矩阵特征值与特征向量的应用.wps

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1、新疆财经大学本科毕业论文 题 目：矩阵特征值与特征向量的应用 学 号：2014102011 学生姓名：热米莱安外尔 院 部：应用数学学院 专 业：金融数学 年 级：2014 级 指导教师 姓名及职称：阿孜古丽伊克木（讲师）完成日期：2018 年 3 月 21 日 摘要矩阵特征值和特征向量的分析一般被当做矩阵理论分析的关键对象与目标。具备良好的积极影响，也就是分析怎样求解矩阵对照的特征值和特征向量具备一定的关键性，也具备明显的现实价值。本文重要内容为：第一章，最先叙述分析背景与相关分析结论，对分析主旨有大致的清楚了解。第二章，本文最先叙述了矩阵特征值与特征向量的概念和有关属性，为此后的求解与使用

2、奠定良好的基础。第三章，叙述了求解矩阵特征值和特征向量的多种求解方式，主要是定义法、列行互逆变换法、行初等变换法等。且利用部分例题使用特征值和特征向量的性质与方式，促使问题更加简便，运算更加高效，是简略复杂问题的重要方式。第四章，本文主要叙述对特征值和特征向量的应用情况，叙述上述两部分在矩阵运算内的使用，在此时我们以矩阵、特征值与特征向量为例全面叙述实例在数学和模型内的应用。本文重点叙述矩阵的特征值与特征向量观念在经济研究、生命科学与环保等部分的现实应用情况。在社会经济发展和环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie）种群模型等众多模型内，矩阵特征值与特征向量也具备关键的影响。使用上述模型开展深

3、入研究，此外得到在动物种群内雌性动物的年龄情况与数目增长情况。关键词:矩阵；特征值与特征向量；应用0AbstractMatrix eigenvalue and eigenvector often used as the main object and the main task of matrix theory.Importance,namely how to solve the matrix corresponding to the eigenvalues and eigenvectors of great necessity also has a strong practical sign

4、ificance.Firstly,a brief definition of the characteristics and properties of the matrix and eigenvectors,and then,in the next chapter describes solving matrix eigenvalue and eigenvector five solving method were defined,Out line reciprocal transformation law,elementary row transformation,elementary c

5、olumn transformation and solving mathematical software.And through some examples using the properties and methods of the eigenvalues and eigenvectors of the problem easier and more convenient on operation,it is an effective way to simplify complex issues related.Finally,this article focuses on the e

6、igenvalues and eigenvectors application inquiry to explain the role of the eigenvalues and eigenvectors of matrix operations,we focus on this matrix,the eigenvalues and eigenvectors an example to illustrate the application of higher instance Algebra teaching role.Keywords：matrix;eigenvalue and eigen

7、vector;application0目 录第 1 章 引言.11.1 研究背景.11.2 研究现状.11.3 本文主要研究内容.2第 2 章 特征值与特征向量的定义及性质.22.1 矩阵特征值与特征向量的定义.22.2 矩阵特征值与特征向量的性质.4第 3 章 矩阵特征值与特征向量的若干求法.53.1 定义法.53.2 行列互逆变换法.63.3 行初等变换法.83.4 列初等变换法.10 第四章 矩阵特征值与特征向量的实际应用.124.1 在数学中的应用.124.2 矩阵和特征值在种群模型中的应用.16结论及展望.22参考文献.23矩阵特征值与特征向量的应用0第 1 章 引言1.1 研究背景

8、矩阵理论是数学乃至科学领域的主要定义，还是解决问题的关键方式，此外也是代数学的重要分析主题。矩阵的特征值和特征向量问题是此类主题的重要内容，还是高等代数学的关键构成方面，其在高等代数与其余部分都具备关键作用。此外特征值和特征向量也使用在高等代数的多个部分，对于此课题的分析可以持续深化我们对高等代数不同领域的全面了解，进而促使我们全面深入的掌握高等代数有关观点。对与之相关的求解方式分析，不只可以加深对高等代数和有关课程的理解程度，此外在理论层面也具备相应的现实价值，可全面用来处理现实问题。目前矩阵逐渐变成单独的数学分支，矩阵特征值和特征向量求解就变得更加关键，求解矩阵特征值和特征向量方式的分析和

