微分方程组的消元法和首次积分法课件.ppt

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1、 目录 上页 下页 返回 结束关于微分方程组的消元法和首次积分法第1页，此课件共36页哦一、一、微分方程组的消元法微分方程组的消元法 将一阶微分方程组：将一阶微分方程组：中的未知函数中的未知函数只保留一个，消去只保留一个，消去第2页，此课件共36页哦其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数，得到一个未知函数的高阶方程，其他未知函数其他未知函数.这种方法常用于对由二个或三个这种方法常用于对由二个或三个先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出先求出这个未知函数，然后由其他方程再求出方程构成的常系数微分方程组的求解方程构成的常系数微分方程组的求解.例例1 1 求解方程组求解方程组第3页

2、，此课件共36页哦解解 保留保留，消去，消去.由方程组的第二个方程由方程组的第二个方程解出解出，得，得（5.15.1）对上式两边关于对上式两边关于求导，得求导，得（5.25.2）将（将（5.15.1）和（）和（5.25.2）代入原方程组的第一）代入原方程组的第一个方程得个方程得第4页，此课件共36页哦这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为这是一个二阶常系数线性齐次方程，通解为（5.35.3）将上式代入（将上式代入（5.15.1）得）得故原方程组的通解为故原方程组的通解为第5页，此课件共36页哦其中其中是任意常数是任意常数.注注 上面把上面把（5.35.3）代入（）代入（5.15.1）经过求导，

3、）经过求导，而没有经过求积分就求出了而没有经过求积分就求出了，若把（，若把（5.35.3）代入原方程组中的第一式，使得代入原方程组中的第一式，使得第6页，此课件共36页哦这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为这是一个一阶线性非齐次方程，它的通解为（5.45.4）在（在（5.45.4）中出现了三个任意常数）中出现了三个任意常数这与前面求得不一致，事实上，当把（这与前面求得不一致，事实上，当把（5.45.4）及及代入原方程组就发现，当代入原方程组就发现，当且仅当且仅当时，（时，（5.45.4）才可成为方程组的）才可成为方程组的解，故（解，故（5.45.4）不是原方程组的通解，其中）不是原方程组的通

4、解，其中是一个多余的任意常数是一个多余的任意常数.因此为避免出现增解，因此为避免出现增解，第7页，此课件共36页哦在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方在求出一个未知函数后，不要再用求积分的方法来求其他的未知函数法来求其他的未知函数.例例2 2 求解方程组求解方程组解解 将第一个方程求导得将第一个方程求导得第8页，此课件共36页哦代入第二个方程得代入第二个方程得（5.55.5）此方程是不显含自变量此方程是不显含自变量t t的可降阶的方程，设的可降阶的方程，设第9页，此课件共36页哦即有即有（5.65.6）由由，分离变量并积分得，分离变量并积分得代入方程（代入方程（5.55.5）得）得从而有从

5、而有第10页，此课件共36页哦对上式积分得对上式积分得或或再由第一个方程得再由第一个方程得由（由（5.65.6）还可得）还可得从而有从而有由由第一方程得第一方程得该组解包含在上面所得的该组解包含在上面所得的第11页，此课件共36页哦通解中通解中,故原方程组的通解为故原方程组的通解为第12页，此课件共36页哦设设是定义在某区间是定义在某区间I I上的具有上的具有n n阶连续阶连续二二 微分算子与线性微分方程组微分算子与线性微分方程组 这里介绍微分算子这里介绍微分算子D D及其用消元法解线性及其用消元法解线性微分方程组的应用微分方程组的应用.导数的函数，微分算子导数的函数，微分算子D D被定义为被

6、定义为这里相应地定义算子多项式：这里相应地定义算子多项式：第13页，此课件共36页哦由算子多项式由算子多项式L L的定义可以看出的定义可以看出L L是线性算子是线性算子.例如设例如设则则第14页，此课件共36页哦下面用微分算子的方法求解常系数线性微下面用微分算子的方法求解常系数线性微分方程组分方程组.设设是四个线性微分算子多项是四个线性微分算子多项式，且给定如下的线性微分方程组：式，且给定如下的线性微分方程组：第15页，此课件共36页哦（5.75.7）用算子用算子作用第一个方程的两边，用算子作用第一个方程的两边，用算子作用第二个方程的两边，得作用第二个方程的两边，得（5.85.8）由上面的第二

7、个方程减去第一个方程得由上面的第二个方程减去第一个方程得第16页，此课件共36页哦（5.95.9）用算子表示的方程（用算子表示的方程（5.95.9）是一个仅依赖于变）是一个仅依赖于变量量的一个高阶微分方程，可以求出的一个高阶微分方程，可以求出再利用再利用（5.75.7）的任何一方程可把）的任何一方程可把求解出来求解出来.例例 3 3 求解方程组求解方程组第17页，此课件共36页哦解解 设设则则由上面的方程得由上面的方程得第18页，此课件共36页哦该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为该二阶线性常系数非齐次微分方程通解为（5.105.10）将（将（5.105.10）代入原方程组的第一个方程中得）代

8、入原方程组的第一个方程中得该一阶线性非齐次微分方程通解为该一阶线性非齐次微分方程通解为第19页，此课件共36页哦（5.115.11）将（将（5.105.10）和（）和（5.115.11）代入原系统的第二个）代入原系统的第二个方程中得方程中得故原方程组的通解为故原方程组的通解为第20页，此课件共36页哦注注 对例对例3 3，也可以用下面的方法求解，也可以用下面的方法求解第21页，此课件共36页哦形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分形式的方程，该方程为一个原方程组的首次积分.三三 微分方程组的首次积分法微分方程组的首次积分法首次积分法是将方程组首次积分法是将方程组 经适当组合化为一个可积分的

