机械行业工程管理控制基础.docx

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1、机械工程控制基础（修订本）陈康宁（主编）西安交通大学出版社，1997 年 11 月第 1 版习题解答习题解答山东理工大学机械工程学院机电工程系2009 年第1章 绪论复习思考题1.控制论的中心思想是什么？解答：它抓住一切通讯和控制系统所共有的特点，站在一个更概括的理论高度揭示了它们的共同本质，即通过信息的传递、加工处理和反馈来进行控制，这就是控制论的中心思想。2.机械工程控制论的研究对象及任务是什么?解答：机械工程控制论实质上是研究机械工程中广义系统的动力学问题。具体地说，它研究的是机械工程技术中的广义系统在一定的外界条件（即输入或激励，包括外加控制与外加干扰）作用下，从系统的一定的初始状态出

2、发，所经历的由其内部的固有特性（即由系统的结构与参数所决定的特性）所决定的整个动态历程：研究这一系统及其输入、输出三者之间的动态关系。从系统、输入、输出三者之间的关系出发，根据已知条件与求解问题的不同，机械工程控制论的任务可以分为以下五方面（1）已知系统和输入求系统的输出（响应），并通过输出来研究系统本身的有关问题，即系统分析问题；（2）己知系统和系统的理想输出，设计输入，使输出尽可能符合给定的最佳要求，即最优控制问题；（3）已知输入和理想输出，设计系统，使得输出尽可能符合给定的最佳要求，即最优设计问题；（4）系统的输入和输出已知，求系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，即系统辨识问题；（5

3、）系统和输出已知，识别输入或输入中的有关信息，此即滤波与预测问题。3.什么是信息及信息的传递？试举例说明。解答：信息：一切能表达一定含义的信号、密码、情报和消息。信息传递：是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递，或称转换。如图题 1-1 所示机床加工工艺系统，将工件尺寸作为信息，通过工艺过程的转换，加工前后工件尺寸分布有所变化，这样，研究机床加工精度问题，可通过运用信息处理的理论和方法来进行。图题 1-1工艺过程中信息的传递工艺过程毛坯尺寸工件尺寸x0nn0y4.么是反馈及反馈控制？试举例说明。解答：反馈：所谓信息的反馈，就是把一个系统的输出信号不断直接地或经过中间变换后全部或部分地返回，

4、再输入到系统中去。如果反馈回去的讯号（或作用）与原系统的输入讯号（或作用）的方向相反，则称之为“负反馈”；反馈回去的信号（或作用）与系统的输入信号（或作用）的方向相同，则称之为“正反馈”。举例 1：图题 1-2 是一个薄膜反馈式径向静压轴承。图题 1-2(a)是其结构示意图，图题 1-2(b)是其方框图。当主轴受到负荷 W 后，产生偏移 e，因而使轴承下油腔压力 p2增加，轴承上油腔压力 p1减小，这样，与之相通的薄膜反馈机构的下油腔压力亦随之增加，上油腔压力则减小，从而使薄膜向上产生凸起变形，因此薄膜下半部高压油输入轴承的通道扩大，液阻下降，从而使轴承下部压力上升。而基于与此相反的理由，轴承

5、上半部压力减小，于是轴承下半部油腔产生反作用力，与负荷相平衡，以减少偏移量 e，甚至完全消除偏移量 e，即达到“无穷大”的支承刚度。图题 1-2静压轴承薄膜反馈控制系统举例 2：以数控机床工作台的驱动系统为例。开环控制：一种简单的控制方案是根据控制装置发出的一定频率和数量的指令脉冲驱动步进电机，以控制工作台或刀架的移动量，而对工作台或刀架的实际移动量不作检测，其工作原理如图 1-5(a)所示。这种控制方式简单，但问题是从驱动电路到工作台这整个“传递链”中的任一环的误差均会影响工作台的移动精度或定位精度。闭环控制：为了提高控制精度，采用图 1-1(b)所示的反馈控制，以检测装置随时测定工作台的实