9、论述不只出现在数学部分，此外在力学、物理、科技部分都具备非常关键的现实价值。因为矩阵特征值和特征向量的使用相对宽泛，比如特征值与特征向量的特指在矩阵运算内全面使用，比如能够使用特征值法求解二次型最值问题和矩阵高次幂与反求解问题的使用。在例题解答中使用部分特征值和特征向量的性质与方式，能够让问题更直接，运算更简洁，是简略相关繁杂问题的高效方式。因此分析矩阵特征值和特征向量的求解方式非常关键，具备关键的理论和现实价值。1.2 研究现状当前逐渐有大量专家学者对矩阵特征值和特征向量开展全面完善的分析。作者吴江、孟世才、许耿等人在文章浅谈中“特征值与特征向量”的引入中叙述了线性代数内特征值和特征向量的价

10、值和功能.作者郭华、刘小明等人在文章特征值与特征向量在矩阵运算中的作用文章中叙述了矩阵特征值和特征向量的性质，此外提出相关案例表明矩阵特征值和特征向量在矩阵运算内具备的现实影响。此外矩阵特征值和特征向量在结构动力研究时期具备相应的关键影响。矩阵迭代法还是求矩阵特征值和特征向量的重要数值方式，然而选择多种初始向量促使结果也许收敛在各个阶的特征值和特征向量，但是并非全部收敛在第一阶特征值和特征向量，因此专家陈建兵在矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论文章中叙述了初始向量的选择情况，且根据案例表明迭代法在求矩阵特征值和特征向量内的关键影响。此外可知在矩阵阶数高的时候矩阵运算会更加复杂，

11、乃至无法顺利进行，因此专家赵娜、吕剑峰等人在文章特征值问题的 MATLAB 实践 内从现实案例着手，通过MATLAB 程序展现求解特征值问题的具体过程。2018 新疆财经大学本科毕业论文11.3 本文主要研究内容在以上专家分析和论述的前提下，根据部分经典理论，本文叙述了特征值和特征向量相关定义和性质，矩阵特征值和特征向量的全面分析促使此关键工具的应用更为普及与宽泛，在处理问题的时候也具备相应的优势.在上述前提下，对矩阵的特征值和特征向量的求解方式开展全面的叙述。通过矩阵的特征方程求解矩阵特征值进而求解特征向量是目前最普遍的方式。此外也包含列行互逆变换法、矩阵的初等变换法和使用数学工具进行求解。

12、最终，全面叙述矩阵特征值等在现实中的使用。因此本文重点被划分成下面几个方面，首先是引言，叙述分析矩阵特征值和特征向量的现实价值，分析当前各个国家的分析现状和本文的分析重点；其次大致叙述矩阵特征值和特征向量的概念，和线性变换的特征值、特征向量之间的关系，且全面叙述特征值和特征向量的有关特点，对后续求解方式的分析具备相应的帮助。再次是全面叙述矩阵特征值和特征向量的求解方式，此处叙述了使用定义方式求解、使用行列互逆变换法求解、初等变换和用数学软件求解的主要方式。最后，举例部分矩阵特征值和特征向量在高等数学或现实中的使用，且提出在人口模型内的现实使用。第 2 章 特征值与特征向量的定义及性质2.1 矩

13、阵特征值与特征向量的定义众所周知,在有限维线性空间内,选择一组基以后,线性变换就能使用矩阵代表.也就是：矩阵和线性变换属于等价。对线性变换和矩阵的分析都具备关键的现实功能 全面了解特征值和特征向量的概念和性质，可以协助我们开展后续的分析，促使繁杂的问题简洁化。定义 1定义 1 设A是数域P上的一个n阶方阵,若存在一个数P以及一个非零n维列向量nxP，使得 A则称是矩阵A的一个特征值，向量x称为矩阵A关于特征值的特征向量。定义 2定义 2 设A是数域P上线性空间V的一个线性变换,如果对于数域P中一数0，存在一个非零向量，使得0A 则称0是矩阵A的一个特征值,而称为A的属于特征值0的一个特征向量。

14、现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法,设V是数域P上n维线性空间,矩阵特征值与特征向量的应用212,n 是它们的一组基,线性变换在这组基下的矩阵是A。设0是特征值，它的一个特征向量在12,n 下的坐标是nxxx00201,。则由A,这说明特征向量的坐标01020,nxxx满足齐次方程组.,02211202222121101212111nnnnnnnnnnxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxa即.0,0,0022112222012112121110nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa ()由于0,所以它的坐标nxxx00201,不全为零，即齐次线性方程组有非零解。从而，齐

