2021届湖北省武汉市部分学校高三上学期9月起点质量检测数学试题（教师版含解析）.doc

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1、20202021学年度武汉市部分学校高三起点质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集的运算求解.【详解】因为集合，所以故选:B【点睛】本题在考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2. 若为纯虚数，则实数的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法化简复数为一般形式，利用复数的基本概念可得出关于实数所满足的等式，由此可求得实数的值

2、.【详解】，由于该复数为纯虚数，则，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用复数的基本概念求参数，解题的关键在于利用复数的除法法则化简复数，考查计算能力，属于基础题.3. 已知命题所有的三角函数都是周期函数，则为( )A. 所有的周期函数都不是三角函数B. 所有的三角函数都不是周期函数C. 有些周期函数不是三角函数D. 有些三角函数不是周期函数【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题所有的三角函数都是周期函数，所以命题为全称命题，其否定为：有些三角函数不是周期函数.故选：D.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.4. 平面向量，则向量，夹角的余弦值为( )A.

3、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，在求即可.【详解】解：，故向量，夹角的余弦值为，故选:A.【点睛】本题考查向量数量积的意义，利用求解即可，属于基础题.5. 某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆.学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有( )A. 6种B. 9种C. 12种D. 18种【答案】C【解析】【分析】分步完成参观的方法，先安排第一时间段的场馆，在此基础上再安排第二时间的场馆，最后安排第三时间段的参观方法，用分步乘法原理计算

4、【详解】分步完成安排参观，第一步第一个时间段有种方法，第二步安排第二个时间段，由第一时间段已参观过一个场馆，因此第二时间段只有两种方法，如第一时间段一、二、三三个年级分别参观的是青铜器，瓷器，书画，第二个时间段一年级只能在瓷器，书画中选一个，接着二、三年级只有一种方法，因此第二时间段只有种方法，第三个时间段只有一种方法(各年级未参观的场馆)，所以共有种方法故选：C【点睛】本题考查分步计数原理，解题关键是确定完成事件的方法6. 过抛物线：焦点的直线交于，两点，线段中点到轴距离为1，则( )A. 2B. C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用中点坐标公式和焦点弦弦长公式，即可求得【详解】解

5、：由抛物线可得，设，线段的中点的横坐标为1，又直线过焦点，故选：C【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦公式和中点坐标公式应用问题，属于基础题7. 如图，点，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正方体性质作出完整的截面，然后再根据正方体性质可判断各图形中是否与平面平行【详解】A图中，作出完整的截面，由正方体性质得可得平面，A能满足；B图中，作出完整截面，由正方体性质得可得平面，B能满足；C图中，作出完整的截面，由正方体性质得，从而可得平面，C能满足D图中，作出完整截面，如下图，在平面内，不能得出平行，D不满足故选：

6、D【点睛】本题考查线面平行，考查正方体的截面，解题关键是作出正方体的截面然后判断线面是否平行8. 我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元素构成，历史文献尚书洪范提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意知，这是一个古典概型，先求得从这五种物质属性中随机选取三种的基本事件的总数，再列举出彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的基本事件，然后代入公式求解.【详解】因为从

7、这五种物质属性中随机选取三种的基本事件的总数为：种彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的基本事件为：木火土，火土金，土金水，金水木，水木火，共有种，所以取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为，故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 无穷数列的前项和，其中，为实数，则( )A. 可能为等差数列B. 可能为等比数列C. 中一定存在连续三项构成等差数列D. 中一定存在连续三项构成等比数列【答案】ABC【

8、解析】【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案【详解】当时，当时，当时，上式所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题10. 今年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业.一批影院恢复开放后，统计某连续14天的相关数据得到如下的统计表.其中，编号l的日期是周一，票房指影院门票销售金额，观影人次相当于门票销售数量.由统计表可以看出，这连续14天内( )A

