2022届高考数学一轮复习第9章平面解析几何第6讲圆锥曲线的综合问题作业试题2含解析新人教版202106302166.docx

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1、第六讲第六讲圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题1.2021 洛阳市统考已知椭圆 C:?2?2+?2?2=1(ab0)的离心率为12,其左、右焦点分别是 F1,F2,如图 9-6-1,过 F1的直线AB 与椭圆相交于 A,B 两点,且ABF2的周长为 8.(1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线 l:y=x+t 与椭圆相交于 M,N 两点,当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时,求 t 的取值范围.图 9-6-12.2021 四省八校联考已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,直线 l 与 C 交于 A,B 两点,与 C 的准线交于点 M.(1)若直线 l 经过点 F,且|AB|=4,求

2、直线 l 的方程.(2)设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=-2.证明:直线 l 经过定点,并求出定点的坐标.求?的最小值.3.2020 全国卷,12 分已知椭圆 C1:?2?2+?2?2=1(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合,C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A,B 两点,交 C2于 C,D 两点,且|CD|=43|AB|.(1)求 C1的离心率;(2)设 M 是 C1与 C2的公共点.若|MF|=5,求 C1与 C2的标准方程.4.2020 贵阳市高三摸底测试已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F1(-3,0)

3、,且椭圆 C 经过点 P(3,12).(1)求椭圆 C 的方程;(2)设椭圆 C 与 y 轴的正半轴交于点 D,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点(l 不经过点 D),且 ADBD,证明:直线l 经过定点,并求出该定点的坐标.5.2021 安徽省四校联考已知椭圆 C:?2?2+?2?2=1(ab0)的离心率为13,上顶点为 M,右焦点为 F,坐标原点 O 到直线 MF的距离为2 23.(1)求椭圆 C 的方程;(2)直线 l 为抛物线 y2=-36x 的准线,A,B 分别为椭圆的左、右顶点,P 为直线 l 上的任意一点(P 不在 x 轴上),PA 交椭圆 C 于另一点 S,

4、PB 交椭圆 C 于另一点 T,求证:S,F,T 三点共线.6.2021 八省市新高考适应性考试双曲线 C:?2?2-?2?2=1(a0,b0)的左顶点为 A,右焦点为 F,动点 B 在 C 上.当 BFAF时,|AF|=|BF|.(1)求 C 的离心率;(2)若 B 在第一象限,证明:BFA=2BAF.7.2020 大同市高三调研已知半圆 x2+y2=4(y0),动圆与此半圆相切(内切或外切,如图 9-6-2),且与 x 轴相切.(1)求动圆圆心的轨迹方程,并画出其轨迹.(2)是否存在斜率为13的直线 l,它与(1)中所得的轨迹由左至右顺次交于 A,B,C,D 四点,且满足|AD|=2|BC

5、|?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.图 9-6-28.2020 湖北部分重点中学高三测试已知椭圆 C:?2?2+?2?2=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,M 是椭圆上任意一点,且MF1F2的周长为 4+2 2,以坐标原点 O 为圆心,椭圆 C 的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设直线 l 是圆 O:x2+y2=43在动点 P(x0,y0)(x0y00)处的切线,l 与椭圆 C 交于不同的两点 Q,R,证明:QOR 的大小为定值.9.2020 湖南长郡中学第三次适应性考试新角度题已知抛物线 G:y2=2px(p0),其焦点为 F

6、,过点 F 的直线 l 交抛物线 G 于 A,B 两点,交抛物线 G 的准线于点 C.当点 F 恰好是线段 AC 的中点时,|BC|=83.(1)求抛物线 G 的方程;(2)点 O 是坐标原点,设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2,直线 l 的纵截距为 1,此时数列an满足 a1=1,k1+k2=-16an+1+(4?+2)2.设数列?1+?的前 n 项和为 Sn,已知存在正整数 m,使得 mS2 020b0)的“蒙日圆”方程为 x2+y2=a2+b2.已知抛物线x2=4y 的焦点与椭圆 C 的一个短轴端点重合,且椭圆 C 的离心率为63.(1)求椭圆 C 的方程和“蒙日圆”E 的方程

7、.(2)过“蒙日圆”E 上任意一点 P 作椭圆 C 的两条切线 PA,PB,A,B 为切点,延长 PA 与“蒙日圆”E 交于点 Q,O 为坐标原点.证明:PAPB;若直线 OP,OQ 的斜率 kOP,kOQ存在,试判断 kOPkOQ是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由.答案第六讲圆锥曲线的综合问题1.(1)由椭圆的定义知 4a=8,a=2.椭圆的离心率 e=?=12,c=1,从而 b2=a2-c2=3,椭圆 C 的方程为?24+?23=1.(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2).由?=?+?,3?2+4?2-12=0,得 7x2+8tx+4t2-12=0,则=64t2-28(4

8、t2-12)0,解得 t20,即 x1x2+y1y20,x1x2+y1y2=x1x2+(x1+t)(x2+t)=2x1x2+t(x1+x2)+t2=7?2-2470,解得 t2247,由可知247t27,解得-7t-2 427或2 427tb0),焦距为 2c,另一个焦点为 F2,则 c=3,F2(3,0).在 RtPF2F1中,|PF1|=|?1?2|2+|?2|2=72.由椭圆的定义得 2a=|PF1|+|PF2|=72+12=4,则 a=2,b=?2-?2=1,所以椭圆 C 的方程为?24+y2=1.(2)由(1)得 D(0,1),设 A(x1,y1),B(x2,y2).由?=?+?,?