15、次线性方程组()式,有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即01 10220nnxxx我们引入以下定义定义 3定义 3 设A是数域P上一n级矩阵，是一个文字。矩阵AE 的行列式nnnnnnaaaaaaaaaAE212222111211称为A的特征多项式,这是数域P上的一个n次多项式。如果0是线性变换的特征值，那么0一定是矩阵A的特征多项式的一个根;反过来，如果0是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即00EA,那么齐次线性方程组()式就有非零解。这时，如果01020,nxxx是方程组()式的一个非零解,那么非零解向量01 10220nnxxx.满足()式,即0是线性变换的一个特征值，就

16、是属于特征值0的一个特征向量。因此，确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步；2018 新疆财经大学本科毕业论文3（1）在线性空间V中取一组基12,n，写出在这组基下的矩阵A；（2）求出A的特征多项式EA在数域P中全部的根，它们也就是线性变换矩阵 A的全部特征值；（3）把所有得的特征值逐个代入方程组()式，对于每一个特征值,解方程组()式，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基12,n 下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。矩阵A的特征多项式的根大部分时候被叫做A的特征值，其中相关线性方程组()式的解内叫做A的属于此

17、特征值的特征向量。2.2 矩阵特征值与特征向量的性质为了研究矩阵特征值与特征向量的求解方法，我们有必要研究矩阵特征值与特征向量的相关性质：性质 1性质 1 若为A的特征值，且A可逆，则0、则1 为1A 的特征值。证明 设n21为A的特征值，则A=n21，所以0i()1 2in、设A的属于的特征向量为，则iA，即有1A=1所以1为1A的特征值，由于A最多只有n个特征值，所以1为1A的特征值。性质 2性质 2 若为A的特征值，0111)(axaxaxaxfnnnn是多项式。则()f为()f A的特征值。证明 设为A的属于的特征向量，则=A。所以 )(Af=(nnAa+EaAaAann0111)=n

18、nAa+11nnAa+Ea0 =nna+11nna+0a =)(f 矩阵特征值与特征向量的应用4又0所以)(f是)(Af的特征值。性质 3性质 3 n阶矩阵A的每一行元素之和为a，则a一定是A的特征值 证明 设A=nnnnnnaaaaaaaaa212222111211则由题设条件知：nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 111=aaa=a111,所以a是A的特征值。性质 4性质 4 一个矩阵与其伴随矩阵具有相同的特征值。证明 因为 AAA*，所以 A与A具有相同的特征多项式，则它们具有相同的特征值。性质 5性质 5 如果是正交矩阵A的特征值，那么1也是A的特征值。证明 设是A

19、的特征值，那么存在非零向量使得=A用1A作用之后得1=A,又A的特征值一定不为零，所以0，1是1A的特征值。又A是正交矩阵 1AA，所以1为1A的特征值，又A与A相似，A与A有相同的特征根，所以1也是A特征根。第 3 章 矩阵特征值与特征向量的若干求法3.1 定义法利用定义确定矩阵A的特征值和特征向量的方法可以分为以下几步：（1）求出矩阵A特征多项式 AEf的全部特征根；（2）把所求得的特征根nii,2,1逐个代入线性方程组0XAEi，对于每一个特征值，解方程组0XAEi，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量。22018 新疆财经大学本科毕业论文5例

20、1例 1 已知矩阵A110111110求矩阵A的特征值和特征向量。解解 AE =11011111=21所以，由012知A的特征根1,0321。当0时，由0 AX，即123011111011xxx=0 得312xx，32xx。因此，属于特征值0的特征向量为1121 当1时，由0XAE,即321010101111xxx=0 得31xx，02x因此，属于特征值1的特征向量为1012.3.2 行列互逆变换法引理 1.引理 1.A为n阶可对角化矩阵，并且TTnAEDP一系列行列互逆变换，其中，1nD 1TnP 1iiinbb 则12,n 为A的全部特征值，Tii为A的属于i的特征向量。矩阵特征值与特征向

