2020-2021学年湖南省益阳市某校高一（下）期末考试数学试卷.docx

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1、2020-2021学年湖南省益阳市某校高一（下）期末考试数学试卷一、选择题1. 复数z=2+3i在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知集合A=1,2,3,4,5，B=x|3x3 ，则AB=() A.1,2B.1,2,3C.x|x3D.x|x33. 已知a，b表示平面内的两条直线，表示另一个平面，则“a/且b/”是“/”的() A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件4. 从1，2，3，4中任取两个不同的数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为() A.12B.14C.16D.1125. 某校高一年级15个班

2、参加朗诵比赛的得分如下：91 89 90 92 94 87 93 96 91 85 89 93 88 98 93，则这组数据的 60%分位数、 90%分位数分别为() A.92，96B.93，96C.92.5，95D.92.5，966. 已知a=log23，b=log47，c=tan38，则a，b，c的大小关系式为() A.abcB.cabC.cbaD.bca7. 在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2,3sinAcosA=1则ABC 面积的最大值为（） A.3B.1C.2D.238. 在正三棱锥PABC中， AB=6 ，二面角 PBCA的大小为 60，则这个三棱锥外接

3、球的表面积为（） A.28B.36C.56D.49二、多选题 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 设复数z=a+i2iaR ，z的共轭复数为z，则以下说法正确的是()A.当a=0时，zz=15B.复数z不可能为纯虚数C.当a=0时，z的虚部为25iD.若z为实数，则a的值只能为2 如图，在梯形ABCD中AB/DC，|AB|=2|DC|，AC与BD相交于点O，下列结论正确的是() A.AD=AC=12ABB.AB+BD+DC+CA=0C.|OA+2OC|=0D.OA=23CD+13CB 如图

4、，四棱锥PABCD的底面为矩形，PD底面ABCD， AD=1，PD=AB=2，点E是PB的中点，过A，D，E三点的平面与平面PBC的交线为l，则( ) A.l/平面PADB.AE/平面PCDC.直线PA与l所成角的余弦值为55D.平面截四棱锥PABCD所得的上，下两部分几何体的体积之比为35 我们定义两个函数： ()=1cos，()=1sin,则下列说法正确的是（） A.(20216)=32B. 的最大值为3+222C.关于的方程()()=32有解D.将函数q的图像向左平移2个单位，可得到函数|的图像三、填空题 已知某圆锥的底面半径为1，母线长为10 ，则这个圆锥的体积为_. 已知平面向量a，

5、b的夹角为30，|a|=3，|b|=5，则a在 b上的投影向量为_(用含有向量b的式子来表示) 在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a=2，b=7，B=60，则c=_ 夏天来了，李老师准备到桃江正大家电购买两台一样的空调，为了确定采用何种保修方案，李老师调查了100台这种空调在两年内的维修次数，统计如下表所示：维修次数0123空调台数20402020我们用维修次数的频率近似代替概率，并且每台空调是否需要维修相互独立，则李老师购买的两台空调在两年内总共的维修次数超过3次的概率为_.四、解答题 已知向量a=1,1,b=2,t2. (1)若a与b共线，求实数t的值； (2)若t=3，

6、且a2b与a垂直，求实数的值 已知角的终边与圆心在原点，半径为1的圆在第二象限交于点 Pm,n，且n2m2=725 (1)求cos2的值； (2)求tan的值 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40,50),50,60),80,90),90,100 (1)求频率分布图中a的值； (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率； (3)从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在50,60)的概率 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bc

7、osC+ccosB=2b. (1)求ab的值； (2)若c=6,cosC=34，求a的值以及 ABC 的面积S 如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，以AE为折痕，把DAE折起为DAE的位置，且平面DAE平面ABCE 1求证：ADBE； 2在棱DE上是否存在一点P，使得DB/平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由 已向量a=sinx,12sin2x b=cosx,32，函数fx=ab (1)求fx的解析式以及最小正周期； (2)当x4,4时，关于x的不等式f2x+mfx+m0恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数gx=fxp在区间0,nnN*上恰好

