复变函数课件.ppt

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1、复变函数课件现在学习的是第1页，共58页&1.导数的几何意义导数的几何意义&2.共形映射的概念共形映射的概念第一节第一节 共形映射的概念共形映射的概念现在学习的是第2页，共58页定理定理7.1(保域定理保域定理)设设w=f(z)在区域在区域D内解析且内解析且不恒为常数不恒为常数,则则D的象的象G=f(D)也是一个区域也是一个区域.证证 首先首先证明证明G的每一点都是内点的每一点都是内点.设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0

2、)+(w0-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然 f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,使得均不为零.因而在C上:7.1.17.1.1解析变换的保域性解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有对在邻域28.09.20223现在学习的是第3页，共58页因此根据儒歇定理因此根据儒歇定理,在在C的内部的内部与与f(z)-w0有相同零点的个数有相同零点的个数.于是于是w*=f(z)在在D内有解内有解.由于由于D是区域是区域,可在可在D内部取一条联结内部取一条联结z1,z2的折线的折线C:z=z(t)t1tt2,

3、z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是于是：就是联结就是联结w1,w2的并且完全含于的并且完全含于D的一条曲线的一条曲线.从而从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到可以找到 其次其次,要证明要证明G中任意两点中任意两点w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用均可以用一条完全含于一条完全含于G的折线联结起来的折线联结起来.（连通性）（连通性）一条连接一条连接w1,w2,内接于内接于 且完全含于且完全含于G的折线的折线 1总结以上两点总结以上两点,即知即知G=f(D)是区域是区域.28.09.20224现在学习的是第4页，共58页证证 因因f(z)在区

4、域在区域D内单叶内单叶,必必f(z)在在D内不恒为常数内不恒为常数.定理定理7.2 设设w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析,则则D的象的象G=f(D)也是一个区域.注注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析（即为亚纯函数）,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.注注 满足定理满足定理7.2和7.3的条件的解析变换的条件的解析变换w=f(z)将将z0的一个的一个充分小的邻域内变成充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域的一个曲边邻域.定理定理7.3 设函数设函数w=f(z)在点在点z0解析解析,且且f (

5、z0)0,则则f(z)在在z0的一个邻域内单叶解析的一个邻域内单叶解析.28.09.20225现在学习的是第5页，共58页P26 P26 光滑曲线的定义光滑曲线的定义7.1.27.1.2、解析函数导数的几何意义、解析函数导数的几何意义yxC.两曲线的夹角现在学习的是第6页，共58页正向正向:t 增大时增大时,点点 z 移动的方向移动的方向.如果如果规定规定:平面内的有向连续曲线平面内的有向连续曲线C可表示为可表示为:yxC.两曲线的夹角现在学习的是第7页，共58页当当 p方向与方向与 C 一致一致.C.yx两曲线的夹角现在学习的是第8页，共58页处切线的正向处切线的正向,则有则有x 轴正向之间

6、的夹角轴正向之间的夹角.C.yx两曲线的夹角现在学习的是第9页，共58页之间的夹角之间的夹角.两曲线的夹角现在学习的是第10页，共58页正向正向:t 增大的方向增大的方向;C.yx解析函数导数的几何意义现在学习的是第11页，共58页其参数方程为其参数方程为正向正向:t 增大的方向增大的方向.C.yxyx.解析函数导数的几何意义现在学习的是第12页，共58页或或解析函数导数的几何意义现在学习的是第13页，共58页说明说明:转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关的形状无关.映射映射 w=f(z)具有转动角的不变性具有转动角的不变性.解析函数导数的几何意义现在学习的是第14页，

7、共58页则有则有结论结论:的夹角在其大小和方向上都等同于经过的夹角在其大小和方向上都等同于经过方向不变的性质方向不变的性质,此性质称为此性质称为此性质称为此性质称为保角性保角性.解析函数导数的几何意义现在学习的是第15页，共58页Cyxyx.现在学习的是第16页，共58页结论结论:方向无关方向无关.所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.现在学习的是第17页，共58页综上所述综上所述,有有质质:(1):(1)保角性保角性保角性保角性;(2);(2)伸缩率不变性伸缩率不变性.定理定理 现在学习的是第18页，共58页解解现在学习的是第19页，共58页反之放大反之放大.现在