21、量的应用6 矩阵行列互逆变换法的基本步骤：（1）互换ji、两行ijrr，同时互换ij、两列ijrr；（2）第i列乘以非零数ik kr,同时第i行乘irkk11；（3）第i行k倍数加到第j行 iirkr，同时第j列k倍加到第i列iikrr。为了运算方便，约定：（1）ijrkr 表示矩阵第j行k倍加到第i行。（2）ijrkr 表示矩阵第j列k倍加到第i列。例 2 例 2 求矩阵0111101111011110A的特征值与特征向量。解解2143123440111 100011011000101101000102110011010010011100101110000102010011rrrrTrrrr

22、AE 244211001000030011110110001002010011rrrr 2123241/41/41/213/40010000300111103/410001003/2010011rrrrrr1232421/41/41/210003/41/41/41/40300111100101/41/43/41/400011/21/21/21/2rrrrrr.111110111400021002211121102111400021002111010011400121002101010001400131111100010001312130112EA33322321121331r21c2r21rc

23、21crrccrrcc2018 新疆财经大学本科毕业论文710003111010011310010111100031111 故特征值分别为12331,3;特征向量分别为1(3,1,1,1)T，2(1,1,3,1)T，3(1,1,1,1)T，4(1,1,1,1)T 例 3 例 3 求矩阵211031213A的特征值与特征向量。解解31121321211111200031131121213004004100100110010010010001101111rrrrrrrrAE 2333321122122200200120120004004.111 2111011 2011111 2111rrrrrr

24、 所以特征值4,2321,对应特征值43的特征向量1113,对应的特征值221的特征向量1111。3.3 行（列）初等变换法引理 2.引理 2.设A是n阶方阵,且 AEB 一系列初等行变换,其中 B是规范矩阵.若 1iib,则令 0iib,1,2,.in那么方程 0iib的根，即为方程A的特征根。矩阵特征值与特征向量的应用8引理 3.引理 3.设齐次线性方程组0AX，A是n阶方阵，(),R Arn且11111111100100000000n rnrrn rnnnccaaccAaa 一系列初等行变换C为标准上三角矩阵若将C的主对角线上的元素 0 改写为-1，那么这些改写成-1 的元所在的列:12

25、,n r(改写后的列)即为齐次线性方程组0AX 的基础解系。利用以上两个定理我们可以求出矩阵的特征值和特征向量，其一般步骤为:(1)对()AE作初等行变换，化成规范矩阵()B；(2)若()1,iib则令()0,1,2,.iibin那么求方程()0(1,2,)iibin的根，即为方阵A的特征根。设特征根12,(1);ssn (3)求齐次线性方程组()0(1,2,)jBXjs的基础解系，设为12,jjjt 则它们是矩阵A对应于特征值j的特征向量。例 5例 5 已知矩阵110430102A 求矩阵A的特征值和特征向量。解解 2113314(1)110102()430430102110rrrrrrAE

26、 2332(3)2102102038401(2)(1)01(2)(1)00(2)(1)rrrr .由定理 1，求2(2)(1)0 的根，得矩阵A的特征值为1232,1。2018 新疆财经大学本科毕业论文9当2时，100(2)010000B 已是标准上三角形矩阵，有定理 2 得，特征向量1(0,0,1)T。当1时，101(1)012000B，同理，特征向量2(1,2,1)T。有效的运用初等行变换法，能明显减少计算量，避免出错的几率。3.4 列初等变换法 矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具之一。定理定理 3.设齐次线性方程组0m nAX的系数矩阵A的秩数nr,000rEPAQ 的非奇异

27、矩阵n nQ 的后nr列便构成线性方程组的一个基础解系。在运用矩阵特征值与特征向量求解矩阵的特征值时,我们求解特征方程 AEf的全部特征根时，是通过对矩阵AE 做一系列的初等变换化成下三角矩阵 G.由定理 3.3.1 知,当矩阵EAE经过一系列的初等列变换变换成 QG时,求 0G 得的i就是矩阵的特征值,然后将i代入 QG,iG中的 0 列所对应的列就是所对应i的特征向量 iQ。下面阐述利用列初等变换法计算特征值与特征向量的步骤：（1）将EAE经过一系列初等变化变成 QC，其中 C为含的下三角矩阵，Q为E经过初等变换得到的矩阵；（2）令 C主对角线元素之积为零，求出根即为特征值nii,2,1；

