中考初中数学基础巩固复习专题（十） 圆.docx

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1、中考初中数学基础巩固复习专题(十) 圆【知识要点】 知识点1：知识点之间的关系知识点2：圆的有关性质和计算弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半圆内接四边形的性质：圆的内接四边形对角互补，并且任何一

2、个外角等于它的内对角知识点3：点与圆的位置关系设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内过不在同一直线上的三点有且只有一个圆 一个三角形有且只有一个外接圆三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等知识点4：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交切线的性质：与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线三角形

3、的内心是三角形三条内角平分线的交点三角形的内心到三角形三边的距离相等切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角知识点5：圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含 设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴由对称性知：两圆相切，连心线经过切点两圆相交，连心线垂直平分公共弦两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线两个圆在公切线同旁时，这样的公切线

4、叫做外公切线两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线公切线上两个切点的距离叫做公切线的长 知识点6：与圆有关的计算弧长公式： 扇形面积公式：（其中为圆心角的度数，为半径）圆柱的侧面展开图是矩形圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体圆柱的侧面积底面周长高 圆柱的全面积侧面积2底面积圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体圆锥的侧面积底面周长母线；圆锥的全面积侧面积底面积【复习点拨】（1）掌握圆的有关概念和计算知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性通过图形直观识别

5、圆的弦、弧、圆心角等基本元素利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念掌握圆内接四边形的性质（2）点与圆的位置关系能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图（3）直线与圆的位置关系能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系了解切线的概念能运用切线的性质进行简单计算和说理掌握切线的识别方法了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念能过圆上一点画圆的

6、切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算（4）圆与圆的位置关系 了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（5）圆中的计算问题掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用了解圆锥的高、母线等概念结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积【典例解析】例题1：（2017山东枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交

7、点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A2rBr3Cr5D5r【考点】M8：点与圆的位置关系；KQ：勾股定理【分析】利用勾股定理求出各格点到点A的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论【解答】解：给各点标上字母，如图所示AB=2，AC=AD=，AE=3，AF=，AG=AM=AN=5，r3时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内故选B例题2：如图，OA、OC是O的半径，点B在O上，连接AB、BC，若ABC=40，则AOC=80度【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：ABC与AOC是同弧所对的圆

8、周角与圆心角，ABC=40，AOC=2ABC=80故答案为：80【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键例题3：（2017浙江衢州）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD作BECD于点E，交半圆O于点F已知CE=12，BE=9（1）求证：CODCBE（2）求半圆O的半径r的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质【分析】（1）由切线的性质和垂直的定义得出E=90=CDO，再由C=C，得出CODCBE（2）由勾股定理求出BC=15，由相似三角形的性质得出比例

9、式，即可得出答案【解答】（1）证明：CD切半圆O于点D，CDOD，CDO=90，BECD，E=90=CDO，又C=C，CODCBE（2）解：在RtBEC中，CE=12，BE=9，BC=15，CODCBE，即，解得：r=例题4：（2017山东枣庄）如图，在ABCD中，AB为O的直径，O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，C=60，则的长为【考点】MC：切线的性质；L5：平行四边形的性质；MN：弧长的计算【分析】先连接OE、OF，再求出圆心角EOF的度数，然后根据弧长公式即可求出的长【解答】解：如图连接OE、OF，CD是O的切线，OECD，OED=90，四边形ABCD是平行四边形，

10、C=60，A=C=60，D=120，OA=OF，A=OFA=60，DFO=120，EOF=360DDFODEO=30，的长=故答案为：例题5：（2017浙江衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是O的直径，CD、EF是O的弦，且ABCDEF，AB=10，CD=6，EF=8则图中阴影部分的面积是（）AB10C24+4D24+5【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明SOCD=SACD，SOEF=SAEF，则S阴影=S扇形OCD+S

11、扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解【解答】解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DGCG是圆的直径，CDG=90，则DG=8，又EF=8，DG=EF，=，S扇形ODG=S扇形OEF，ABCDEF，SOCD=SACD，SOEF=SAEF，S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=52=故选A例题6：（2017山东枣庄）如图，在ABC中，C=90，BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F（1）试判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积

12、（结果保留）【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接OD，证明ODAC，即可证得ODB=90，从而证得BC是圆的切线；（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积【解答】解：（1）BC与O相切证明：连接ODAD是BAC的平分线，BAD=CAD又OD=OA，OAD=ODACAD=ODAODACODB=C=90，即ODBC又BC过半径OD的外端点D，BC与O相切（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，根据勾

13、股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，解得：x=2，即OD=OF=2，OB=2+2=4，RtODB中，OD=OB，B=30，DOB=60，S扇形AOB=，则阴影部分的面积为SODBS扇形DOF=22=2故阴影部分的面积为2例题7：（2017江西）如图1，O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），ABC=30，过点P作PDOP交O于点D（1）如图2，当PDAB时，求PD的长；（2）如图3，当=时，延长AB至点E，使BE=AB，连接DE求证：DE是O的切线；求PC的长【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得

