函数奇偶性、单调性和周期性问题（1　导学案—— 高三数学一轮复习函数专题7.docx

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1、函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）题型一：利用奇偶性求参数例题1设是定义域为的奇函数，当时，（m为常数），则（ ）ABCD 例题2已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ）A-4B-3C-2D-1 变式训练1已知定义在上的奇函数，当时，则的值为（ ）AB8CD24 变式训练2已知函数是奇函数，则实数的值为（ ）ABCD 变式训练3“”是“函数为奇函数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 题型二：利用奇偶性和单调性解不等式例题1已知是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则不等式的解集为（ ）ABCD 例题2定义在R上的偶函数满足对任意的，有，且，则不等

2、式的解集是（ ）ABCD 变式训练1设定义在R上的奇函数满足对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）ABCD 变式训练2已知偶函数在上单调递增则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件 变式训练3已知函数在上单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（ ）ABCD 题型三：构造奇偶性求值例题1已知函数f(x)ax3bx1(ab0)，若f(2021)k，则f(2021)等于（ ）AkBkC1kD2k 例题2已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）ABCD 变式训练1已知函数y = f（x）+x是偶函数，且f（2）= 3 ，则f（-2）=（ ）A

3、-7B7C-5D5 变式训练2已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则等于（ ）A4B3C2D1 变式训练3已知函，且，则（ ）ABC11D13题型四：利用函数周期性求解例题1已知定义在R上的奇函数f(x)满足，当时，则=（ ）A20192B1C0D 例题2已知定义在上的奇函数满足，当时，则（ ）ABCD 变式训练1函数的定义域为，且，当时，则（ ）ABCD 变式训练2已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，则（ ）ABCD 变式训练3已知定义在上的函数满足，当时，当时，则（ ）AB0C1D2 函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）课后巩固练习1若函数，（a，）为奇函数，则的值为（）A

4、BC1D4 2已知为上的奇函数，且，若当，则（ ）ABCD 3已知定义在上的偶函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ）ABCD 4若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）ABCD 5定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，则不等式的解集是（ ）ABCD 6已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增. 若实数满足， 则的最小值是（ ）AB1CD2 7若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（ ）A或B或C或D 8已知函数，若f(x)满足，则f（6）（ ）A6B0C6D12 9函数在区间上的最大值与最小值分别为，则的值为（ ）ABCD 10已知函数，则（ ）ABCD 11已

5、知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A0B2C3D 12已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则（ ）ABCD 13定义在R上的函数满足，当时，当时，则（ ）A336B338C337D339 14已知定义域为的奇函数满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）ABCD 15若对于定义在R上的函数，当且仅当存在有限个非零自变量x，使得，则称为类偶函数，若函数为类偶函数，则a的取值范围为（ ）ABCD 16已知定义在上的奇函数，当时，则_ 17若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式解集为_. 18函数，其中为上的偶函数，若，则_. 19已知函数，若

6、的最大值为，最小值为，则_. 20设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则_. 21已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求a，b的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t的不等式，. 22已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并证明；（3）解关于的不等式：. 23已知函数f(x)a是定义域为R的奇函数.（1）求实数a的值；（2）当x3，9时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 24已知是定义在上的奇函数，且当时，（1）求在上的解析式；（2）求在上的值域；（3）求的值. 25设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数

7、x，恒有f(x2)f(x)当x0，2时，f(x)2xx2（1）求证：f(x)是周期函数；（2）当x2，4时，求f(x)的解析式；（3）计算f(0)f（1）f（2）f(2019) 函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）解析题型一：利用奇偶性求参数例题1 【答案】C【分析】先求出m，再利用代入求解即可.【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，因为当时，所以，解得，所以当时， 所以.故选：C.例题2 【答案】A【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解.【详解】解：因为是奇函数且，所以，又当时，所以，解得，故选：A.变式训练1 【答案】A【分析】根据定义域的对称性，求得，再结合函数的奇偶性