6、际位置(即其输出信息)；然后反馈送回输入端，与控制指令比较，再根据工作台实际位置与目的位置之间的误差，决定控制动作，达到消除误差的目的。图题 1-3两种控制方式5.日常生活中有许多闭环和开环控制系统，试举例说明。解答：普通电风扇、普通洗衣机、全自动洗衣机在顺序控制模式下、电动搅拌机等均属开环控制。电冰箱、电饭锅、空调等均属闭环控制。第2章 拉普拉斯变换的数学方法复习思考题1.拉氏变换的定义是什么？Equation Chapter 2 Section 1解：有时间函数 f(t)，t0，则 f(t)的拉氏变换记作：Lf(t)或 F(s)，并定义为0()()()dstL f tF sf tet*ME

7、RGEFORMAT(2-1)s 为复数，sj。称 f(t)为原函数，F(s)为象函数。若式(2-1)的积分收敛于一确定的函数值，则 f(t)的拉氏变换 F(S)存在，这时 f(t)必须满足：在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点，如图 2-f1 的 ab 区间。当 t时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足f(t)Meat式中 M、a 均为实常数。这一条件是使拉氏变换的被积函数 f(t)est绝对收敛，由下式看出因为()()()ststtf t ef t ef t e所以()()statta tf t eMe eMe只要是在复平面上对于 Re(s)a 的所有复数 s，都能

8、使式(2-1)的积分绝对收敛，则 Re(s)a 为拉氏变换的定义域，a 称作收敛坐标，见图 2-f2。图 2-f1在a，b上分段连续0f(t)tba图 2-f2拉氏变换定义域a0Im(s)Re(s)定义域2.(t)，1(t)，t，sint，cost，eat，tn的拉氏变换是什么？解：00()()d1ststtLtt ete0011()1()dststeLtt etss220sinsindstLtt ets220coscosdstsLtt ets()()0001dds a tatatsts a teL ee etetsasa110(1)!dnnstnnnnL tt etss 3.拉氏变换的线性性

9、质、微分定理、积分定理、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么？如何应用？解答：（1）线性性质：若有常数 K1，K2，函数 f1(t)，f2(t)，且 Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，则1 12211221122()()()()()()K f tK f tK L f tK L f tK F sK F s*MERGEFORMAT(2-2)（2）微分定理：若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则()()(0)L f tsF sf*MERGEFORMAT(2-3)f(0)为 t=0 时的 f(t)值。此定理需考虑在 t0 处是否有断点。如果在 t0 处有断

10、点，f(0)f(0)，则该定理需修改成()()(0)Lf tsF sf()()(0)Lf tsF sff(0)为由正向使 t0 时的 f(t)值；f(0)为由负向使 t0 时的 f(t)值；进而可推出 f(t)的各阶导数的拉氏变换：2()12(2)(1)()()(0)(0)()()(0)(0)(0)(0)nnnnnnL fts F ssffL fts F ssfsfff*MERGEFORMAT(2-4)式中 f(i)(0)（0in）表示 f(t)的 i 阶导数在 t=0 时的取值。如果在 t0 处有断点，f(0)f(0)，则该定理需修改成2()12(2)(1)()()(0)(0)()()(0)

11、(0)(0)(0)nnnnnnLfts F ssffLfts F ssfsfff 2()12(2)(1)()()(0)(0)()()(0)(0)(0)(0)nnnnnnLfts F ssffLfts F ssfsfff 式中 f(i)(0)（0in）表示 f(t)的 i 阶导数在 t 从正向趋近于零时的取值。f(i)(0)（0in）表示 f(t)的 i 阶导数在 t 从负向趋近于零时的取值当初始条件均为零时，即(1)(0)(0)(0)(0)0nffff则有2()()()()()()()nnL ftsF sL fts F sL fts F s（3）积分定理若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则(

12、1)()1()d(0)F sLf ttfss*MERGEFORMAT(2-5)是对不定积分的拉普拉斯变换。式中(1)(0)()dff tt，是在 t=0 时的值。如果 f(t)在 t0 处包含一个脉冲函数，则(1)(1)(0)(0)ff，此时，必须将上述定理修正如下：(1)()1()d(0)F sLf ttfss(1)()1()d(0)F sLf ttfss式中(1)(0)()dff tt，是在 t=0时的值；(1)(0)()dff tt，是在 t=0时的值。对于定积分的拉普拉斯变换，如果 f(t)是指数级的，则上述定理修改如下：0()()dtF sLf tts如果 f(t)在 t0 处包含一