14、出OP，PD的长；（2）首先得出OBD是等边三角形，进而得出ODE=OFB=90，求出答案即可；首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案【解答】解：（1）如图2，连接OD，OPPD，PDAB，POB=90，O的直径AB=12，OB=OD=6，在RtPOB中，ABC=30，OP=OBtan30=6=2，在RtPOD中，PD=2；（2）证明：如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，=，DBC=ABC=30，ABD=60，OB=OD，OBD是等边三角形，ODFB，BE=AB，OB=BE，BFED，ODE=OFB=90，DE是O的切线；由知，ODBC，CF=FB=OBco

15、s30=6=3，在RtPOD中，OF=DF，PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），CP=CFPF=33例题8：（2017湖南株洲）如图示AB为O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D求证：CEBF； 若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OCAB）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理【分析】连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出F=AEB，由圆周角定理得出AEC=BEC，证出AEC=F，即可得出结论；证明ADECBE，得出，证明

16、CBECDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OCAB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG=2，即可得出BCD的面积【解答】证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：BE=EF，F=EBF；AEB=EBF+F，F=AEB，C是的中点，AEC=BEC，AEB=AEC+BEC，AEC=AEB，AEC=F，CEBF；解：DAE=DCB，AED=CEB，ADECBE，即，CBD=CEB，BCD=ECB，CBECDB，即，CB=2，AD=6，AB=8，点C为劣弧AB的中点，OCAB，AG=BG=AB=4，CG=2，BCD的面积=BDCG=22=2【达标检测】一、选择题1

17、. （2017张家界）如图，在O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若ACO=30，则BOC的度数是（）A30B45C55D60【考点】M5：圆周角定理【分析】由等腰三角形的性质得出A=ACO=30，再由圆周角定理即可得出答案【解答】解：OA=OC，A=ACO=30，AB是O的直径，BOC=2A=230=60故选D2. (2017湖北宜昌)如图，四边形ABCD内接O，AC平分BAD，则下列结论正确的是（）AAB=ADBBC=CDCDBCA=DCA【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可【解答】解：A、ACB与ACD的大小关系不确定，AB与AD不

18、一定相等，故本选项错误；B、AC平分BAD，BAC=DAC，BC=CD，故本选项正确；C、ACB与ACD的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；D、BCA与DCA的大小关系不确定，故本选项错误故选B3. （2017青海西宁）如图，AB是O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，APC=30，则CD的长为（）AB2C2D8【考点】M2：垂径定理；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理【分析】作OHCD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OHCD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OAAP=2，接着在RtOPH中根据含30度的直角三角形的性质计

19、算出OH=OP=1，然后在RtOHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2【解答】解：作OHCD于H，连结OC，如图，OHCD，HC=HD，AP=2，BP=6，AB=8，OA=4，OP=OAAP=2，在RtOPH中，OPH=30，POH=30，OH=OP=1，在RtOHC中，OC=4，OH=1，CH=，CD=2CH=2故选C4. (2017湖北咸宁)如图，O的半径为3，四边形ABCD内接于O，连接OB、OD，若BOD=BCD，则的长为（）ABC2D3【考点】MN：弧长的计算；M6：圆内接四边形的性质【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出A=60，得出BOD=120，再由弧长公式

20、即可得出答案【解答】解：四边形ABCD内接于O，BCD+A=180，BOD=2A，BOD=BCD，2A+A=180，解得：A=60，BOD=120，的长=2；故选：C5. （2017甘肃天水）如图，AB是圆O的直径，弦CDAB，BCD=30，CD=4，则S阴影=（）A2BCD【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知DOE=60，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，AB是O的直径，弦CDAB，CE=E

21、D=2，又BCD=30，DOE=2BCD=60，ODE=30，OE=DEcot60=2=2，OD=2OE=4，S阴影=S扇形ODBSDOE+SBEC=OEDE+BECE=2+2=故选B二、填空题：6. （2017浙江义乌）如图，一块含45角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在O上，边AB，AC分别与O交于点D，E，则DOE的度数为90【考点】M5：圆周角定理【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【解答】解：A=45，DOE=2A=90故答案为：907. （2017甘肃张掖）如图，ABC内接于O，若OAB=32，则C=58【考点】M5：圆周角定理【分析】由题意可知OAB是等腰三角形，利用等腰三角形