9、24+?2=1,消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,易知0,则 x1+x2=-8?1+4?2,x1x2=4?2-41+4?2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2?1+4?2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=?2-4?21+4?2.由 ADBD 得?=x1x2+(y1-1)(y2-1)=0,即5?2-2?-31+4?2=0,所以 5m2-2m-3=0,解得 m=1 或 m=-35.当 m=1 时,直线 l 经过点 D,舍去.当 m=-35时,直线 l 的方程为 y=kx-35,所以直线 l 经过定点,且该定点的坐标为(0,-35).5.(1)设 F(c,0),根

10、据离心率的定义和面积相等可得?=13,?=2 23,?2=?2+?2,解得 a=3,b=2 2,因此所求的椭圆 C 的方程为?29+?28=1.(2)显然 A(-3,0),B(3,0),直线 l 的方程为 x=9.设 P 的坐标为(9,m)(m0),则直线 PA 的方程为 y=?12(x+3),把它代入椭圆 C 的方程中,消去 y 得(128+m2)x2+6m2x+9m2-9128=0.根据一元二次方程根与系数的关系知-3xS=9?2-9128128+?2,因此 S(384-3?2128+?2,64?128+?2).同理,得 T(3?2-9632+?2,-32?32+?2).由于 F(1,0)

11、,所以当 m8 时,kSF=16?64-?2,kFT=16?64-?2,因此 kSF=kFT.当 m=8 时,易知 S,F,T 三点共线.所以 S,F,T 三点共线.6.由题意知,点 B(c,a+c)在双曲线 C 上,则?2?2-(?+?)2?2=1,?2?2-?+?-?=1,e2-1+?-1=1,(e+1)(e-1-1?-1)=0,e=2.(2)由(1)知?=2,c=2a,则 b2=c2-a2=3a2,双曲线 C 的方程为?2?2-?23?2=1,A(-a,0),F(2a,0).当 BFAF 时,|AF|=|BF|,则BAF=4,BFA=2,显然BFA=2BAF.当 BF 与 AF 不垂直时

12、,设 B(x0,y0),x0a,y00,则 3?02-?02=3a2,tanBAF=kAB=?0?0+?,tanBFA=-kBF=-?0?0-2?.tan 2BAF=2tan?1-tan2?=2?0?0+?1-?02(?0+?)2=2?0(?0+?)(?0+?)2-?02=2?0(?0+?)(?0+?)2-(3?02-3?2)=-?0?0-2?=tanBFA.因为双曲线 C 的渐近线为 y=3x,所以 0BAF3,0BFA0).若动圆与半圆内切,则|MO|=2-|MN|,?2+?2=2-y,两边平方得 x2+y2=4-4y+y2,化简得 y=-14x2+1(y0).综上,当动圆与半圆外切时,动

13、圆圆心的轨迹方程为 y=14x2-1(y0);当动圆与半圆内切时,动圆圆心的轨迹方程为 y=-14x2+1(y0).动圆圆心的轨迹如图 D 9-6-1 所示.图 D 9-6-1(2)假设满足题意的直线 l 存在,可设 l 的方程为 y=13x+b.依题意,可得直线 l 与曲线 y=14x2-1(y0)交于 A,D 两点,与曲线 y=-14x2+1(y0)交于 B,C 两点.由?=13?+?,?=14?2-1与?=13?+?,?=-14?2+1,消去 y 整理可得 3x2-4x-12b-12=0与 3x2+4x+12b-12=0.设 A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD

14、,yD),则 xA+xD=43,xAxD=-12?-123,xB+xC=-43,xBxC=12?-123.又|AD|=1+(13)2|xA-xD|,|BC|=1+(13)2|xB-xC|,且|AD|=2|BC|,|xA-xD|=2|xB-xC|,即(xA+xD)2-4xAxD=4(xB+xC)2-4xBxC,整理得(43)2+4(12?+12)3=4(-43)2-4(12?-12)3,解得 b=23.将 b=23代入方程,得 xA=-2,xD=103.函数 y=14x2-1(y0)的定义域为(-,-2)(2,+),假设不成立,即不存在满足题意的直线 l.8.(1)因为以坐标原点 O 为圆心,椭