9、微分方程，这个经适当组合化为一个可积分的微分方程，这个例例 4 4 求解方程组求解方程组方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数方程的未知函数可能是方程组中几个未知函数组合形式组合形式,积分此方程可以得到未知函数的组合积分此方程可以得到未知函数的组合第22页，此课件共36页哦解解 将两个方程相加得将两个方程相加得以以作为一个未知函数，并对上式积分得作为一个未知函数，并对上式积分得（5.125.12）方程（方程（5.125.12）就是原方程组的一个首次积分，）就是原方程组的一个首次积分，再将两个方程相减得再将两个方程相减得第23页，此课件共36页哦以以作为一个未知函数，对上式积分得作为一个未知函

10、数，对上式积分得（5.135.13）方程（方程（5.135.13）是原微分方程组的另一个首次）是原微分方程组的另一个首次积分，由（积分，由（5.125.12）和（）和（5.135.13）可解出未知）可解出未知函数函数第24页，此课件共36页哦这里这里是任意常数，因此原方程组通解为是任意常数，因此原方程组通解为例例 5 5 求解方程组求解方程组第25页，此课件共36页哦解解 把方程组中的第一个方程乘以把方程组中的第一个方程乘以第二个方第二个方程乘以程乘以然后两式相加得然后两式相加得即有即有把把看作未知函数，积分得看作未知函数，积分得第26页，此课件共36页哦（5.145.14）再利用原方程可得再

11、利用原方程可得即有即有由此得另一个首次积分由此得另一个首次积分由上式可得由上式可得第27页，此课件共36页哦（5.155.15）积分（积分（5.145.14）和（）和（5.155.15）得）得采用极坐标采用极坐标代入首次代入首次因此，原微分方程的通解为因此，原微分方程的通解为第28页，此课件共36页哦从上面两个例子可看出从上面两个例子可看出,利用首次积分可求出利用首次积分可求出微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程微分方程的的通解或通过首次积分以减少微分方程组中未知函数以及方程的个数组中未知函数以及方程的个数,为此为此,我们下面介绍我们下面介绍首次积分的定义首次积分的定义,并叙述有关的结

12、论并叙述有关的结论.第29页，此课件共36页哦考虑一般的考虑一般的阶微分方程组阶微分方程组 （5.165.16）其中右端函数其中右端函数在某个区域在某个区域内对内对是连续的，且是连续的，且对对是连续可微的是连续可微的.微，且不是常数微，且不是常数，把（，把（5.165.16）的任一解）的任一解设设在区域在区域内连续可内连续可代入代入使使成为成为第30页，此课件共36页哦与与t t无关的常数，此常数与所取解有关无关的常数，此常数与所取解有关,则称则称为方程组为方程组（5.165.16）的）的是方程组是方程组（5.165.16）的首次积分。的首次积分。设微分方程组设微分方程组（5.165.16）有

13、有个首次积分个首次积分如果在某区域内它们的如果在某区域内它们的JacobiJacobi行列式行列式称函数称函数一个首次积分，有时也一个首次积分，有时也第31页，此课件共36页哦则称它们在区域则称它们在区域G G内为互相独立内为互相独立.定理定理 1 1 设函数设函数在区域在区域内内是方程组（是方程组（5.165.16）的首次积分的充要条件为）的首次积分的充要条件为连续可微，且它不是常数连续可微，且它不是常数，则，则本定理给出了检验一个函数本定理给出了检验一个函数是否为方程组的是否为方程组的首次积分的方法首次积分的方法.利用首次积分法可消去某些未利用首次积分法可消去某些未知函数知函数,从而减少微

14、分从而减少微分方程组中方方程组中方程的个数程的个数.第32页，此课件共36页哦定理定理 2 2 若若已知方程组（已知方程组（5.165.16）的一个首次积）的一个首次积分，则可把方程组求解问题转化为含分，则可把方程组求解问题转化为含n-1n-1个方程个方程的方程组的求解问题的方程组的求解问题.定理定理 3 3 若若方程组（方程组（5.165.16）有）有n n个互相独立的首个互相独立的首次积分次积分则可由它们得到微分方程则可由它们得到微分方程组组(5.16)(5.16)的通解的通解.该定理表明该定理表明,为了求解方程组为了求解方程组(5.16),(5.16),只需只需求出它的求出它的n n个互

15、相独立的首次积分就可以了个互相独立的首次积分就可以了.事实事实上上,我们在例我们在例5.45.4和例和例5.55.5给出的首次积分是互给出的首次积分是互相独立的相独立的.因此由它们确定出的解都是通解因此由它们确定出的解都是通解第33页，此课件共36页哦例例 6 6 利用首次积分求解方程组利用首次积分求解方程组解解 由第一个方程和第二个方程相除得由第一个方程和第二个方程相除得因此，得到原方程组的一个首次积分因此，得到原方程组的一个首次积分第34页，此课件共36页哦再利用第一个方程减去第二个方程得再利用第一个方程减去第二个方程得把把看作未知函数，对上式积分得看作未知函数，对上式积分得因为因为第35页，此课件共36页哦27.09.2022感感谢谢大大家家观观看看第36页，此课件共36页哦