28、AA矩阵特征值与特征向量的应用10（3）将求出的nii,2,1代入 QC中为 iiQC，在进行列初等变换，当化为列阶梯形，且当非零列向量个数为时，Q中后的rn个列向量即为 i对应的特征向量。例 4例 4 已知矩阵A110111110求矩阵A的特征值和特征向量。解解 EAE =10001000111011111 01010000111211012 11111010011210012 11111021011011001222 =QG由012知A的特征根1,0321。当0时，00GQ 111110210001011001,特征向量为 2018 新疆财经大学本科毕业论文111121 当1时，11QG=

29、121010110010011001 特征向量为1012。通过以上例题不难看出,利用列初等变换法求解矩阵的特征值与特征向量，计算量相对较少。第四章 矩阵特征值与特征向量的实际应用4.1 在数学中的应用4.1.1 高阶高次幂矩阵的求解高阶高次幂矩阵的求解对于高阶乃至 n 阶的矩阵开展求解，假如使用之前的方式会相对繁杂，因此开始寻找相对直接的方式。在某个 n 阶的矩阵 A 可对角化时，表示原矩阵和其对角阵类似，此时在统计其高次幂矩阵kA时出现简单算法。什么是可对角化，满足下述标准则是：主要是 A 为对称的矩阵，之后矩阵 A 有 n 个不相等的特征值，此外特征值所对照的特征向量线性没有关系，对于所有

30、特征值都有m。满足上述标准就是 A 可对角化，1AP P。对1AP P来说，其中12,nPxxx，它由 A 的 n 个特征向量构成。并且由A 的 n 个特征值构成的对角矩阵为12,ndiag ，有 111111111kkkAP PP PP PP PPP PP PP PPPP 其中12,kkkkndiag，所以121,kkkknAPdiagP。矩阵特征值与特征向量的应用12例 4.1 已知矩阵A122212221，求kA（k 是正整数）解 从题中可以看出，A 是一个对称矩阵，所以可以采用上述的简便算法，通过特征值的解法，可以得出矩阵 A 的特征值为,12315，设特征向量是123,x xx，所以

31、对角阵为,diag 1 15，Pxxx12310101111 0，且矩阵 P的逆为P121111213111，又,P APdiag 11 15，化简后可以看出1AP P，有kkkkkAPP11001012111011010121311 1005111 （4.1）kkkkkkkkkkkkkkkkkk11111121515151152151531515215 （4.2）4.1.2 在线性递推关系的应用在线性递推关系的应用线性递推关系与矩阵之间有着密不可分的联系，特征值与特征向量在其中也有着广泛的应用，接下来就讨论对于一般的线性递推关系中的应用。首先设一个 K 阶的线性数列，且是循环的，满足如下递推

32、关系,nnnkn kxa xa xa xnkk112212 （4.3）其中,ia ik1 2为常数且其中任意ka 0。那么方程1122,112211nnnkn knnnnn kn kxa xa xa xxxxxxx （4.4）经矩阵表示为2018 新疆财经大学本科毕业论文13nkknnnnn kn kxaaaaxxxxxx 12111221100001000010 （4.5）让,nnkknnn knn kn kn kxxaaaaxxxAxx 11211212110000010 （4.6）那么（4.5）式可以写成1n kn kA （4.7）通过递推关系（4.7）式变为2111n kn kn kA

33、A ，1121,Tkkxxxx，所以求nx就变成了求1n k，即求n kA。假设矩阵 A 可转化为对角阵，那么就存在可逆矩阵 P，使得1P AP，则1n kn kAPP，于是1211000100001kkaaaaEA （4.8）在上面行列式的第一列上乘以，加到下一列，以此类推，就得到：kkkkkkkaaaaaaaa21211121111100001000010111kkkkaaa当是矩阵 A 的特征值时，可以得到1REAk，那么齐次线性方程组0EA X的基础解系中只有一个解，所以当矩阵 A 有 k 个特征值12,k 时，分别对应着特征向量为12,kP PP，那么以其作为矩阵的列，所构成的矩阵

