中考数学专题：二次函数中的线段长度有关的综合问题(解析版).docx

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1、专题27 二次函数中的线段长度有关的综合问题1、如图抛物线yax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得SPAMSPAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）存在，点P的坐标为（1，2），PAC的周长是；（3）存在，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）【解析】（1）抛物

2、线yax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），得，yx2+2x+3（x1）2+4，该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为yx2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，如图所示：设过点B（3，0），点C（0，3）的直线解析式为ykx+m，得，直线BC的解析式为yx+3，当x1时，y1+32，点P的坐标为（1，2），点A（1，0），点C（0，3），点B（3，0），AC，BC3，PAC的周长是：AC+CP+PAAC+CB，即点P的坐标为（1，2），PAC的周长是；（3）存在点M（不与C

3、点重合），使得SPAMSPAC，SPAMSPAC，当以PA为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M和点C到PA的距离相等，当点M在点C的上方时，则CMPA时，点M和点C到PA的距离相等，设过点A（1，0），点P（1，2）的直线l1解析式为：ykx+m，得，直线AP的解析式为yx+1，直线CM的解析式为yx+3，由得，点M的坐标为（1，4）；当点M在点C的下方时，则点M所在的直线l2与AP平行，且直线l2与直线AP之间的距离与直线l1与直线AP之间的距离相等，直线l2的的解析式为yx1，由得，M的坐标为（，）或（，）；由上可得，点M的坐标为（1，4），（，）或（，）2、如图，抛物线y=ax2 x

4、+c（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），已知B点坐标为（4，0） （1）求抛物线的解析式；（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，记点M到线段BC的距离为d，当d取最大值时，求出此时M点的坐标；（3）若点P是抛物线上一点，点E是直线y=x上的动点，是否存在点P、E，使以点A，点B，点P，点E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y= x2x-2；（2）M（2，-3）；（3）存在；点E坐标为(,)、(,)、（,)或(,).【解析】（1）解：由题意得c=-2，0=a42-4-2， 解得a= ， 抛物线的解析式为：y=

5、x2x-2.（2）解：作MNy轴交BC于点N，的面积=2MN=，当MN最大时，的面积也最大，此时M到线段BC的距离d也最大，设直线BC的解析式为y=kx+b, ,解得,y=x-2，MN=x-2-( x2-x-2)=- x2+2x=-(x-2)2+2，当x=2时，MN有最大值2，M（2，-3）.当d取最大值时， M点的坐标是（2，-3）；（3）解：存在，理由如下：设点 E 的坐标为 (n,n), 以点A,点B,点P,点E为顶点的平行四边形分两种情况，如图，以线段AB为边，点E在点P的左边时，A(1,0),B(4,0),E(n,n)，P(5+n,n)，点P(5+n,n)在抛物线y= x2-x-2上

6、，n=(5+n)2(5+n)2,解得：n1=, n2= ， 此时点E的坐标为(,)或(,)；以线段AB为边，点E在点P的右边时，A(1,0),B(4,0),E(n,n)，P(n5,n)，点P(n5,n)在抛物线y=x2x2上，n=(n5)2(n5)2,即n211n+36=0，此时=(11)2436=230，方程无解；以线段AB为对角线时，A(1,0),B(4,0),E(n,n)，P(3n,n)，点P(3n,n)在抛物线y=x2x2上，n=(3n)2(3n)2,解得：n3=,n4= ， 此时点E的坐标为（,)或(,).综上可知：存在点P、E, 使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形, 点E

7、坐标为(,)、(,)、（,)或(,).3、如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求抛物线的函数解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。【答案】（1）y=x22x3；（2）94；（3）存在4个符合条件的F点，分别为F（3，0），（1，0），（4+7，0