13、个脉冲函数，则00()d()dttf ttf tt，此时0()()dtLf tLf tts0()()dtLf tLf tts依此类推2(1)(2)22111()(d)()(0)(0)Lf ttF sffsss(1)(2)()11111()(d)()(0)(0)(0)nnnnnLf ttF sfffssss 如果00()d()dttf ttf tt，该定理也要修正成(1)(2)()11011111()(d)()(0)(0)(0)111()()(d)nnnnnnknnn ktkLf ttF sfffssssF sf ttsss （4）时域的位移定理若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，对任一正实数

14、a，有()()asL f taeF s*MERGEFORMAT(2-6)f(ta)为延迟时间 a 的函数 f(t)，当 ta 时，f(t)0。（5）复域位移定理f(t)的拉氏变换为 F(s)。对任一常数 a（实数或复数），有()()atL ef tF sa*MERGEFORMAT(2-7)（6）初值定理若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t)的初值为0(0)lim()lim()tsff tsF s*MERGEFORMAT(2-8)即原函数 f(t)在自变量 t 趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数 F(s)的自变量 s趋于无穷大时 sF(s)的极限值。（7）终

15、值定理若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含 j轴的右半 s 平面内是解析的（这意味着当 t时 f(t)趋于一个确定的值），则函数 f(t)的的终值为0lim()lim()tsf tsF s*MERGEFORMAT(2-9)（8）卷积定理若()()F sL f t，()()G sL g t则有0()()d()()tLf tgF sG s*MERGEFORMAT(2-10)式中，积分0()()d()()tf tgf tg t，称作 f(t)和 g(t)的卷积。4.用部分分式法求拉氏反变换的方法。解答：（1）F(s)无重极点的情况F(s)总是能展

16、开为下面简单的部分分式之和：1212()()()nnKKKB sF sA sspspsp*MERGEFORMAT(2-11)式中 K1、K2、Kn为待定系数（系数 Ki为常数，称作极点 spi上的留数）。111()()()s pB sKspA s222()()()s pB sKspA s()()()(1,2,)()()iiiiis pB pB sKspinA sA p*MERGEFORMAT(2-12)式中 pi为 A(s)0 的根，d()()diispA sA ps。求得各系数后，则 F(s)可用部分分式表示1()1()()niiiiB pF sA psp*MERGEFORMAT(2-13)

17、因11ip tiLesp从而可求得 F(s)的原函数为11()()()()inp tiiiB pf tLF seA p*MERGEFORMAT(2-14)当 F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于 f(t)是个实函数。若 p1和 p2是一对共轭复数极点，那么相应的系数 K1和 K2也是共轭复数，只要求出 K1或 K2中的一个值，另一值即可得。（2）F(s)有重极点的情况假设 F(s)有 r 个重极点 p1，其余极点均不相同，则111112112111112()()()()()()()()()rnrnnrrrrrrrnB sB sF sA sa spspspKKKK

18、KKspspspspspsp式中 K11、K12、K1r的求法如下：1111111121213121111()()d()()d1 d()()2!d1d()()(1)!drsprsprsprrrrspKF s spKF s spsKF s spsKF s sprs*MERGEFORMAT(2-15)其余系数 Kr1、Kr2、Kn的求法与第一种情况所述的方法相同，即()()()(1,2,)()jjjspjjpBKF s spjrrA pn求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为1121121112112()()(1)!(2)!nrrp tp tptptrrrrrnKKf tLF sttKeKeKe

19、K err5.用拉氏变换求解微分方程的步骤。解答：用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。习题2-1 试求下列函数的拉氏变换，假设当 t0 时 f(t)0。（1）()5(1 cos3)f tt（2）0.5()cos10tf tet（3）()sin(5)3f tt（用和角公式展开）（4）()natf tt e（1）()5(1 cos3)f tt解：利用拉氏变化的线性叠加特性2225545()()5 1()5 cos3 3(9)sF sL f tLtLtsss s（2）0.5()cos10tf tet解法 1

20、：利用 cos10t 的拉氏变换结果和复数域位移定理0.52220.50.5()()cos10(0.5)10100.25tssF sL f tL etsss解法 2：直接按定义并与 cost 的拉氏变换进行比较0.5(0.5)00222()()cos10dcos10d0.50.5(0.5)10100.25tststF sL f tetettetsssss解法 3：直接按定义求解0.51010(0.5)00(0.510)(0.510)(0.510)(0.510)00001()()cos10d()d211dd22(0.510)(0.510)11120.5100tstjtjtstsjtsjtsjts

