发散,称为不稳定。系统方程在不受任何外界输入的条件下,系统方程的系统方程在不受任何外界输入的条件下,系统方程的解在时间趋于无穷时
4、的渐进行为。解在时间趋于无穷时的渐进行为。线性控制系统的稳定性第九页,讲稿共七十八页哦 稳定的条件:假设系统在初始条件为零时,受到单位脉冲信号(t)的作用,此时系统的输出增量(偏差)为单位脉冲响应,这相当于系统在扰动作用下,输出信号偏离平衡点的问题,显然,当t时,若:即输出增量收敛于原平衡点,则线性系统是(渐近)稳定。二、线性系统稳定的充分必要条件第十页,讲稿共七十八页哦理想脉冲函数作用下 R(s)=1。对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。由上式知:如 果pi和 i均 为 负 值,当t 时,c(t)0。第十一页,讲稿共七十八页哦自动控制系统稳定的充分必要条件:系统特征方程的根全部具有负
5、实部,即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意:稳定性与零点无关注意:稳定性与零点无关S平面系统特征方程系统特征方程第十二页,讲稿共七十八页哦例例结果:共轭复根,具有负实部,系统稳定。结果:共轭复根,具有负实部,系统稳定。第十三页,讲稿共七十八页哦三、劳思-赫尔维茨稳定判据(1877、1895)(1)该判据出现的历史条件(2)劳思-赫尔维茨稳定判据的历史条件和现状在十九世纪后叶,由于无法解析求解高阶多项式的根在十九世纪后叶,由于无法解析求解高阶多项式的根由于计算工具所限,数值求解也较难由于计算工具所限,数值求解也较难把把求根的具体值求根的具体值问题放松为问题放松为判断根是否小于零判断根是否小
6、于零问题。问题。理论上还有一定的地位理论上还有一定的地位在研究相对稳定性和保证系统稳定的参数取值范围发挥作用在研究相对稳定性和保证系统稳定的参数取值范围发挥作用由于数值求根已经非常方便,该判据在直接判断系统稳定性由于数值求根已经非常方便,该判据在直接判断系统稳定性上的作用几乎消退。上的作用几乎消退。第十四页,讲稿共七十八页哦赫尔维茨赫尔维茨(Hurwitz)判据判据控制系统稳定的充分必要条件是:当控制系统稳定的充分必要条件是:当a00时,时,各阶赫尔各阶赫尔维茨行列式维茨行列式 1、2、n均大于零。均大于零。一阶系统二阶系统a00时,a10(全部系数数同号)a00时,a10,a20(全部系数数
7、同号)a00时a00时第十五页,讲稿共七十八页哦三阶系统a00时,a10,a20,a30(全部系数同号)a00时 a1a2 a0 a3第十六页,讲稿共七十八页哦四阶系统a00时,a10,a20,a30,a40(全部系数数同号)a00时第十七页,讲稿共七十八页哦一阶系统a10(全部系数数同号)a10,a20(全部系数数同号)a10,a20,a30(全部系数数同号)a1a2 a0 a3a10,a20,a30,a40(全部系数数同号)归纳:a00时二阶系统三阶系统四阶系统第十八页,讲稿共七十八页哦例例a10,a20,a30,a40K值的稳定范围各项系数均为正数a00时,第十九页,讲稿共七十八页哦第二
8、十页,讲稿共七十八页哦第二十一页,讲稿共七十八页哦第二十二页,讲稿共七十八页哦单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下:判断上述系统开环增益K的稳定域,并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。第二十三页,讲稿共七十八页哦系统1的闭环特征方程为:系统3的闭环特征方程为:系统2的闭环特征方程为:K的稳定域为:K的稳定域为:结论:增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项,不存在K的稳定域。第二十四页,讲稿共七十八页哦劳斯阵列劳斯阵列性质:第一列符号改变次数=系统特征方程含有正实部根的个数。第二十五页,讲稿共七十八页哦特征方程:劳斯阵列:第二十六页,讲稿共七十八页哦劳斯劳斯(rou
9、th)判据判据如果符号相同如果符号相同 系统具有正实部特征根的个数等于零系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定;系统稳定;如果符号不同如果符号不同 符号改变的次数等于系统具有的正实部特符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数征根的个数系统不稳定。系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件:控制系统稳定的充分必要条件:劳思阵列第一列元素不改变符号。劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数第一列中各数”注:通常注:通常a0 0,因此,劳斯稳定判据可以简述为因此,劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。第二十七页,讲稿共七十八页哦第二十八页,
10、讲稿共七十八页哦l特殊情况特殊情况1:某行的第一列出现:某行的第一列出现0l特殊情况特殊情况2:某一行元素均为:某一行元素均为0四、劳思稳定判据的特殊情况第二十九页,讲稿共七十八页哦l特殊情况特殊情况1:某行的第一列出现:某行的第一列出现0特殊情况:第一列出现特殊情况:第一列出现0。解决方法:用因子解决方法:用因子(s(sa)a)乘以乘以原特征方程。原特征方程。系统不稳定,且有两个正实部根。系统不稳定,且有两个正实部根。第三十页,讲稿共七十八页哦l特殊情况特殊情况2:某一行元素均为:某一行元素均为0特殊情况:某一行元素均为特殊情况:某一行元素均为0 0解决方法:全0行的上一行元素构成辅助方程,
11、求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:第三十一页,讲稿共七十八页哦例如,一个控制系统的特征方程为 列劳斯表显然这个系统处于临界(不)稳定状态。第三十二页,讲稿共七十八页哦劳斯阵列出现全零行:大小相等符号相反的实根大小相等符号相反的实根共轭虚根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根对称于实轴的两对共轭复根系统在系统在s s平面有对称分布的根平面有对称分布的根第三十三页,讲稿共七十八页哦五、劳思稳定判据的应用2、实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。此法可以估计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴有多远,从而了解系统稳定的“程度”。1、稳定判据能回答特征方程式的根在S
12、平面上的分布情况,而不能确定根的具体数据。解决的办法为变量的特征方程式,然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线 右侧。代入原方程式中,得到以 设第三十四页,讲稿共七十八页哦用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在S的右半平面上,并检验有几个根在垂线的右方。例3-8解:列劳斯表 第一列全为正,所有的根均位于左半平面,系统稳定。第三十五页,讲稿共七十八页哦令代入特征方程:式中有负号,显然有根在的右方。列劳斯表第一列的系数符号变化了一次,表示原方程有一个根在垂直直线的右方。第三十六页,讲稿共七十八页哦图3-21单位反馈控制系统方块图时,闭环系统的稳定条件是什么?已知一单位反馈控制系统如图3-21所
13、示,试回答 例3-9时,闭环系统是否稳定?排劳斯表 第一列均为正值,S全部位于左半平面,故 解:系统稳定特征方程为时,闭环系统的第三十七页,讲稿共七十八页哦开环传递函数 闭环特征方程为 列劳斯表未完待续 第三十八页,讲稿共七十八页哦利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值 第三十九页,讲稿共七十八页哦3-6线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算 减小稳态误差是控制系统设计的主要目标之一减小稳态误差是控制系统设计的主要目标之一概述概述稳态误差是衡量系统控制准确度的度量稳态误差是衡量系统控制准确度的度量本书讨论所谓原理性稳态误差,他
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