8、和题设条件，得到，即可求解.【详解】由题意，定义在上的奇函数，可得，解得，又由当时，所以，故选：A.变式训练2 【答案】B【分析】利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，进而可求得实数的值.【详解】因为，则，因为函数为奇函数，则，故.故选：B.变式训练3 【答案】A【分析】判断以“”和“函数为奇函数”分别为题设和结论，结论和题设的两个命题的真假即可得解.【详解】当时，其定义域为R，有，则为奇函数；当是奇函数时，则有，解得，即为奇函数时，a可以不等于1，所以“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A题型二：利用奇偶性和单调性解不等式例题1 【答案】A【分析】由是定义在上的奇函数，且在时，单调递减

9、，所以在上为减函数，利用函数单调性解不等式即可.【详解】易知函数在上为减函数不等式可化为，所以，解得故选：A例题2 【答案】C【分析】根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式【详解】由对任意的，可知函数在上单调递减，因为为偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，所以当或时，当时，不等式可转化为，所以或，所以或故选：C变式训练1 【答案】C【分析】根据奇函数将转化为，进而转变为或，然后根据函数的单调性与奇偶性解不等式即可【详解】因为为奇函数，所以，所以，因为对任意，且，都有，所以在单调递减，因此在单调递减，且，所以，故或，故或，故选：C变式

10、训练2 【答案】A【分析】由于偶函数在上单调递增，则可得在上单调递减，所以由，可得，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】由题知在上单调递减，则当时，所以“”是“”的充分不必要条件故选：A变式训练3 【答案】C【分析】先由函数是奇函数求出，化原不等式为，再由函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为为奇函数，若，则，所以不等式可化为，又在上单调递减，所以，解得.故选：C题型三：构造奇偶性求值例题1 【答案】D【分析】方法一：令g(x)ax3bx(ab0)，g(x)是奇函数，利用奇偶性即可求解；方法二：f(x)f(x)2，即可求解.【详解】方法一：令g(x)ax3bx(ab0)，则g(x

11、)是奇函数，从而f(2021)g(2021)1g(2021)1.又因为f(2021)k，所以g(2021)k1，从而f(2021)(k1)12k. 方法二：因为f(x)f(x)ax3bx1ax3bx12，所以f(2021)f(2021)2.又因为f(2021)k，所以f(2021)2k.故选：D例题2 【答案】C【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，由此可解得的值.【详解】由已知可得，因为为偶函数，为奇函数，所以，联立，解得.故选：C.变式训练1 【答案】B【分析】首先设，利用，求的值.【详解】设，所以，所以.故选：B变式训练2 【答案】B【分析】由奇偶性得，进而得，再解方程即可得答案.【

12、详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以又因为，所以，所以故选：B变式训练3 【答案】C【分析】令，则，则先判断函数，进而可得，即，结合已知条件即可求的值.【详解】令，则，因为，所以，则，又因为，则，故选：C题型四：利用函数周期性求解例题1 【答案】D【分析】由可得函数的周期为4，然后利用周期对化简，再结合奇函数的性质和已知区间上的解析式可求得结果【详解】因为，所以，所以函数的周期为4，因为为在R上的奇函数，且当时，所以，故选：D例题2 【答案】D【分析】推导出函数是周期为的周期函数，求出、的值，即可得解.【详解】由得，所以函数是周期为的周期函数，又是奇函数，所以，所以，所以，故选

13、：D变式训练1 【答案】C【分析】利用函数周期性可求得的值.【详解】由题意可知，函数是周期函数，且为函数的一个周期，所以，.故选：C.变式训练2 【答案】D【分析】利用函数的周期和奇偶性可求得的值.【详解】由已知条件可得.故选：D.变式训练3 【答案】A【详解】因为，所以，所以是周期函数，6是一个周期，故选：A函数专题函数奇偶性、单调性和周期性问题（1）课后巩固练习1【答案】B【分析】因为函数是奇函数，通过带特殊值可以求出的值，从而得到答案【详解】利用和可得： 解得：，所以，.故选B.2【答案】C【分析】分析可知是周期为的周期函数，由题中条件可得，求出的值，进而可得出，即可得解.【详解】因为，