15、圆 C 的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,所以 b=c,可得 a=2c.因为MF1F2的周长为 4+2 2,所以 a+c=2+2,所以 c=2,a=2,b=2,所以椭圆 C 的方程为?24+?22=1.(2)由题意知,直线 l 的斜率存在且不为 0,设 Q(x1,y1),R(x2,y2),直线 l 的方程为 y=kx+m.因为 l 为圆 O 的切线,所以|?|1+?2=2 33,即 3m2=4+4k2.将 y=kx+m 与椭圆方程联立,消去 y 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0,易知0,所以 x1+x2=-4?2?2+1,x1x2=2?2-42?2+1,x1x2+y1y2=x

16、1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=3?2-4?2-42?2+1.由得 x1x2+y1y2=0,所以 OQOR,QOR=2,即QOR 的大小为定值.9.(1)抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F(?2,0),准线方程为 x=-?2.依题意知过 F 的直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设其方程为 x=ty+?2(t0),由?=?+?2,?2=2?,消去 x 并整理,得 y2-2pty-p2=0,易知0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),可得 y1y2=-p2.由点 F 是线段 AC 的中点,且 C(-?2,-?),得-?2+?12=?

17、2,-?+?12=0,解得?1=3?2,?1=?,即 A(3?2,?).由 y1y2=-p2,可得 y2=-?2?=-pt,则 x2=t(-pt)+?2=-pt2+?2,即 B(-pt2+?2,-pt).把点 B 的坐标代入抛物线方程,可得(-pt)2=2p(-pt2+?2),可得 t=33.不妨令 t=-33,则 B(?6,33p),C(-?2,3p).由|BC|=(?6+?2)2+(33?-3?)2=43p=83,可得 p=2,所以抛物线 G 的方程为 y2=4x.(2)依题意可知直线 l 过点 F(1,0)和(0,1),可得直线 l 的方程为 y=-x+1,由?=-?+1,?2=4?消去

18、 x 并整理,得 y2+4y-4=0,则 y1+y2=-4,y1y2=-4.所以 k1+k2=?1?1+?2?2=4?1+4?2=4?1+?2?1?2=4,则-16an+1+(4?+2)2=4,即 an+1=?2+an=an(an+1),由此可得1?+1=1?(?+1)=1?-1?+1,所以?1+?=1-1?+1=1-(1?-1?+1).则 S2 020=2 020-(1?1-1?2)+(1?2-1?3)+(1?2020-1?2021)=2 020-(1?1-1?2021)=2 020-1+1?2021=2 019+1?2021.由 mS2 020m+1,得 m2 019+1?20211,可得

19、 m=2 019,所以正整数 m 的值为 2 019.10.(1)抛物线 x2=4y 的焦点为(0,1),由其与椭圆 C 的一个短轴端点重合,可得 b=1.由椭圆 C 的离心率 e=?=1-?2?2=63,得 a2=3.所以椭圆 C 的方程为?23+y2=1,“蒙日圆”E 的方程为 x2+y2=4.(2)当 PA 和 PB 中有一条与 x 轴平行时,易知另一条与 x 轴垂直,显然 PAPB.当 PA 和 PB 均不与 x 轴平行且不与 x 轴垂直时,设过点 P 的椭圆 C 的斜率存在且不为零的切线的方程为y=kx+m(k0),设 P(x0,y0),x0 3,由直线 y=kx+m(k0)过点 P

20、,得 m=y0-kx0,且?02+?02=4.由?=?+?,?23+?2=1,消去 y 并整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,则=(6km)2-4(3k2+1)(3m2-3)=0,即 m2=3k2+1.将 m=y0-kx0代入上式得关于 k 的方程(?02-3)k2-2x0y0k+?02-1=0.则 kPAkPB=?02-1?02-3,又?02+?02=4,所以 kPAkPB=-1,即 PAPB.综上,PAPB.当直线 PQ 的斜率存在时,设直线 PQ 的方程为 y=k1x+m1,由?=?1?+?1,?2+?2=4,消去 y 并整理得(?12+1)x2+2k1m1x+?12-4

21、=0,则=(2?1?1)2-4(?12+1)(?12-4),由得?12=3?12+1,代入上式整理得=4?12+120.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=-2?1?1?12+1,x1x2=?12-4?12+1,所以 kOPkOQ=?1?1?2?2=(?1?1+?1)(?1?2+?1)?1?2=?12?1?2+?1?1(?1+?2)+?12?1?2=?12?12-4?12+1+?1?1(-2?1?1?12+1)+?12?12-4?12+1=?12-4?12?12-4,将?12=3?12+1 代入上式,得 kOPkOQ=3?12+1-4?123?12+1-4=-13.当直线 PQ 的斜率不存在时,不妨设点 P 在第一象限,则 P(3,1),所以 kOP=33,易知 Q(3,-1),kOQ=-33,所以 kOPkOQ=-13.综上可知,kOPkOQ=-13.