8、），（47，0）【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=2，y=x22x3（2）将C点的横坐标x=2代入y=x22x3，得：y=3，C（2，3），直线AC的函数解析式是y=x1设P点的横坐标为x（1x2），则P、E的坐标分别为：P（x，x1），E（x，x22x3）P点在E点的上方，PE=（x1）（x22x3）=x2+x+2，当x=12时，PE的最大值=94（3）存在讨论如下：如图，连接C与抛物线和y轴的交点C（2，3），G（0，3），CGx轴，此时AF=CG=2，F点的坐标是（3，0）；如图，AF=CG=2，A点的坐标为（1，0），因此F点的坐标为（

9、1，0）；如图，设F（x，0）ACFG是平行四边形，AF的中点与CG的中点重合AF的中点的纵坐标为0，C，G两点的纵坐标互为相反数，G点的纵坐标为3，x22x3=3，解得：x=17，G点的坐标为（17，3），AF的中点的横坐标=CG的中点的横坐标，2+172=1+x2 ，解得：x=47，F的坐标为（47，0）综上所述：存在4个符合条件的F点，分别为F（3，0），（1，0），（4+7，0），（47，0）4、在如图的平面直角坐标系中，抛物线yax22amx+am2+1（a0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且DAB45（1）填空：点C的纵坐标是 （用含a、m的式子

10、表示）；（2）求a的值；（3）点C绕O逆时针旋转90得到点C，当12m52时，求BC的长度范围【答案】（1）am2+1；（2）a1；（3）0BC94【解析】解：（1）当x0时，yax22amx+am2+1am2+1，点C的纵坐标为am2+1故答案为：am2+1（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，如图1所示DADB，DAB45，ABD为等腰直角三角形，AB2DEyax22amx+am2+1a（xm）2+1，点D的坐标为（m，1）当y0时，ax22amx+am2+10，即a（xm）21，解得：x1m1a，x2m+1a，AB21a2，解得：a1（3）由（1）（2）可知：点C的坐标为（0，1m2），点

11、B的坐标为（m+1，0）点C绕O逆时针旋转90得到点C，点C的坐标为（m21，0），BC|m+1（m21）|m2+m+2|m2+m+2（m12）2+94，12m52，当m52时，m2+m+2取得最小值，最小值为74；当m12时，m2+m+2取得最大值，最大值为94，当12m52时，74m2+m+294，当12m52时，0BC945、如图，直线yx+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线yx2+bx+c与直线yx+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求

12、m的值及PM的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由【答案】（1）抛物线的表达式为：yx2+4x+5；（2）当m时，PM有最大值；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（1，0），Q4（6，7）【思路引导】（1）y=-x+5，令x=0，则y=5，令y=0，则x=5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），利用待定系数法即可求解；（2）由题意可得M点坐标为（m，m2+4m+5），则则P点坐标为（m，m+5），表示出PM的长度：PM=-m2+4m+5-（-m+5）=-m2+5m=-

13、（m-）2+，利用二次函数的性质即可求解；（3）过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设出Q点坐标Q（x，x2+4x+5），则G（x，x+5），表示出QG的长度QG=|-x2+4x+5-（-x+5）|=|-x2+5x|，由条件可得BOD是等腰直角三角形，可证得QHG为等腰直角三角形，则当BDQ中BD边上的高为3时，即QH=HG=3，QG=3=6，|-x2+5x|=6，即可求解【解析】解：（1）yx+5，令x0，则y5，令y0，则x5，故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），则二次函数表达式为：yx2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b4，故抛物线的表达式为：yx2

14、+4x+5；（2）设M点横坐标为m（m0），则P（m，m+5），M（m，m2+4m+5），PMm2+4m+5（m+5）m2+5m（m-）2+，当m时，PM有最大值；（3）如图，过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设Q（x，x2+4x+5），则G（x，x+5），QG|x2+4x+5（x+5）|x2+5x|，BOD是等腰直角三角形，DBO45，HGQBGE45，QHG是等腰直角三角形，当BDQ中BD边上的高为3时，即QHHG3，QG36，|x2+5x|6，当x2+5x6时，解得x2或x3，Q（2，9）或（3，8），当x2+5x6时，解得x1或x6，Q（1，0）或（6，7），综