21、jtF sL f teteteeeteeetetsjsjsjs2220.50.5.510(0.5)10100.25ssjsss解法 4：直接套用教材表 2-1 中第 14 项结果0.52220.50.5()()cos10(0.5)10100.25tssF sL f tL etsss（3）()sin(5)3f tt（用和角公式展开）解法 1：利用和角公式展开，然后利用拉氏变换的线性叠加性13()sin(5)sin5 coscos5 sinsin5cos533322f tttttt所以222221315335()()sin5 cos5 2225252(25)ssF sL f tLtLtsss解法

22、2：直接利用定义求解()sin(5)sin5()315f ttt，令15t，则有()150151515150015()()sin5()sin(5)15sin(5)sin(5)sin(5)sstsssssF sL f ttedtedeedeeded（1）而205sin(5)25seds（2）55(5)(5)151515150000555515(5)(5)15152000111sin(5)ddd222()5()112552252 sin512sjjssjsjsjjjjsjsjsedeeeeejjjes eejeeeejsjsjjses jj1515220015252cos5sin55cos5252

23、53552225ssjesssess（3）将（3）式和（2）式代入（1）得235()()2(25)sF sL f ts【注】本题不可直接利用延时定理，因为函数不是延时函数，如果使用了延时定理，则将改变定义域。（4）()natf tt e解法 1：1!1,2,3,nnnL tns ，利用复域平移特性得1!()1,2,3,()natnnF sL tensa解法 2：()()0001dds a tatatsts a teL ee etetsasa利用复域微分特性d()()(1)1,2,3,dnnnnF sL tf tns 得11d!()(1)1,2,3,d()nnatnnnnsaF sL tenss

24、a 解法 3：直接按定义并与 tn的拉氏变换进行比较()100!()()dd1,2,3,()natstns a tnnF sL f tt e ett etnsa解法 4：直接按定义求解()()000()()()10001()101ddd111dddnatnatstns a tns a tns a ts a tns a tnns a tnatL t et e ett ettesat eetenttsasasanntetL tesasa 得到递推关系如下：112102111111()natnatnatnatatatatnL t eL tesanL teL tesaL t eL t eL esasa

25、sa sasa所以1!()natnnL t esa 解法 5：直接套用教材表 2-1 中第 9 项结果1!()natnnL t esa 2-2 求下列函数的拉氏变换。（1）33()232tf ttte（2）333()cos2sin4(0)tttf tt eetett（3）22()5 1(2)(1)tf ttte（4）sin0()00,ttf ttt（1）33()232tf ttte解：设 t0 时，f(t)0利用拉氏变换的线性特性3324432413!1()()2 3 2 23232261854(3)tF sL f tL tL tL esssssssss（2）333()cos2sin4(0)t

26、ttf tt eetett解：利用拉氏变换的性质：线性性质，复域平移特性3334227654328765432()()cos2 sin4 3!14(3)(1)4(3)162322512213963878584994395201921124429811004187921998010125tttF sL f tL t eL etL etsssssssssssssssssss（3）22()5 1(2)(1)tf ttte 解：设 t0 时，f(t)0。利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性22222222232()()5 1(2)(1)5 1(2)(21)5 1(2)2 12215(2)(2)

27、2tttttsF sL f tLtL teLtL tteLtL t eL teL eessss【注】本题不可对第二项(t1)2e2t采用如下方法：因 为232 L ts，利 用 时 域 位 移 定 理 得232(1)sL tes，再 利 用 复 域 平 移 定 理 得22(2)32(1)(2)tsL tees。这样计算的结果是错误的，原因在于：在利用时域位移定理时，将(t1)2的定义域变成了2(1)1()01ttf tt，而原题中(t1)2的定义域为2(1)0()00ttf tt。换句话说，这里(t1)2并不是 t2的延时函数。（4）sin0()00,ttf ttt 解法 1：()sinsin