14、则，所以函数是周期为的周期函数，因为函数为上的奇函数，当时，则，可得，故当时，所以，.故选：C.3【答案】B【分析】由偶函数定义可构造方程求得，由此得到解析式；由已知等式可得到，根据，配凑出基本不等式的形式，利用基本不等式可求得结果.【详解】为上的偶函数，即，即，整理得：，即；（当且仅当，即时取等号）；的最小值为.故选：B.4【答案】A【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的

15、的取值范围是，故选：A.5【答案】C【分析】由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的,作出函数的示意图，即可得到答案；【详解】解：由题意可得的图象是把的图象向左平移2个单位得到的,故关于点对称,它的单调性示意图,如图所示:根据不等式可得,的符号和的符号相反,的解集为，故选：C6【答案】C【分析】由的性质知：在上递减且，结合题设不等式可得求的范围，即可知最小值.【详解】由题设，在上递减，由偶函数知：，即，则，得.故的最小值是.故选：C7【答案】D【分析】分析出偶函数在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】、都有，不妨设，则，故函数在上为增函数

16、，因为函数为偶函数，故，由可得，可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.8【答案】D【分析】将变形为，令，则是奇函数，再结合，利用奇函数的性质计算即可.【详解】，令，则，所以是奇函数，所以，又，所以.故选：D9【答案】C【分析】令，探讨函数的奇偶性，求出在区间上的最大值与最小值和即可得解.【详解】依题意，令，显然函数定义域为R，则，即函数是奇函数，因此，函数在区间上的最大值与最小值和为0，而，则有，于是得，所以的值为2.故选：C10【答案】B【分析】判断函数是奇函数，即得解.【详解】由题得，所以函数是奇函数，所以.故选：B.【点睛】方法点睛：判断函数的奇偶性，一般利用函数的定义判断，首先必

17、须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.11【答案】A【分析】利用已知条件推出当时，再根据周期性和奇偶性求出和再相加即可得解.【详解】当时，所以即当时，所以，所以f(2 015)f(2 017).故选：A12【答案】B【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，故，代入解析式即得解【详解】为奇函数, ，偶函数，即，令，则，故函数周期为4故选：B13【答案】B【分析】根据得出函数周期为6，进而算出，然后将2023除以6得出余

18、数，最后根据函数的周期性得到答案.【详解】因为，所以函数的周期T=6，于是，所以，而2023=6337+1，所以3371+1=338.故选：B.14【答案】B【分析】是周期为4的函数，且是奇函数，0在函数定义域内，故，得，先得到一个周期内的解析式，求出该周期内使成立的的范围，从而推出的范围，再分的范围讨论即可.【详解】解：由题意，为周期为4的函数，且是奇函数0在函数定义域内，故，得，所以当时，当时，此时，又知道，所以以为对称轴，且当时单调递增，当时单调递减.当时，令，得，或，所以在内当时，设，若对于都有，所以因为，所以当时，在上单调递减，故得，无解.时，此时最大，最小，即得.当时，即，此时最小

19、，最大，即得，当时，在上单调递增，故解得，综上.故选：B.【点睛】本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识属于难题.15【答案】D【分析】有有限个非零解,化简为有有限个非零解，即，即可解得答案【详解】根据题意,由有有限个非零解,即有有限个非零解，即有有限个非零解,即有有限个非零解，即,解得:，故选:.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的判断,难度较难.16 【答案】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得的值，再由奇函数的定义即可求解.【详解】因为是定义在上的奇函数，可得，解得：，又由当时，所以，故答