8、有2023个零点，求p的值和对应的n的值参考答案与试题解析2020-2021学年湖南省益阳市某校高一（下）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】根据复数的几何意义即可得到结论【解答】解：复数z=2+3i在复平面内对应的点的坐标(2,3)，位于第二象限，故选B2.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】直接进行交集的运算即可【解答】解： A=1,2,3,4,5，B=x|3xlog22=1， a1， log47log44=1， b1，又 ab=log23log47=2log23log27=log29log27=log79log77=1， ab， 0tan

9、38tan45=1， 0c1， cba故选C7.【答案】A【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：ABC中，由3sinAcosA=1，得32sinA12cosA=12，所以sin(A6)=12；又A(0,)，所以A6(6,56)，所以A6=6，解得A=3；又a2，由余弦定理得，a2b2+c22bccosA，即4b2+c22bccos3；所以42bcbcbc，所以bc4，当且仅当bc时“”成立；所以ABC面积的最大值为S=12bcsinA12432=3故选A.8.【答案】D【考点】球的表面积和体积球内接多面体棱锥的结构特征二面角的平面角及求法【解析】过点P作PH平面ABC于H，可

10、得PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得PAH=60由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，连接OA，可得POA是底角等于30的等腰三角形，从而得到外接球的半径R=OA，再用球的表面积公式可得该三棱锥外接球的表面积【解答】解：过点P作PH平面ABC于H，则AH是PA在平面ABC内的射影， PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得PAH=60， RtPAH中，AH=PAcos60=3，PH=PAsin60=33，设三棱锥外接球的球心为O， PA=PB=PC， P在平面ABC内的射影H是ABC的外心，由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC， POA中，OP=OA， OAP=

11、OPA=30，可得PA=3OA=6， 三棱锥外接球的半径R=OA=23，该三棱锥外接球的表面积为S=4R2=412=48故选D二、多选题【答案】A,D【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：AC，当a=0时，z=i2i=i(2+i)(2i)(2+i)=i(2+i)22i2=15+25i，z的虚部为25，z=1525i，zz=(15+25i)(1525i)=15，故A正确，C错误；BD，z=a+i2i=(a+i)(2+i)(2i)(2+i)=(2a1)+(a+2)i22i2=2a15+a+25i，当2a15=0，即

12、a=12时，复数z为纯虚数，若z为实数，则a+25=0，a=2，故C错误，D正确故选AD【答案】B,C【考点】向量的线性运算性质及几何意义向量的模【解析】直接利用向量的线性运算的应用和向量的模的应用求出结果【解答】解：在梯形ABCD中，AB/CD，|AB|=2|CD|，A，ADAC=CD=12BA，故A错误；B，利用向量的线性运算AB+BC+CD+DA=0，故B正确；C，由于DOAO=12，所以OA+2OD=0，故|OA+2OD|=|0|=0，故C正确；D，OA=23DA=23DC+CA=23DC+DB+12DC=DC+23DB，故D错误故选BC【答案】A,C,D【考点】直线与平面平行的判定棱

13、锥的结构特征棱柱、棱锥、棱台的体积用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】根据线面平行的判定定理可知A正确，B错误；以AD为x轴，CD为y轴，PD为z轴建立空间之间坐标系，求出各点坐标，根据cos=PAlPAl可知C正确；求出VPABCD，V下部分，得到V上部分，根据V上部分V下部分=1256=35可知D正确.【解答】解：因为PD底面ABCD，所以PDAD，又ADDC，PDDC=D，所以AD平面PDC，因为AD平面ADE故平面ADE平面PDC，作EHPC，连接DH，如图，所以平面ADHE即为平面，EH即为直线l，因为AD平面PDC，所以ADPC，又EHPC，AD平面ADHE，EH平面ADHE，所

14、以AD/l，因为AD平面PAD，l不在平面PAD内，所以l/平面PAD，故A正确；又平面ADE平面PCD=DH，AE与DH不平行，所以无法证明AE/平面PCD，故B错误；因为ADDC，ADPD，PDCD，建立空如图所示的空间直角坐标系，如图，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,2)，E(12,1,1)，H(0,1,1)，所以PA=(1,0,2)，l=(12,0,0)，所以cos=|PAl|PA|l|=55，故C正确；因为VPABCD=12213=43，V下部分=12113+12221213=56，所以V上部分=4356=12，所以V上部分V下部