28、()1()f tttt，如图 2-2 所示。所以222()()sin sin()1()111111ssF sL f tLtLtteesss23456-1-0.500.51tf(t)图题 2-2sin(t)sin(t)1(t)解法 2：直接按定义求解。000()()()()0000()()1()()()dsind()d21111dd222()2()11112()2()2()2()()ststjtjtstj s tj s tj s tj s tj sj sjsF sL f tf t etteteeetjeteteejjj jsjjseej jsj jsjjsjjssj ee 22222222222

29、()()2()2()()()12(1)12sin2 cos12(1)111111jjjjjsssssj esjsjj sjj sjs eej eeej ssjsjej sseesss2-3 已知10()(1)F ss s（1）利用终值定理，t时的 f(t)值。（2）通过取 F(s)的拉氏反变换，求 t时的 f(t)值。解：（1）0001010lim()lim()limlim10(1)1tsssf tsF sss ss（2）1210()(1)1KKF ss sss根据部分分式法得101010(1)sKss s2110(1)10(1)sKss s 所以1010()1F sss所以111110101

30、1()()10 1010 1()10011tf tLF sLLLtetssss所以lim()lim10 1()1010tttf tte，与（1）中计算结果相同。【注】本题求拉氏反变换时，可以利用教材表 2-1 中的第 10 项。2-4 已知21()(2)F ss（1）利用初值定理，求 f(0)和 f(0)的值。（2）通过取 F(s)的拉氏反变换，求 f(t)，再求 f(t)，然后求 f(0)和 f(0)。解：（1）201(0)lim()lim()lim0(2)tssff tsF sss 根据拉氏变换的微分特性得知 f(t)的拉氏变换为22()()(0)0(2)(2)ssLf tsF sfss则

31、再次利用初值定理得20(0)lim()lim1(2)tssff tss（2）11221()()0(2)tf tLF sLetts22()2ttf teet则200(0)lim()lim0tttff tet 2200(0)lim()lim()1ttttff teet 结果与（1）中计算的一致。2-5 求图题 25 所示的各种波形所表示的函数的拉氏变换。图题 25解：（a）解法 1：设11050()200tttf tt，则11()()(2)10 1(2)f tftftt（见图 2-5-1(a)）由此得112222()()()(2)10 1(2)5510ssF sL f tL f tL f tLte

32、esss解法 2：令()()51()51(2)10(2)g tf tttt22()()()5 1()5 1(2)10(2)5510ssG sL g tL ftLtLtLteess根据拉氏变换的积分特性得02222()()()d5510tssG sF sLg ttseesss解法 3：直接利用拉氏变换定义502()002ttf ttt ，则0222200002222022222222()()()d155d5dd515112210555510stststststsstssssssF sL f tf tett ettetteetsseeeessssseeeessssss （b）解法 1：设1211(

33、)3 12f ttt，则由图 2-5-1(b)可知11()1(1)(1)(3)2 1(3)f ttftftt所以113322()()1(1)(1)(3)2 1(3)11 11 1222ssssF sL f tLtL f tL f tLteeeessss解法 2：令11()()(1)1(1)1(3)2(3)22g tf ttttt3311()()()(1)1(1)1(3)2 (3)221 11 1222ssssG sL g tL f tLtLtLtLteeeess根据拉氏变换的积分特性得03322()()()d11 11 1222tssssG sF sLg ttseeeessss解法 3：直接利

34、用拉氏变换定义1113()22003ttf ttt ，则033311133311133313()()()d11111ddd2221 1d21 11321 1422stststststststssstsssF sL f tf tettettetetssteeteseeeeessees 33333222211211 11 111 11 122222ssssssssssseesseeeeeeeessssssss（c）解法 1：利用拉氏变换的积分特性。由图可见 ()()5()51()51(1)51(1)51(2)51(2)51(3)5()51()10 1(1)10 1(2)51(3)g tf tttt

35、ttttttttt 23()()()5 ()5 1()10 1(1)10 1(2)5 1(3)5101055sssG sL g tL ftLtLtLtLtLteeessss根据拉氏变换的积分特性得0232222()()()d5510105tsssG sF sLg ttseeesssss图题 5-2-1f1(t)f1(t2)101(t2)f1(t)f1(t1)21(t3)f1(t3)1(t1)2-6 试求下列象函数的拉氏反变换（1）21()4F ss解法 1：利用部分分式法。先将 F(s)展开成部分分式12211()4(2)(2)22KKF sssjsjsjsj1211(2)(2)(2)4sjK

