实验测量与数据处理.ppt

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1、实验测量与数据处理现在学习的是第1页，共53页主要内容主要内容1-1实验实验测量的基本知识测量的基本知识1-3有效数字及其运算有效数字及其运算1-2实验实验测量不确定度的评定测量不确定度的评定现在学习的是第2页，共53页1-1测量的基本知识测量的基本知识注意：注意：大多数的测量结果不但有数值而且有大多数的测量结果不但有数值而且有单位单位。物理测量：运用各种物理仪器和物理方法物理测量：运用各种物理仪器和物理方法把待测未知量与已知标准单位同类量作比较，把待测未知量与已知标准单位同类量作比较，即待测量是该计量单位的多少倍即待测量是该计量单位的多少倍一一、物理测量的基本概念物理测量的基本概念现在学习的

2、是第3页，共53页一直接测量与间接测量一直接测量与间接测量 1.直接测量直接测量:凡是可以直接用计量仪器和测量量进行比较，便可获得测量结果的，该测量属于直接测量直接测量。直接测量直接测量重复测量重复测量单次测量单次测量a、重复测量：在等精度的条件下对待测量进行多、重复测量：在等精度的条件下对待测量进行多次测量次测量现在学习的是第4页，共53页2.间接测量间接测量:凡是通过与被测量有函数关系的其他量，才得到被测量量值的测量，称为间接测量。b、单次测量：往往出现以下几种情况才采用、单次测量：往往出现以下几种情况才采用（1）测量结果的准确度要求不高，允许可以粗略地）测量结果的准确度要求不高，允许可以

3、粗略地估计误差的大小估计误差的大小（2）在安排实验时，早已作过分析，认为测量）在安排实验时，早已作过分析，认为测量误差仪器误差误差仪器误差（3）受条件的限制（如在动态测量中，无法对）受条件的限制（如在动态测量中，无法对待测量做重复测量）待测量做重复测量）现在学习的是第5页，共53页1、直接测量与间接测量是相对的。随着科学技术、直接测量与间接测量是相对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，原来只能间接测量的量，的发展，测量仪器的改进，原来只能间接测量的量，现在可以直接测量。现在可以直接测量。2、间接测量是从直接测量通过公式计算来得到，因、间接测量是从直接测量通过公式计算来得到，因此直接测量是测

4、量的基础此直接测量是测量的基础总结总结现在学习的是第6页，共53页二等精度测量和不等精度测量二等精度测量和不等精度测量p 由同一观察者用同一仪器、同一方法、同一环境测量n次，所得测量值为x1、x2.xn，则把这样在同一种条件下的重复测量称为等精度测量等精度测量。p 在不同条件（观察者、仪器、方法、环境）下的重复测量称为不等精度测量不等精度测量。现在学习的是第7页，共53页三测量的精密度、准确度、精确度三测量的精密度、准确度、精确度u 精密度u 准确度u 精确度 测量数据的精确程度与所使用的仪器设备和实验方法息测量数据的精确程度与所使用的仪器设备和实验方法息息相关。息相关。现在学习的是第8页，共

5、53页1-2 实验测量不确定度的评定实验测量不确定度的评定一、不确定度概念的发展一、不确定度概念的发展 长期以来，人们一直使用误差和误差分析作为评价检测长期以来，人们一直使用误差和误差分析作为评价检测结果质量的方法，但大多数检测结果的误差都具有相对性，结果质量的方法，但大多数检测结果的误差都具有相对性，实际上一般检测结果的误差是未知的，因此用误差来定量实际上一般检测结果的误差是未知的，因此用误差来定量表示检测结果的质量存在许多争论。表示检测结果的质量存在许多争论。由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，称为由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，称为不确不确定度定度，是与测量结果相联系

6、的一个参数。，是与测量结果相联系的一个参数。1、定义：、定义：现在学习的是第9页，共53页 从从2020世纪世纪7070年代开始，人们开始逐步引入测量年代开始，人们开始逐步引入测量不确定度的概念来评定检测结果。测量不确定度的不确定度的概念来评定检测结果。测量不确定度的概念和体系是在数理统计和误差理论的基础上建立概念和体系是在数理统计和误差理论的基础上建立和完善的，它避免了原经典误差理论中某些概念可和完善的，它避免了原经典误差理论中某些概念可能产生混淆的现象，能更准确地用于表示检测结果能产生混淆的现象，能更准确地用于表示检测结果的准确度，因而成为现代误差理论的核心和最新发的准确度，因而成为现代误