15、分=1256=35，故D正确.故选ACD.【答案】B,D【考点】三角函数的化简求值三角函数的最值同角三角函数间的基本关系【解析】A，(20216)=1cos20216， cos20216=cos(336+56)=cos56=32， (20216)=1+32，故A错误；B，令f=1cos1sin，f=1cos+sin+sincos，f=1cos+sin+cos+sin212， f=cos+sin22cos+sin+12，令t=cos+sin=2sin+4，则t2,2， f可化为mt=t22t+12，t2,2， mt=12t12， mt的图象为开口向上，对称轴方程为t=1的抛物线 m2=12212

16、=3222，m2=12212=3+222，即mt在t=2时取得最大值3+222，即ftmax=3+222，故B正确；Cf=()()=1cos1+sin，f=sincos=2sin4， f2,2， 322， 不存在使得f=32，故C错误；D，依题意可得f()=()=1sin，g=()=1cos，将f的图象向左平移2个单位后得到函数()的图像，故D正确【解答】解：A，(20216)=1cos20216， cos20216=cos(336+56)=cos56=32， (20216)=1+32，故A错误；B，令f=1cos1sin，f=1cos+sin+sincos，f=1cos+sin+cos+si

17、n212， f=cos+sin22cos+sin+12，令t=cos+sin=2sin+4，则t2,2， f可化为mt=t22t+12，t2,2， mt=12t12， mt的图象为开口向上，对称轴方程为t=1的抛物线 m2=12212=3222，m2=12212=3+222，即mt在t=2时取得最大值3+222，即ftmax=3+222，故B正确；Cf=()()=1cos1+sin，f=sincos=2sin4， f2,2， 322， 不存在使得f=32，故C错误；D，依题意可得f()=()=1sin，g=()=1cos，将f的图象向左平移2个单位后得到函数()的图像，故D正确故选BD三、填空

18、题【答案】【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由圆锥的底面半径为1，母线长为10，根据勾股定理求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式可得结果【解答】解：因为圆锥的底面半径为1，母线长为10，所以，由勾股定理可得h=(10)212=3体积V=13Sh=133=，故答案为：【答案】310b【考点】向量的投影【解析】根据投影向量的定义进行求解即可【解答】解：因为向量a，b夹角为30，|a|=3，|b|=5，所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cosa,b|b|b=3325=310b，故答案为：310b【答案】3【考点】正弦定理余弦定理【解析】利用余弦定理列出关系式，将a，

19、b及cosB的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值【解答】解： a=2，b=7，B=60， 由余弦定理b2=a2+c22accosB，即：7=4+c22c，即(c3)(c+1)=0，解得：c=3或c=1（舍去），则c=3故答案为：3【答案】0.32【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差概率的应用【解析】根据100台这种空调质保期内两年内维修次数的统计表，结合独立事件的概率计算公式，即可求解【解答】解：由题意，根据100台这种空调质保期内两年内维修次数的统计表，可得两台空调在质保期的两年内维修次数超过3次的概率为：C311515+C2131012+C31310

20、15+C323102+331152=0.32.故答案为：0.32.四、解答题【答案】解：(1) a与b共线 1t212=0解t=2.(2) t=3， b=(2,3)， a2b=(,)(4,6)=(+4，6）, a2b与a垂直， a2ba=0， +4)+(+6)=2+10=0,=5.【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】解：(1) a与b共线 1t212=0解t=2.(2) t=3， b=(2,3)， a2b=(,)(4,6)=(+4，6）, a2b与a垂直， a2ba=0， +4)+(+6)=2+10=

21、0,=5.【答案】解：(1)由题可知：sin=n1=n,cos=m1=m n2m2=sin2cos2=cos2=725 cos2=725 .(2) cos2=cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2=725解得：tan2=916 角为第二象限角， tan0， tan=34.【考点】二倍角的余弦公式三角函数的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可知：sin=n1=n,cos=m1=m n2m2=sin2cos2=cos2=725 cos2=725.(2) cos2=cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2=725解得：tan2=916 角为第二象

22、限角， tan0， tan=34.【答案】解：(1)因为(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1，所以a=0.006(2)由频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)10=0.4所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4(3)受访职工中评分在50,60)的有：500.00610=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有：500.00410=2（人），记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是=(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)，(A1,B1)，(A