36、sjjsjsj因为两个极点共轭，所以 K2与 K1共轭，即214Kj 即1111144()22422jjF sjsjsjsjsj所以11122111()()422111(2sin2)sin20442j tj tf tLF sjLLsjsjjeejjttt 欧拉公式解法 2：查表法222112()422F sss利用拉氏变换对照表查得1122121()()sin20222f tLF sLtts（2）221()259ssF ssss解法 1：利用部分分式法。先将 F(s)展开成部分分式2211()259(12)(12)(3)(3)ssssF sssssjsjsjsj令1212()25(12)(12

37、)(12)(12)KKssF ssssjsjsjsj342211()9(3)(3)33KKssF sssjsjsjsj11211(12)(12)(12)24sjsKsjjsjsj*211124KKj33111(3)(3)(3)26s jsKsjjsjsj*431126KKj即111112424()1212jjF ssjsj 211112626()33jjF ssjsj所以11111(12)(12)222211112424()()12121111242411()()24112cos22 sin2241(cos2sin2)2jtjttj tj ttj tj ttttjjf tLF sLLsjsjj

38、ejee eeje eeetjejtett 1112233333311112626()()331111262611()()26112cos32 sin3261cos3sin33j tj tj tj tj tj tjjf tLF sLLsjsjjejeeejeetjjttt根据拉氏变换线性特性得12()()()11(cos2sin2)cos3sin3023tf tf tf tettttt解法 2：2222222222111213()259(1)22(1)2333ssssF ssssssss利用拉氏变换复域平移定理及线性性质得111()()cos2sin 2cos3sin32311cos2sin

39、2 cos3sin323510sin(2arctan 2)sin(3arctan3)023ttttf tLF setetttettttettt（3）1()(1)F ss s解：利用部分分式法。先将 F(s)展开成部分分式121()(1)1KKF ss sss1011(1)sKss s211(1)1(1)sKss s 即111()(1)1F ss sss所以11111()()1()101ttf tLF sLLteetss（4）1()(2)(3)sF sss解：利用部分分式法。先将 F(s)展开成部分分式121()(2)(3)23KKsF sssss121(2)1(2)(3)ssKsss 231(

40、3)2(2)(3)ssKsss即12()23F sss1112312()()2023ttf tLF sLLeetss（5）24(3)()(2)(1)sF sss解：利用部分分式法。先将 F(s)展开成部分分式31112224(3)()(2)(1)(2)21KKKsF ssssss2112224(3)4(3)(2)4(2)(1)(1)ssssKssss 2122222d4(3)8(2)8d(2)(1)(1)sssKsssss322114(3)4(3)(1)8(2)(1)(2)ssssKssss即2488()(2)21F ssss则11112222488()()(2)214884(2)80tttt

41、tf tLF sLLLsssteeeetet （6）()1seF ss解：111tLes利用拉氏变换的实数域位移定理（延时定理）得111()()1(1)1stef tLF sLets（7）2252()(2)(22)ssF ssss解：将 F(s)展开成部分分式2231225252()(2)(22)(2)(1)(1)(2)(1)(1)KKKssssF ssssssj sjssjsj 21252(2)2(2)(1)(1)sssKsssj sj 221523(1)(2)(1)(1)2sjssKsjssj sj *3232KK即213131()5(2)2(1)2(1)F sssjsj 所以11112(

42、1)(1)22213131()()2(2)2(1)2(1)33322()222322cos23cos02tj tj tttjtjtttttf tLF sLLLssjsjeeeeeeeeeteett 2-7 求下列卷积（1）1*1解：因为11Ls，利用拉氏变换的卷积定理得21 111*1Ls ss对上式进行拉普拉斯逆变换得1211*10Ltts（2）t*t解：因为21 L ts，利用拉氏变换的卷积定理得224111*L t tsss对上式进行拉普拉斯逆变换得11343 1113!1*03!6t tLLttss（3）t*et解：因为21 L ts，1 1tL es，利用拉氏变换的卷积定理得2211