7、差理论的核心和最新发展。检测结果是否有用，在很大程度上取决于其不展。检测结果是否有用，在很大程度上取决于其不确定度的大小。在置信水平一定的情况下，不确定确定度的大小。在置信水平一定的情况下，不确定度越小，检测结果越可靠。随着现代科技和社会的度越小，检测结果越可靠。随着现代科技和社会的发展，用测量不确定度来表示检测结果的可靠程度发展，用测量不确定度来表示检测结果的可靠程度越来越被认可和接受。越来越被认可和接受。现在学习的是第10页，共53页 随着社会的进步，国际贸易的不断扩大和科学技术随着社会的进步，国际贸易的不断扩大和科学技术的发展，测量范围不断扩大，在国民经济的各个领域中的发展，测量范围不断

8、扩大，在国民经济的各个领域中进行着大量的测量工作，要测量就会有不确定度，不确进行着大量的测量工作，要测量就会有不确定度，不确定度在世界各国的计量领域已经广泛使用。相关规定指定度在世界各国的计量领域已经广泛使用。相关规定指出，当检测结果处于产品质量标准的临界值，有可能判出，当检测结果处于产品质量标准的临界值，有可能判定被检产品不合格时，应该给出定被检产品不合格时，应该给出测量结果的不确定度测量结果的不确定度。现在学习的是第11页，共53页 因而当报告测量结果时因而当报告测量结果时,必须对其质量给出定量的说明必须对其质量给出定量的说明,以确定测量结果的可信程度。以确定测量结果的可信程度。测量不确定

9、度测量不确定度就是对测量结果就是对测量结果质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其不确定度的大小。所以，测量结果必须附有不确定度说明不确定度的大小。所以，测量结果必须附有不确定度说明才是完整并有意义的。才是完整并有意义的。现在学习的是第12页，共53页19631963年，美国国家标准局（年，美国国家标准局（NBSNBS）首先提出了定量表示不）首先提出了定量表示不确定度的建议确定度的建议。19771977年年5 5月，国际计量委员会（月，国际计量委员会（CIPMCIPM）下设的国际电离）下设的国际电离辐射咨询委员会（辐射咨询委员会（CC

10、EMRICCEMRI）正式讨论了如何表达不确定）正式讨论了如何表达不确定度的建议度的建议。现在学习的是第13页，共53页19771977年年7 7月，在国际电离辐射咨询委员会月，在国际电离辐射咨询委员会CCEMRICCEMRI会议上，美会议上，美国国NBSNBS正式提出了解决测量不确定度表示的国际统一性问题。正式提出了解决测量不确定度表示的国际统一性问题。19781978年，国际计量委员会年，国际计量委员会(CIPM)(CIPM)要求国际计量局要求国际计量局(BIPM)(BIPM)协协同各国解决这个问题。同各国解决这个问题。BIPMBIPM就此制定了一份详细的调查就此制定了一份详细的调查表，并

11、分发到表，并分发到3232个国际计量院及个国际计量院及5 5个国际组织征求意见。个国际组织征求意见。现在学习的是第14页，共53页19801980年，国际计量局（年，国际计量局（BIPMBIPM）成立了不确定度表示工作）成立了不确定度表示工作组，并起草了一份建议书，即：组，并起草了一份建议书，即：INCINC1 1（19801980）。该建）。该建议书主要是向各国推荐不确定度的表示原则，从而使测量不议书主要是向各国推荐不确定度的表示原则，从而使测量不确定度的表示方法逐渐确定度的表示方法逐渐趋于统一趋于统一。19811981年，国际计量委员会（年，国际计量委员会（CIPMCIPM）发布了）发布了

12、CICI19811981建建议书，即：议书，即：“实验不确定度的表示实验不确定度的表示”，重申了不确定，重申了不确定度表示的度表示的统一方法统一方法。现在学习的是第15页，共53页 19861986年，国际计量委员会（年，国际计量委员会（CIPMCIPM）再次发布建议书即）再次发布建议书即CICI19861986，要求参加由，要求参加由CIPMCIPM及其咨询委员会主办的国际比对或及其咨询委员会主办的国际比对或其他工作的成员国在给出测量结果时给出用标准偏差表示的其他工作的成员国在给出测量结果时给出用标准偏差表示的A A类和类和B B类类不确定度的合成不确定度。不确定度的合成不确定度。19931