23、1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)又因为所抽取2人的评分都在50,60)的结果有3种，故所求的概率为P=310【考点】频率分布直方图频数与频率用频率估计概率列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】()利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；()对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；()求出评分在40,60的受访职工和评分都在40,50的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答【解答】解：(1)因为(0.004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1，所以a=0

24、.006(2)由频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)10=0.4所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4(3)受访职工中评分在50,60)的有：500.00610=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工中评分在40,50)的有：500.00410=2（人），记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是=(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)又因为所抽取2人的评分都在50,60)的结

25、果有3种，故所求的概率为P=310【答案】解：(1)根据bcosC+ccosB=2b以及正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinB sinB+C=sinA=2sinB， a=2b， ab=2.(2)cosC=a2+b2c22ab=5b2364b2=34，解得b2=18,b=32， a=62，另外sinC=74, S=12absinC=12623274=972.【考点】正弦定理余弦定理三角形求面积【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据bcosC+ccosB=2b以及正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinB sinB+C=sinA=2sinB， a=2b， a

26、b=2.(2)cosC=a2+b2c22ab=5b2364b2=34，解得b2=18,b=32， a=62，另外sinC=74, S=12absinC=12623274=972.【答案】1证明：在长方形ABCD中，DAE和CBE为等腰直角三角形， DEA=CEB=45， AEB=90，即BEAE， 平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCE=AE， BE平面DAE，AD平面DAE， ADBE.2解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，PA，PC，若DB/平面PAC， DB平面DBE，平面DBE平面PAC=PQ， DB/PQ， EPPD=EQQB， 在梯形ABCE中，EQQB=ECAB=1

27、2， EPPD=EQQB=12，即EP=13ED， 在棱DE上存在一点P，且EP=13ED，使得DB/平面PAC.【考点】两条直线垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】1证明：在长方形ABCD中，DAE和CBE为等腰直角三角形， DEA=CEB=45， AEB=90，即BEAE， 平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCE=AE， BE平面DAE，AD平面DAE， ADBE.2解：如图，连接AC交BE于Q，连接PQ，PA，PC，若DB/平面PAC， DB平面DBE，平面DBE平面PAC=PQ， DB/PQ， EPPD=EQQB， 在梯形ABCE中，EQQB=ECAB=

28、12， EPPD=EQQB=12，即EP=13ED， 在棱DE上存在一点P，且EP=13ED，使得DB/平面PAC.【答案】解：(1) fx=ab=sinxcosx+3212sin2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+3，最小正周期T=；(2)当x4,4时，2x+36,56， fx12,1， fx+112,2，由f2x+mfx+m0得mf2xfx+1，设fx+1=t12t2，则mt12t恒成立，t22t+1t=t+1t+212，当t=2或12时取到最小值，所以m的取值范围是（,12.(3)gx=sin2x+3p，令gx=0得，sin2x+3=p因此，问题可转化为fx的图像与直线y=

29、p图像交点的个数.（i）若p=1或p=1，每个周期有1个交点，则需要2023个周期此时n=2023（ii）若p=32，每个周期有两个交点，x2023位于从0开始第1011个周期的末端此时n=1011（iii）若p1,3232,1，在0,n交点的个数必为偶数，不合题意综上：p=1n=2023或p=32n=1011【考点】平面向量数量积的运算三角函数中的恒等变换应用正弦函数的定义域和值域函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)fx=ab=sinxcosx+3212sin2x=12sin2x+32cos2x=sin2x+3，最小正周期T=；(2)当x4,4时，2x+36,56， fx12,1

30、， fx+112,2，由f2x+mfx+m0得mf2xfx+1，设fx+1=t12t2，则mt12t恒成立，t22t+1t=t+1t+212，当t=2或12时取到最小值，所以m的取值范围是（,12.(3)gx=sin2x+3p，令gx=0得，因此，问题可转化为fx的图像与直线y=p图像交点的个数.（i）若p=1或p=1，每个周期有1个交点，则需要2023个周期此时n=2023（ii）若p=32，每个周期有两个交点，x2023位于从0开始第1011个周期的末端此时n=1011（iii）若p1,3232,1，在0,n交点的个数必为偶数，不合题意综上：p=1n=2023或p=32n=1011第17页 共20页 第18页 共20页