43、1*1(1)tL t esss s对上式进行拉普拉斯逆变换（可查表）得121*10(1)ttt eLettss（4）t*sint解：因为21 L ts，21sin 1Lts，利用拉氏变换的卷积定理得2222111*sin 1(1)L ttsss s对上式进行拉普拉斯逆变换得112222111*sinsin0(1)1ttLLtttssss 2-8 用拉氏变换的方法解下列微分方程（1）220,(0)0,(0)1xxxxx解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得2()(0)(0)2()2(0)2()0s X ssxxsX sxX s将初始条件代入上式并整理得2(22)()10ssX s 解得211()

44、22(1)(1)X ssssj sj 对 X(s)求拉普拉斯逆变换得到()sin0tx tett（2）02730,(0),(0)0 xxxxxx解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得22()(0)(0)7()(0)3()0s X ssxxsX sxX s将初始条件代入上式并整理得200(273)()270ssX ssxx解得000002272771()11273(21)(3)2()(3)()(3)22x sxx sxsX sxssssssss对 X(s)求拉普拉斯逆变换（查表）得到113322013021171()311223322(6)05ttttttx txeeeexeet第3章 系统的数

45、学模型复习思考题1.什么是数学模型？解答：数学模型是系统动态特性的数学表达式。数学模型有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数、频率响应函数及状态空间表达式等等。2.线性系统的特点是什么？解答：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统有很多特点，其中最重要的特点就是它满足叠加原理。所谓叠加原理是，系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用的响应之和。3.传递函数的定义和特点是什么？解答：定义：在零初始条件下，系统输出的 Laplace 变换与引起该输出的输入量的 Laplace变换之比。传递函数具有以下特点（1）传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定

46、的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。（2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的 Laplace 变换完全取决于其传递函数。但是，一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。（3）传递函数分子中 s 的阶次不会大于分母中 s 的阶次。（4）传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。（5）不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。（6）传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函

47、数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。4.传递函数的典型环节有哪些？它们的表达式是什么？5.如何计算串联、并联及反馈联结所构成系统的传递函数？6.方块图的简化法则主要有哪些？如何应用这些法则进行简化并计算系统的传递函数？7.如何推导一些简单机电系统的传递函数？8.信号流图的概念及梅逊公式的应用。9.状态空间基本概念。10.如何从高阶微分方程推出状态方程？如何由传递函数推出状态方程？习题3-1列出图题 31 所示各种机械系统的运动微分方程式(图中未注明 x(t)均为输入位移，y(t)为输出位移)。图题 31解：（a）对

48、y(t)点利用牛顿第二定律得()()()0By tk y tx t即()()()By tky tkx t（b）对 m 利用牛顿第二定律得()()()()By tk y tx tmy t整理得()()()()my tBy tky tkx t（c）对 y(t)点利用牛顿第二定律得21()()()()()0k y tB y tx tky tx t整理得211()()()()()By tkky tBx tk x t（d）对图(d)所示系统，由牛顿定律有()()()f tkx tmx t其中121212111k kkkkkk 1 212()()()k kmx tx tf tkk（e）对 m 利用牛顿第二

49、定律得21()()()()B y tBy tx tmy t整理得211()()()()my tBBy tB x t3-2列出图题 32 所示系统的运动微分方程式，并求输入轴上的等效转动惯量 J 和等效阻尼系数 B。图中 T1、1为输入转矩及转角，TL为输出转矩。图题 32解：对 J1列写平衡方程得1 11 121JBTT（1）22223LJBTT（2）1322nTTn（3）2211nn（4）式中 T2为 J1的输出转矩，T3为 J2的输入转矩，2为 J2的转角。将（3）、（4）式代入（2）式，求得 T2，再将求得的 T2代入（1）式得222221211211111LnnnJJBBTTnnn输入

50、轴上的等效转动惯量 J 为22121nJJJn输入轴上的等效阻尼系数 B 为22121nBBBn3-3求图题 33 所示各电气网络输入和输出量间关系的微分方程式，图中 ui为输入电压，uo为输出电压。Equation Section(Next)图题 33解：（a）方法 1：设流过 LC 回路的电流为 i，利用基尔霍夫电压定律得ioddiuLut（1）o1dui tC（2）对（2）式求导得odduiCt（3）（3）式代入（1）得2ooi2dduLCuut方法 2：设流过 LC 回路的电流为 iL，利用基尔霍夫电流定律得iL=iC即oiod1()dduuutCLt对上式求导，并整理得2ooi2dd