13、993年，由年，由ISOISO第四技术顾问组（第四技术顾问组（TAG4TAG4）的第三工作组）的第三工作组（WG3WG3）负责起草）负责起草测量不确定度表示指南测量不确定度表示指南（缩写为（缩写为GUMGUM）。以）。以7 7个国际组织的名义正式由个国际组织的名义正式由ISOISO出版出版。现在学习的是第16页，共53页1995年，ISO对GUM作了修订和重印，GUM是在INC1（1980）、CI1981和CI1986的基础上编制而成的应用指南，在术语定义、概念、评定方法和报告的表达方式上都作出了更明确的统一规定。它代表了当前国际上表示测量结果及其不确定度的约定做法。现在学习的是第17页，共5

14、3页测量值测量值测量不确定度测量不确定度用测量的算术平均值来表示用测量的算术平均值来表示二、测量结果的表示及分类二、测量结果的表示及分类表示真值在量值表示真值在量值之中，显然，量之中，显然，量值范围越窄，值范围越窄，则测量不确定度越小，用测量值表则测量不确定度越小，用测量值表示真值的可靠性就越高。示真值的可靠性就越高。1、测量结果的表示、测量结果的表示现在学习的是第18页，共53页2、分类、分类可用概率统计法计算的可用概率统计法计算的A类评定类评定用其它非统计方法估算的用其它非统计方法估算的用其它非统计方法估算的用其它非统计方法估算的B类评定类评定3、物理意义、物理意义 测量不确定度是对测量结

15、果质量的定量表征，测量测量不确定度是对测量结果质量的定量表征，测量结果附有不确定度才有意义。测量不确定度的大小在结果附有不确定度才有意义。测量不确定度的大小在一定程度上表明了测量结果的可用性。一定程度上表明了测量结果的可用性。现在学习的是第19页，共53页1.测量结果分析的几个基本概念测量结果分析的几个基本概念(1)算术平均值与数学期望算术平均值与数学期望p算术平均值算术平均值 随机变量的算术平均数，等于随机变量的算术平均数，等于“试验结果的各个可能值与其相应的频试验结果的各个可能值与其相应的频率率f(x=xi)乘积之和乘积之和”。由于频率。由于频率f(x=xi)要试验后才能确定，因而算术平均

16、数也要试验后才能确定，因而算术平均数也必须到试验后才能求出，而且各次试验后，所得到算术平均数也不一定相同，必须到试验后才能求出，而且各次试验后，所得到算术平均数也不一定相同，具有随机性。具有随机性。三、直接测量标准不确定度的三、直接测量标准不确定度的A类评定类评定现在学习的是第20页，共53页p 数学期望数学期望是连续的是连续的概率概率概率密度函数概率密度函数 在大量试验下，频率在大量试验下，频率f(x=xi)稳定于概率稳定于概率p(x=xi),而随机变量而随机变量x的算术的算术平均值也一定稳定于平均值也一定稳定于“随机变量随机变量x的各个可能值与其相应概率的各个可能值与其相应概率p(x=xi

17、)乘积的总和乘积的总和”，这个，这个“总和总和”是一个常数，它是算术平均值的稳定是一个常数，它是算术平均值的稳定值，称为随机变量值，称为随机变量x的的数学期望数学期望。p 算术平均值与数学期望算术平均值与数学期望 数学期望数学期望E(x)与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量与算术平均值有紧密联系，都是反映随机变量x的的“平均特征平均特征”这这一统计特征，但它们又有质的差别，一统计特征，但它们又有质的差别，E(x)是一个客观存在的理论值，而算术平均值是是一个客观存在的理论值，而算术平均值是一个试验值，具有随机性。一个试验值，具有随机性。其中，其中，现在学习的是第21页，共53页(2)测量列及

18、测量列平均值的标准偏差测量列及测量列平均值的标准偏差1.测量列的标准偏差测量列的标准偏差 标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量概念。标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量概念。一个较大的标准差，表示大部分的数值和其平均值之间差异较一个较大的标准差，表示大部分的数值和其平均值之间差异较大，测量的精确度低；一个较小的标准差，表示这些数值比较大，测量的精确度低；一个较小的标准差，表示这些数值比较接近平均值，测量精确度高。标准差是反映一个数据集的离散接近平均值，测量精确度高。标准差是反映一个数据集的离散程度。程度。现在学习的是第22页，共53页2.测量列平均值的标准偏差测量列平均