15、上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（1，0），Q4（6，7）【方法总结】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质及方程思想等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系在（1）中主要是待定系数法的考查，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键6、如图1，抛物线yx2+mx+n交x轴于点A(2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M在抛物线上，且SA

16、OM2SBOC，求点M的坐标；(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DNx轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值【答案】（1）y=x2x+2； （2）（0，2）或（1，2）或（，2）或（，2）；（3）1.【解析】解：（1）A（2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=x2+mx+n，得，解得，抛物线的解析式为y=x2x+2（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=x2x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据SAOM=2SBOC列方程可得：AO|n|=2OBOC，2|m2m+2|=2，m2+m=0或m2+m4=0，解得m=0或1或，符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（1，2

17、）或（，2）或（，2）（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（2，0），C（0，2）代入得到，解得，直线AC的解析式为y=x+2，设N（x，x+2）（2x0），则D（x，x2x+2），ND=（x2x+2）（x+2）=x22x=（x+1）2+1，10，x=1时，ND有最大值1ND的最大值为17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx（xb）12与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P（1）若点B与点C关于直线x1对称，求b的值；（2）若OBOA，求BCP的面积；（3）当1x1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最

18、小值，直接写出这个最大值或最小值【答案】（1）2（2）2764（3）h存在最小值，最小值为1【解析】解：（1）点B与点C关于直线x1对称，yx（xb）12x2bx12，b21，解得：b2（2）当x0时，yx2bx1212，点A的坐标为（0，12）又OBOA，点B的坐标为（12，0）将B（12，0）代入yx2bx12，得：014+12b12，解得：b12，抛物线的解析式为yx212x12yx212x12（x14）2916，点P的坐标为（14，916）当y0时，x212x120，解得：x112，x21，点C的坐标为（1，0）SBCP121（12）|916|2764（3）yx2bx12（xb2）21

19、2b24当b21，即b2时，如图1所示，y最大b+12，y最小b+12，h2b；当0b21，即0b2时，如图2所示，y最大b+12，y最小12b24，h1+b+b24（1+b2）2；当1b20，2b0时，如图3所示y最大12b，y最小12b24，h1b+b24（1b2）2；当b21，即b2时，如图4所示，y最大b+12，y最小b+12，h2b综上所述：h2b(b2)1+b22(0b2)1b22(2b0)2(b2)，h存在最小值，最小值为18、如图，抛物线交x轴于点A（3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q

20、是线段AC上的一动点，作DQx轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值【答案】（1）；（2）P（1，4），；（3）【解析】（1）把A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，故该抛物线的解析式为：；（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得B（1，0），设P点坐标为（x，），整理，得或，解得x=1或x=，则符合条件的点P的坐标为：（1，4），；（3）设直线AC的解析式为，将A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，即直线AC的解析式为设Q点坐标为（x，x+3），（3x0），则D点坐标为（x，），QD=，当x=时，QD有最大值9、如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点在函数

21、图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点（1）求、的值；（2）如图，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；（3）如图，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为和【解析】解：（1）轴，抛物线对称轴为直线点的坐标为解得或（舍去），（2）设点的坐标为对称轴为直线点关于直线的对称点的坐标为.直线经过点利用待定系数法可得直线的表达式为.因为点在上，即点的坐标为（3）存在点满足题意.设点坐标为，则作垂足

22、为点在直线的左侧时，点的坐标为点的坐标为点的坐标为在中，时，取最小值.此时点的坐标为点在直线的右侧时，点的坐标为同理，时，取最小值.此时点的坐标为综上所述：满足题意得点的坐标为和10、函数y=x2+bx+c的图像与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC点D在函数图像上，CD/x轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b、c 的值； （2）如图，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F 恰好在线段BE上，求点F的坐标； （3）如图，动点P在线段OB上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与