22、的性质求出AOB，再利用圆周角定理确定C【解答】解：如图，连接OB，OA=OB，AOB是等腰三角形，OAB=OBA，OAB=32，OAB=OAB=32，AOB=116，C=58故答案为588. （2017甘肃张掖）如图，在ABC中，ACB=90，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于（结果保留）【考点】MN：弧长的计算；KO：含30度角的直角三角形【分析】先根据ACB=90，AC=1，AB=2，得到ABC=30，进而得出A=60，再根据AC=1，即可得到弧CD的长【解答】解：ACB=90，AC=1，AB=2，ABC=30，A=60，又AC=1，弧

23、CD的长为=，故答案为：9. （2017湖南岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率的近似值，设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d，如图所示，当n=6时，=3，那么当n=12时，=3.10（结果精确到0.01，参考数据：sin15=cos750.259）【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为30的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得L=6.207r，d=2r，进而得到=3.10【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为

24、30，即O=30，ABO=A=75，作BCAO于点C，则ABC=15，AO=BO=r，BC=r，OC=r，AC=（1）r，RtABC中，cosA=，即0.259=，AB0.517r，L=120.517r=6.207r，又d=2r，=3.10，故答案为：3.10【点评】本题主要考查了正多边形和圆以及解直角三角形的运用，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆10. （2017湖南岳阳）如图，O为等腰ABC的外接圆，直径AB=12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，O在点P处切线PD交B

25、Q于点D，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）若PAB=30，则弧的长为；若PDBC，则AP平分CAB；若PB=BD，则PD=6；无论点P在弧上的位置如何变化，CPCQ为定值【分析】根据POB=60，OB=6，即可求得弧的长；根据切线的性质以及垂径定理，即可得到=，据此可得AP平分CAB；根据BP=BO=PO=6，可得BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；判定ACPQCA，即可得到=，即CPCQ=CA2，据此可得CPCQ为定值【解答】解：如图，连接OP，AO=OP，PAB=30，POB=60，AB=12，OB=6，弧的长为=2，故错误；PD是O的切线，OPPD，PDBC，OPBC，=

26、，PAC=PAB，AP平分CAB，故正确；若PB=BD，则BPD=BDP，OPPD，BPD+BPO=BDP+BOP，BOP=BPO，BP=BO=PO=6，即BOP是等边三角形，PD=OP=6，故正确；AC=BC，BAC=ABC，又ABC=APC，APC=BAC，又ACP=QCA，ACPQCA，=，即CPCQ=CA2（定值），故正确；故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧三、解答题11.12.13. （2017甘肃张掖）如图，AN是M的直径，N

27、Bx轴，AB交M于点C（1）若点A（0，6），N（0，2），ABN=30，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线【考点】MD：切线的判定；D5：坐标与图形性质【分析】（1）在RtABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC只要证明MCD=90即可；【解答】解：（1）A的坐标为（0，6），N（0，2），AN=4，ABN=30，ANB=90，AB=2AN=8，由勾股定理可知：NB=，B（，2）（2）连接MC，NC AN是M的直径，ACN=90，NCB=90，在RtNCB中，D为NB的中点，CD=NB=ND，CND=NCD，MC=MN，MCN=MNC，MNC

28、+CND=90，MCN+NCD=90，即MCCD直线CD是M的切线14. （2017张家界）在等腰ABC中，AC=BC，以BC为直径的O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DFAC，垂足为点F（1）求证：DF是O的切线；（2）分别延长CB，FD，相交于点G，A=60，O的半径为6，求阴影部分的面积【考点】ME：切线的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；MO：扇形面积的计算【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质证出A=ODB，得出ODAC，证出DFOD，即可得出结论；（2）证明OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出BOD=60，求出G=30，由直角三角形的性质得出OG=2OD=26=

29、12，由勾股定理得出DG=6，阴影部分的面积=ODG的面积扇形OBD的面积，即可得出答案【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：AC=BC，OB=OD，ABC=A，ABC=ODB，A=ODB，ODAC，DFAC，DFOD，OD是O的半径，DF是O的切线；（2）解：AC=BC，A=60，ABC是等边三角形，ABC=60，OD=OB，OBD是等边三角形，BOD=60，DFOD，ODG=90，G=30，OG=2OD=26=12，DG=OD=6，阴影部分的面积=ODG的面积扇形OBD的面积=66=18615. （2017甘肃天水）如图，ABD是O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是O外一点且DBC=

30、A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为6，BC=8，求弦BD的长【考点】MD：切线的判定【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OEBD， =，由圆周角定理得出BOE=A，证出OBE+DBC=90，得出OBC=90即可；（2）由勾股定理求出OC，由OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：E是弦BD的中点，BE=DE，OEBD， =，BOE=A，OBE+BOE=90，DBC=A，BOE=DBC，OBE+DBC=90，OBC=90，即BCOB，BC是O的切线；（2）解：OB=6，BC=8，BCOB，OC=10，OBC的面积=OCBE=OBBC，BE=4.8，BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6