34、p 就是可逆矩阵，且1P AP 矩阵特征值与特征向量的应用1412000000nA （4.9）例 4.2 设数列 nx满足如下递推的关系：nnnnxxxxn123224，其中,xxx 123123，求nx的通项。解 由题可得数列是三阶循环的，nnnnnnnnxxxxxxxx123112222，将方程组写成矩阵的形式nnnnnnxxxxxx11223212100010，让A212100010 （4.10）经过递推得nnnnnnnnnnxxxxxA xAxAxxxxx1232312322341 （4.11）又由于,xxx 123123，且EA 0，可得 322121022001 （4.12）特征值

35、为：,123112，再由矩阵的特征方程求解，所得到的特征向量为：,PPP 123114112111 （4.13）令：PPPP123114112111 （4.14）则2018 新疆财经大学本科毕业论文15,PPP 11336100113201 06202002 （4.15）nnnnnnnnnnnnnnnnnPP 33332223111313223123 316212100101 03123 31621260023123 316212代入（3.10）中有：nnnnnnxxxx 33332113123 3162126nnnn 3311131129 1112126263 （4.16）4.2 矩阵和特征

36、值在种群模型中的应用莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位：年），将区间0,L作n等分得n个年龄组1,1,2,iiLLinnn，每个年龄组的长度为Ln设第i个年龄组 1,iiLLnn 的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为ia，存活率（即第i个年龄组中可存活到第1i个年龄组的雌性动物的数目与第i 个年龄组中雌性动物的总数之比）为ib令 010020nxxXx 0X即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。取,1,2,kktL kn设在时刻tk该动物种群的第i个年龄组中雌性动物的数目为,1,2,kix

37、in矩阵特征值与特征向量的应用16令 12kkkknxxXx那么 X k是时刻tk此动物种群内雌性动物的年龄分布向量。非常明显的是，半死时间变动，此动物种群的不同年龄组内雌性动物的数量会出现改变。可知，时刻tk此种群的首个年龄组内雌性动物数目是在时段 1,tktk内不同年龄组内雌性动物生育的雌性幼体的数量汇总，也就是 111111221111 122kkkknnkkknnxxaxaxaa xa xa x tk时刻此动物种群的第 1i 个年龄组内雌性动物的数量是1tk 时刻第i个年龄组内雌性动物的存活量，也就是 111kkkiiiiixxbb x得 11111 12211,1,2,1kkkknn

38、kkiiixa xa xa xxb xin即 11111 122121 11322111kkkknnkkkkkknnnxa xa xa xxb xxb xxbx令莱斯利矩阵 121121000000000nnnaaaabLbb即为 1,1,2,kkXLXk于是2018 新疆财经大学本科毕业论文17 10210210,kkkXLXXLXL XXLXL X因此可知，假如知道初始时刻此动物种群内雌性动物的年龄分布向量 0X，就能统计出tk 时刻此动物种群内雌性动物的年龄分布向量 X k，进而对此动物种群内雌性动物数目进行相应的合理预估与研究。例 4.3例 4.3 假定某动物种群内雌性动物的最长生存时

39、间是 15 年，此外将 5 年为界限把雌性动物划分成三个年龄组0,5,5,10,10,15。根据相关分析数据可知，三个年龄组的雌性动物的生育率主要是 0，4，3，存活率主要是 0.5，0.25，0，初始时刻上述年龄组的雌性动物数量主要是 500，1000，500。尝试使用莱斯利种群模型对此动物种群内雌性动物的年龄划分与数目增长的规律开展研究。解：1231215,3,0,4,3,0.5,0.25.Lnaaabb 05000431000,0.50050000.250XL由（2.6）得 1004350055000.500100025000.250500250XLX 21043550017500.50

40、0250275000.25025062.5XLX 10kkkXLXL X下面求kL由矩阵L的特征多项式 2433310.50()()22400.25EL得L的特征值为12333535,244 由矩阵L可相似对角化。矩阵特征值与特征向量的应用18对132 解方程组 3()02EL X得特征向量1113118对2354，解方程组35()04EL X 得特征向量236 16 5146 535 对3354，解方程组35()04EL X 得特征向量336 16 5146 535 令矩阵 123136 16 536 16 51,146 5146 531353518P 则P可逆，且 1123LPP于是 11