8、学习的是第20页，共58页经点经点z0的两条有向曲线的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的的切线方向所构成的角称为角称为两曲线在该点的夹角两曲线在该点的夹角.Ox(z)z0定义定义7.1 若函数若函数w=f(z)在点在点 的邻的邻域内有定义域内有定义,且在点且在点 具有具有:(1)伸缩率不变性伸缩率不变性;(2)过过 的任意两曲线的夹角的任意两曲线的夹角在变换在变换w=f(z)下下,既保持大小既保持大小,又又z0z0z0保持方向保持方向;则称函数则称函数w=f(z)在点在点 是是保角的保角的,或称或称w=f(z)在点在点 是是保角变换保角变换.如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处都是保

9、角的，则称内处处都是保角的，则称w=f(z)在区域在区域D内是内是保角的保角的，或称，或称w=f(z)在区域在区域D内是内是保保角变换角变换.z0z0保角变换保角变换现在学习的是第21页，共58页转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关的形状与方向无关.所以这种映射具有所以这种映射具有转动角的不变性转动角的不变性.通过通过z0点的可能的曲线有无限多条点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具其中的每一条都具有这样的性质有这样的性质,即映射到即映射到w平面的曲线在平面的曲线在w0点都转动了一个角度Arg f(z0).OxyOuv(z)(w)z0w0现在学习的是第22页，

10、共58页相交于点相交于点z0的任何两条曲线的任何两条曲线C1与C2之间的夹角之间的夹角,在其大在其大小和方向上都等同于经小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与与C2对应的曲线对应的曲线G1与与G2之间的夹角之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质夹角与方向不变的性质.这种性质称为这种性质称为保角性。保角性。yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2现在学习的是第23页，共58页定理定理7.4 7.4 如如w=f(z)在区域在区域 D内解析内解析,则它在导数不为则它在导数不为零的点处是保角的零的点处是保角的.推论推论7.5 7.5

11、如如w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析,则称则称w=f(z)在区域在区域D内是保角的内是保角的.总结上述讨论，我们有以下结论：例例1 1求求w=f(z)=z3 在在 z=0,z=i 处的导数值处的导数值,并说明几何意义并说明几何意义。解解 w=f(z)=z3在全平面解析在全平面解析，。在z=i 处具有伸缩率不变和保角性。处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为伸缩率为3，旋转角为旋转角为 。现在学习的是第24页，共58页定义定义7.2 如果如果w=f(z)在区域在区域D内是单叶且保角的内是单叶且保角的,则称此变换则称此变换w=f(z)在在D内是内是共形的共形的,也称它为也称它为D内的内的

12、共形映射共形映射.7.1.3 单叶解析变换的共形性单叶解析变换的共形性定理定理7.6 设设w=f(z)在区域在区域D内单叶解析内单叶解析.则则 (1)w=f(z)将D共形映射成区域共形映射成区域G=f(D).(2)反函数反函数 在区域在区域G内单叶解析内单叶解析,且且证(1)由推论7.2,G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D共形映射成G.(2)由定理6.11,又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.于是于是,当当 时时,即反函数即反函数 在区域在区域G内单叶内单叶.故故现在学习的是第25页，共58页由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析

13、,即在D内满足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故 由数学分析中隐函数存在定理由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数存在两个函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点在点 及其一个邻域及其一个邻域 内为连续，即在邻域内为连续，即在邻域 中中,当 时,必有故即现在学习的是第26页，共58页在在D内作以内作以z0为其一个顶点的小三角形为其一个顶点的小三角形,在映射下在映射下,得得到一个以到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形其一个顶点的小曲边三角形,这两个三这两个三角形对应边长之比近似为角形对应边长之比近似为|f(z0)|,有一个角相等有一个角相等,则这两则这两个三角形近似相似个三角形近似