20、案为：.17 【答案】【分析】将原不等式等价变形为，分析函数在、上的单调性，分、两种情况解原不等式，即可得解.【详解】因为函数为上的奇函数，则，因为，则.因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数.当时，则，可得；当时，则，可得.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.18 【答案】3【分析】根据题意，设，则，利用定义法判断函数的奇偶性得出为上的奇函数，结合题意，可知，从而由求出，再由即可求出结果.【详解】解：由题可知，设，则，即，所以为上的奇函数，由于，为上的偶函数，则，又因为，所以，即，所以，所以.故答案为：3.19 【答案】【分析】先对变形得，再构造函数，判断为奇函数，从而由奇函数的性质

21、可得答案【详解】由题意可得，令，则，因为所以为奇函数，所以在最大值与最小值之和为0，所以.故答案为：8【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，解决本题的关键是将函数变形，得到后，判断函数为奇函数，考查计算能力，属于中档题20 【答案】【分析】由为奇函数，为偶函数可得为周期为4的周期函数，再由，联立可得，结合周期性，代入解析式即得解【详解】由题意，为奇函数，所以又为偶函数，所以，即为周期为4的周期函数因为为奇函数，故又联立可得：，故当时，则故答案为：21【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.【分析】（1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解；（2）利用单调性的定义按照

22、步骤作差证明即可；（3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，所以，所以检验：，为奇函数满足题意（2）在上递增，证明如下：任取，其中，所以，故在上递增.（3）由可得，因为是定义在上的奇函数，所以，因为是增函数，所以，即，解得：，所以不等式的解集为.22【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）由以及即可求得的值，再检验是否满足奇函数即可；（2）利用单调性的定义证明，取值、作差、变形、定号、下结论即可；（3）由奇偶性和单调性去掉，可得关于的不等式，再结合定义域解不等式组即可求解.【详解】（1）因为函数是定义

23、在上的奇函数，所以，所以，因为，解得：，所以，经检验是定义在上的奇函数，符合题意，所以；（2）函数在上是增函数，证明如下：任取，则，因为，所以，所以即，所以函数在上是增函数；（3）由可得，因为是定义在上的奇函数，所以，因为是增函数，所以，即，解得：，所以不等式的解集为.23【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据函数的奇偶性求出的值；（2）根据函数的单调性的定义证明函数为减函数，根据函数的单调性得到对，恒成立，令，问题转化为对，恒成立，令，根据函数的单调性求出的范围即可【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，解得经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为；（2）设，且，则，即，所以是上的减函

24、数，由，可得是上的奇函数，又是上的减函数，所以对，恒成立，令，对，恒成立，令，解得，所以实数的取值范围为，24【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）令,则,代入解析式可求得.再根据奇函数性质即可求得在上的解析式;（2）利用分析法,先求得当时,的值域,即可逐步得到在上的值域;（3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验的值,即可由函数的性质求解.【详解】（1）当时,因为是上的奇函数所以,（2）当时,所以在上的值域为；（3）当时,所以,故.【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题.25【答案】（1）证明见解析

25、；（2）x2，4时，f(x)x26x8；（3）0【分析】（1）根据f(x2)f(x)，f(x)是定义在R上的奇函数，及周期函数的定义即可得证；（2）根据函数的奇偶性可求得函数在x2，0的函数解析式，再根据函数的周期性即可求得函数在x2，4时的解析式；（3）根据（1）（2）求得f(0)，f（2），f（1）1，f（3），再根据函数的周期性即可求解.【详解】（1）f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数（2）当x2，0时，x0，2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2f(x)x22x又当x2，4时，x42，0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8从而求得x2，4时，f(x)x26x8（3）f(0)0，f（2）0，f（1）1，f（3）1又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f（1）f（2）f（3）f(4)f(5)f(6)f(7)f(2016)f(2017)f(2018)f(2019)0f(0)f（1）f（2）f(2019)0