41、23P LP从而2018 新疆财经大学本科毕业论文19 10012311001122330121121211211()()2750011958752500 5()1961252900 5()19kkkkkkkkkkkkkXL XPpXPP XPP XPP XP 2112127500119158752500 5()1961252900 5()19kkkkXP矩阵特征值与特征向量的应用20两边取极限得 21121212127500119158752500 5limlim()1961252900 5()192750011958752500 5lim()1961252900 5()19100kkkkk

42、kkkkXPPP211233275001958752500 5(1)1961252900 51927500275001919275000(,)01900P 于是，当k充分大时，()11()11127500191275002750031()191923118kkkkkXX P根据此式可知，在初始情况下，通过相当长的时间之后，此动物种群内雌性动物的年龄分布会更加平稳，也就是三个年龄组内雌性动物的数目比值是 此外时刻此动物种群的不同年龄组内雌性动物数量是且其总和为,181:31:1,)23(1927500k,)23(5727500k.)23(34227500k.)23(171343750k2018

43、新疆财经大学本科毕业论文21矩阵的特征值与特征向量观念在经济研究、生命科学与环保等部分具备宽泛且高效的使用。在经济进步和环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie）种群模型等模型内，其也具备非常关键的现实影响。结论及展望本文主要包含三方面，主要是定义性质、特征值与特征向量的相关求法和使用。矩阵特征值和特征向量的分析一般被当做矩阵理论分析的关键对象与目标。具备良好的积极影响，也就是分析怎样求解矩阵对照的特征值和特征向量具备一定的关键性，也具备明显的现实价值。首先，本文大致叙述了矩阵特征值与特征向量的概念和性质，之后，在此后的叙述中，全面求解矩阵特征值和特征向量的多种求解方方式，主要是定义法、列行互

44、逆变换法等。且利用部分例题使用特征值和特征向量的性质与方式，促使问题更直接，运算更便利，是简化相关繁杂问题的高效方式。最终，本文着重叙述了对特征值和特征向量的使用分析，叙述了特征值与特征向量在矩阵运算内的功能。此时重点使用矩阵、特征值与特征向量当做案例，全面叙述应用实例在高等代数教学内的应用。第一，叙述部分现实案例，比如矩阵特征值在一阶常系数线性微分方程组内的使用和在马尔可夫链内的使用，尽可能利用具体使用来寻找抽象的数学定义。第二，分析矩阵和特征值在人口模型内和建模内的相关应用案例。矩阵特征值与特征向量的应用22参考文献1 向以华.矩阵特征值与特征向量的研究J.重庆三峡学院报，2009（02）

45、：1-2.2 王萼芳，石生明.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003.3 黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法J.福建信息技术教育，2006（05）：34.4王英瑛.矩阵特征值和特征向量求法的探讨J.山东理工大学学报（自然科学版），2008（01）：5.5 赵院娥，李顺琴.矩阵的特征值与特征向量J.江西科学，2009（05）：2.6 何翼.求矩阵特征值与特征向量的新方法J.铜仁学院报，2009（03）：1.7 汤正华.关于矩阵的特征值与特征向量的探究J.山东行政学院山东省经济管理干部学院学报，2008.（91）:4648.8 宋利梅.求矩阵的特征值与特征向量的一种简捷方法 J.嘉应学院

46、学报，2005,23：1618.9刘深泉，洪毅，马东魁，等，译David CLay线性代数及其应用M3 版北京：机械工业出版社，200.10 周义仓，赫孝良数学建模试验M2 版西安：西安交通大学出版社，20032018 新疆财经大学本科毕业论文23致谢时光匆匆，白驹过隙，我的学习就要结束了，虽然心里纵有千万的不舍和遗憾，但是结束的钟声已敲响，重新起航的号角又响起了。回忆这两年的研究生美好生活，其中酸甜苦辣只有自己可以体会，但是所有的经历都是我人生的财富，假如让我用一个词来叙述我的学习生涯，那就是“感谢”。感谢我的学院，在稳定和谐的环境中度过两年是我的幸运。学校的所有老师都具备精益求精的工作理念，因人施教的崇高师德，所有授课老师的授课都为我此后工作奠定了良好的基础，老师严谨的教育理念和宽广的胸怀，也是值得我们学习的。感恩无条件为我付出的家人，多次在百忙中帮我修改论文，感谢一直以来你们的默默付出，感恩你们的鼓励和容忍，正是因为你们的爱和无私奉献，我才可以无忧无虑的学习和生活，才能顺利完成学业！