14、相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理的几何意义.现在学习的是第27页，共58页OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2现在学习的是第28页，共58页&1.分式线性映射分式线性映射&2.分式线性映射的性质分式线性映射的性质&3.举例举例第二节第二节 分式线性映射分式线性映射现在学习的是第29页，共58页2.1 分式线性映射分式线性映射定义定义A 现在学习的是第30页，共58页结论结论w=L(z)将C C w=L(z)在扩充z平面上是保域的现在学习的是第31页，共58页分式线性映射分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊总可以分解成下述三种特殊映射的复合：映

15、射的复合：称为：称为：平移整线性反演平移整线性反演现在学习的是第32页，共58页事实上事实上，现在学习的是第33页，共58页现在学习的是第34页，共58页定义定义roxyPA 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心ooTP现在学习的是第35页，共58页1ox,uy,vzw现在学习的是第36页，共58页2.2 分式线性映射的性质分式线性映射的性质现在学习的是第37页，共58页（详见（详见P290）现在学习的是第38页，共58页定理定理1现在学习的是第39页，共58页现在学习的是第40页，共58页定理定理2现在学习的是第41页，共58页定义定义7.5 关于圆周关于圆周 对称是指对称是

16、指 都在过圆都在过圆心心a的同一条射线上的同一条射线上,且满足且满足此外此外,还规定圆心还规定圆心a与点与点关于关于 为对称的。为对称的。(3).保对称点性保对称点性定理定理7.117.11 扩充扩充z平面上两点平面上两点 关于圆周关于圆周 对称的充对称的充要条件是要条件是,通过通过 的任意圆周都与的任意圆周都与 正交正交.定理定理7.127.12 设扩充设扩充z平面上两点平面上两点 关于圆周关于圆周 对称对称,w=L(z)为一线性变换为一线性变换,则则 两点关于两点关于圆周圆周 对称对称.证 设 是扩充w平面上经过 的任意圆周.此时,必然存在一个圆周 ,它经过 ,并使 ,因为 关于 对称,故

17、由定理7.11,与 亦正交.这样,再由定理7.11即知 关于 对称.现在学习的是第42页，共58页CRz0z1z2zG现在学习的是第43页，共58页当四点中有一点为当四点中有一点为时时,应将包含此点的项用应将包含此点的项用1代替代替.例如例如z1=时时,即有即有亦即先视亦即先视z1为有限为有限,再令再令 取极限而得取极限而得.定义定义7.4 扩充平面上顺序的四个相异点扩充平面上顺序的四个相异点z1,z2,z3,z4构成构成下面的量下面的量,称为它们的交比称为它们的交比,记为记为(z1,z2,z3,z4):(4).保交比性保交比性现在学习的是第44页，共58页定理7.8 在线性变换下在线性变换下

18、,四点的交比不变四点的交比不变.证 设则因此定理定理7.97.9 设线性变换将扩充设线性变换将扩充z平面上三个相平面上三个相异点异点z1,z2,z3指定为指定为w1,w2,w3,则此分式线性变换则此分式线性变换换就被唯一确定换就被唯一确定,并且可以写成并且可以写成 (7.10)(即三对对应点唯一确定一个线性变换即三对对应点唯一确定一个线性变换).现在学习的是第45页，共58页例例1解解2.3 举例举例现在学习的是第46页，共58页uv(w)xy(z)现在学习的是第47页，共58页现在学习的是第48页，共58页例例2解解现在学习的是第49页，共58页uvo(w)xy(z)o现在学习的是第50页，共58页现在学习的是第51页，共58页A 现在学习的是第52页，共58页例例3解解uv(w)xy(z)11现在学习的是第53页，共58页现在学习的是第54页，共58页例例4解解uvo(w)xy(z)oR现在学习的是第55页，共58页现在学习的是第56页，共58页例例5解解现在学习的是第57页，共58页感谢大家观看28.09.2022现在学习的是第58页，共58页