23、APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由 图 图【答案】（1）c=-3；（2）点F的坐标为（0，-2）；（3）满足题意的点Q的坐标为（12,154）和(32,154)【解析】（1）CDx轴，CD=2，抛物线对称轴为x=1，b2=1，b=2OB=OC，C（0，c），B点的坐标为（c，0），0=c2+2c+c，解得：c=3或c=0（舍去），c=3；（2）设点F的坐标为（0，m）对称轴为直线x=1，点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）由（1）可知抛物线解析式为y=x22x3=（x1）24，E（1，4）直线BE经过点B（3，0），E（1，4），利用待

24、定系数法可得直线BE的表达式为y=2x6点F在BE上，m=226=2，即点F的坐标为（0，2）；（3）存在点Q满足题意设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3n，PN=n2+2n+3作QRPN，垂足为RSPQN=SAPM，12（n+1）（3n）=12（n2+2n+3）QR，QR=1分两种情况讨论：点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n1，n24n），R点的坐标为（n，n24n），N点的坐标为（n，n22n3），在RtQRN中，NQ2=1+（2n3）2，n=32时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为（12，154）；点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n24）同理，NQ2=

25、1+（2n1）2，n=12时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为（32，154）综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（12，154）或（32，154）11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EFy轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HPx轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线

26、x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值 【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3，顶点D为（1，4）（2）G点的坐标（，）（3）存在3个t值：t=，【解析】解：(1)由题意得解得，抛物线y=x2+2x+3，顶点D为(1,4)；(2)如图，连接OH，EFy轴，HPx轴，x轴y轴，四边形HPOF是矩形，PF=OH，当OH最短时，PF最短，OHBC时，PF最短，可得H的纵坐标为，把y=代入y=x2+2x+3中，则=x2+2x+3，解得x1=,x2

27、= (舍去)；G点的坐标(，)（3）如图，DB=2，yBD=-2x+6，即点E坐标为（，）,Q(3，t) 当BE=BQ时，2-t=t t=；当BE=EQ时(2-t)2=(+(,当BQ=EQ时 t2=(+( , 所以存在3个t值：t=，12、如图（1），二次函数yax2bx（a0）的图象与x轴、直线yx的交点分别为点A(4，0)、B(5，5)（1）a ，b ，AOB ；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且PBOOBA，求点P的坐标 ；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD2设点C的横坐标为m过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF当CF+DE取得最

28、大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值【答案】（1）1，4，45；（2）(，)；（3）m，四边形CDEF为平行四边形；m=，2【思路引导】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）证明HOBAOB（AAS），得OAOH4，即点H（0，4），即可求解；（3）则CF+DEmm2+4m+（m+2）（m+2）24（m+2）2m2+6m+6，即可求解；如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，当A、D、G三点共线时，AD+DGAG最短，即可求解【解析】（1）将点A

29、、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故二次函数表达式为：yx2+4x，点O，B在直线y=x上，OB平分xOy,AOB=45；故：答案为：1，4，45；（2）设直线BP交y轴于点H，HOBAOB45，PBOOBA，BOBO，HOBAOB（AAS），OAOH4，即点H（0，4），则直线PB的表达式为：ykx+4，将点B坐标代入上式并解得：直线PB的表达式为：yx+4，将上式与二次函数表达式联立并解得：x5或（舍去正值），则点P（，）；（3）由题意得：直线OB的表达式为：yx，设点C（m，m），CD2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），则点F（m，m24m），点E（m+2），

30、（m+2）24（m+2），则CF+DEmm2+4m+（m+2）（m+2）24（m+2）2m2+6m+6，20，故CF+DE有最大值，此时，m，则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，）、（，）、（，），则CFDE，CFED，故四边形CDEF为平行四边形；如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，ACDG，作点A关于直线OB的对称点A（0，4），连接AD，则ADAD，当A、D、G三点共线时，AD+DGAG最短，此时AC+AD最短，A（4，0），AGCD2，则点G（6，2），则AC+AD最小值AG2；【方法总结】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系