9、. 周末日均的票房和观影人次高于非周末B. 影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升C. 观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同D. 每天的平均单场门票价格都高于20元【答案】AB【解析】【分析】根据统计图表中提供的数据信息，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，根据统计图表，可得：当编号为6、7、13、14时，影院门票销售金额分别为3022元、3238元、3736元、4842元，观影人数分别为：121.5万人，132万人，140.2万人，177.8万人，票房和观影人次高于非周末，所以A是正确的；根据统计图表，可得影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升，所以B是正确的；根据统计图表，可得

10、增长量分别为：，所以观影人次，在第一周的统计中逐日增长量有明显差别，所以C不正确；由统计图表，可得第4天，每天的平均单场门票价格为元，所以D不正确.故选：AB.【点睛】本题主要考查了统计图表的应用，以及图表分析和数据分析能力，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11. 若且，则( )A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】由且，分析可得，举反例可判断A、D；利用对数的运算性质可判断B；利用分析法可判断C.【详解】由且，可得，对于A，由题意的范围不确定，当时，则，故A不正确；对于B，故B正确；对于C，只需证明，需证，需证，需证 ，由，显然成立，故C正确；对于D，当，时，则

11、，故D不正确故选：BC【点睛】本题考查了基本不等式、对数的运算以及性质、分析法证明不等式，属于基础题.12. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是( )A. 的图象关于直线对称B. 的一个周期是C. 的最大值为2D. 是区间上的增函数【答案】ABD【解析】【分析】利用以及诱导公式即可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.【详解】由，对于A，故A正确；对于B，故B正确；对于C，所以的最大值为，当时，取得最大值，所以最大值为，故C不正确；对于D，在区间上增函数，且，所以在区间上是增函数；在区间上是减函数，且，所以在区间上是增函数，故D正确；故选：ABD【点

12、睛】本题考查了正弦函数、余弦函数的性质、诱导公式，掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_.【答案】【解析】【分析】结合圆锥的立体图和平面展开图先求出圆锥底面半径和高，再联立体积公式即可求解【详解】可设圆锥底面半径为，则圆锥底面圆周长为，因为圆锥侧面展开图为半圆面，由知，由几何关系可知圆锥的高，故圆锥体积为故答案为：【点睛】本题考查圆锥体积的求解，能熟练对圆锥立体图和展开图进行有效转化是解题关键，属于中档题14. 展开式中含项的系数为_.【答案】-26【解析】【分析】根据二项式展

13、开式的通项公式，计算即可得出答案.【详解】，的展开式中第项为，展开式中含项系数为.故答案为：-26.【点睛】本题考查二项式展开式中某项的系数.属于基础题.熟练掌握二项式展开式的通项公式是解本题的基础.15. 设函数在区间上最小值和最大值分别为和，则_.【答案】【解析】【分析】计算出当时，可得出函数在区间上的图象关于点对称，由此可求得的值.【详解】当时，所以，函数在区间上的图象关于点对称，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的对称性求解函数最值之和，考查计算能力，属于中等题.16. 双曲线：的左焦点为，过作轴垂线交于点，过作与的一条渐近线平行的直线交于点，且，在轴同侧，若，则的离心率为_

14、.【答案】【解析】【分析】由题意不妨设在第二象限，设双曲线的半焦距为，写出，以及直线的方程，将直线方程与双曲线联立，求出点，从而可得，整理即可求解.【详解】由题意不妨设在第二象限，则图形如下： 设双曲线的半焦距为，则，则直线的方程为，可得，解得，所以，直线的斜率为，结合 ，将上面的方程整理可得，即，双曲线的离心率为.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了考生的基本运算求解能力，属于基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在，.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的数列存在，求数列的通项公式；若问题中的数列不存在，

15、请说明理由.问题：是否存在等差数列，它的前项和为，公差，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析.【解析】【分析】选条件，先证明构成公差为的等差数列，再利用等差数列求和公式求得，进而可得结果；选条件，利用裂项相消法求得，可得公差的值，进而可得结果；选条件，原式化为，由，代入得，进而可得结果.【详解】方案一：选条件.，构成公差为的等差数列.，又，.因此，选条件时问题中的数列存在，此时.方案二：选条件.，即.代入得，则.，此时不符合条件.因此，选条件时问题中的数列不存在.方案三：选条件.，由，代入得或(舍)，因此，选条件时问题中的数列存在，此时.【点睛】本题主要考查等

16、差数列的通项公式、求和公式，考查了等差数列的性质以及裂项相消法的应用，同时考查了计算能力，属于中档题.18. 在中，的角平分线交于点，.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)设，根据，结合三角形面积公式，列出方程，即可求解；(2)由(1)和倍角公式，求得，结合面积公式，即可求解.【详解】(1)由题意，在中，的角平分线交于点，设，可得面积，所以，即，又，所以，即.(2)由(1)知，则，又由，所以，可得，所以面积为.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，以及三角恒等变换的应用，其中解答熟记三角形的面积公式和三角函数的基本关系式和倍角公式，准确运算是解答的关键，着

17、重考查运算能力.19. 如图，三棱柱中，平面，.(1)证明：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)要证线线垂直，先证线面垂直，连接，在中利用余弦定理，可得，从而得到面，即可证明.(2)建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【详解】(1)证明：连接，在中，即，于是，又面，面，而，面，而面，.(2)解：如图，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设为平面的法向量，为平面的法向量，则，由得，令，则，由得，令，则，二面角的平面角的余弦值为.故所求二面角的余弦值为：【点晴】本题考查空间线线位置关系

18、的证明，以及求二面角的余弦值，属于中档题.20. 有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三只小球逐个随机地放入四个盒子中，每只球的放置相互独立.(1)求三只小球恰在同一个盒子中的概率；(2)求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录所有至少有一只球的盒子，以表示这些盒子编号的最小值，求.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】【分析】(1)三只小球逐个随机地放入四个盒子中，每个球都有四种放法，共有种放法，三只小球在同一个盒子里,共有4种放法,即可得出答案.(2)先分别求出三个盒子中不含4号盒子和含4号盒子事件的概率，这两个事件独立，求和即

19、可得出概率.(3)可能取值为，再分别求出，即可易得出答案。【详解】(1)记“三只小球恰在同一个盒子”为事件，则.(2)记“三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同”为事件.其中，三个盒子中不含4号盒子为事件，含4号盒子为事件，则，.事件，互斥，.(3)可能取值为1，2，3，4.，.【点睛】本题主要考查古典概型和数学期望的相关知识点，属于中档题.21. 椭圆：的离心率，长轴端点和短轴端点的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，.设为坐标原点，直线，的斜率分别为，.问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说

20、明理由.【答案】(1)；(2)存在，.【解析】【分析】(1)由已知条件列出关于的方程组，解之可得椭圆标准方程；(2)由题意直线，斜率存在且均不为0，设直线方程为，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，代入，同理用代替，代替，得，由两者相等可求得【详解】(1)设椭圆焦距为，由，解得，.椭圆的标准方程为.(2)由题意直线，斜率存在且均不为0，设直线方程为，由得，.，.又，从而代入得.又，以替代，以替代，同理可得，对恒成立，解得或(舍)，经检验，此时，因此存在.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆相交问题中常常采用设而不求的思想方法本题考查了学生的运算求

21、解能力，逻辑推理能力属于中档题22. 已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，证明恰有两个极值点和，并求的值.【答案】(1)；(2)证明见解析，.【解析】【分析】(1)求得导数，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；(2)求得，求得，令，得到在和上单调递增，进而求得函数的单调性与极值，进而得到答案.【详解】(1)由题意，函数，可得，则，且，所以切线方程为，整理得：，所以曲线在点处的切线方程.(2)由，可得，令，即，又由和在和上单调递增，可得在和上单调递增，因为，所以存在唯一，使，当时，可得，单调递增.当时，可得，单调递减，又，所以存在唯一，使，同理，当时，可得，单调递减，当时，可得，单调递增，所以恰有两个极值点和，因为当时，则，又由且，所以，所以.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数在某点处的切线方程，以及导数在研究函数的性质中的综合应用，其中解答中熟记导数的几何意义，以及熟练应用导数求解函数的单调区间和极值是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.