19、值的标准偏差现在学习的是第23页，共53页(3)正态分布正态分布u概率密度函数：概率密度函数：u正态分布曲线：正态分布曲线：特点：特点：l单峰性单峰性l对称性对称性l有界性有界性l抵偿性抵偿性概率含量概率含量68.3%概率含量概率含量99.7%现在学习的是第24页，共53页2.求测量列平均值的标准偏差求测量列平均值的标准偏差1.用贝塞尔公式求标准偏差用贝塞尔公式求标准偏差2.直接测量标准不确定度的直接测量标准不确定度的A类评定类评定现在学习的是第25页，共53页当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布当测量次数足够多时，测量值分布满足正态分布置信概率置信概率68.3%现在学习的是第26页，共

20、53页因此为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大，因此为达到同样的置信概率，应把测量偏差范围扩大，乘上一个乘上一个t因子，即：因子，即：但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分但实验测量中，次数有限所以测量值不满足正态分布，而是遵循布，而是遵循t分布。分布。现在学习的是第27页，共53页直接测量量不确定度直接测量量不确定度A类评定类评定为：为：注意：对于不同的置信概率注意：对于不同的置信概率P P，具不有同的，具不有同的，具不有同的，具不有同的A类不确定度类不确定度类不确定度类不确定度现在学习的是第28页，共53页三种概率下的不同自由度三种概率下的不同自由度v的的tvp值值(v=n-1

21、)3.503.714.034.605.849.930.992.372.462.572.783.184.300.951.081.091.111.141.201.320.68765432vtp0.990.950.682.582.862.983.253.361.962.092.152.262.3111.031.041.061.07 191498vtp现在学习的是第29页，共53页四、直接测量标准不确定度的四、直接测量标准不确定度的B类评定类评定测量值的测量值的测量值的测量值的B B类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：类不确定度可表示为：现在学习的是第30页，共53页置信概率置

22、信概率p与置信因子与置信因子kp的关系表的关系表p0.5000.6830.9000.9500.9550.9900.997kp0.67511.651.9622.583仪器名称米尺游标卡尺千分尺物理天平秒表误差分布正态分布均匀分布正态分布正态分布正态分布C3333误差分布与置信系数误差分布与置信系数C的关系的关系现在学习的是第31页，共53页1）不确定度是正态分布或近似高斯分布）不确定度是正态分布或近似高斯分布2）测量值在）测量值在a-，a+的概率为的概率为1，在此范围外为，在此范围外为0，且测量值在，且测量值在a-，a+范围内均匀分布范围内均匀分布3）测量值在）测量值在a-，a+的中点处出现概率

23、最大，并呈三角形分布的中点处出现概率最大，并呈三角形分布现在学习的是第32页，共53页五五、总不确定度的合成总不确定度的合成测量结果测量结果:P=68.3%注意：注意：A、B类不确定度的合成时，两者概率需一致。类不确定度的合成时，两者概率需一致。现在学习的是第33页，共53页1）对于偶然误差为主的测量情况）对于偶然误差为主的测量情况略去略去B类不确定度类不确定度2）对于系统误差为主的测量情况）对于系统误差为主的测量情况略去略去A类不确定度类不确定度特例特例现在学习的是第34页，共53页六六、不确定度的展伸不确定度的展伸1 1、定义：、定义：、定义：、定义：扩大置信度（概率）的不确定度测量称为展

24、伸不确定度扩大置信度（概率）的不确定度测量称为展伸不确定度2、数学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式如：如：（p=68.3%）（p=95%）（p=99%）现在学习的是第35页，共53页v测量不确定度用测量不确定度用一位或二位一位或二位数表示。如果作为间接测量的一数表示。如果作为间接测量的一个中间结果（中间过程）不确定度最好用二位。首位逢个中间结果（中间过程）不确定度最好用二位。首位逢1,2的的可保留二位。可保留二位。对不保留数字一律对不保留数字一律“只进不舍只进不舍”，如，如 ux=0.32，取取0.4。v测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。对保测量值末位与不确定度末位相对齐来确定。

25、对保留数字末位采用留数字末位采用“4舍舍6入，入，5凑偶凑偶”规则。规则。如：如：测量结果平均值为测量结果平均值为测量结果平均值为测量结果平均值为2.1445cm2.1445cm，其标准不确定度计算为，其标准不确定度计算为，其标准不确定度计算为，其标准不确定度计算为0.0124cm0.0124cm直接测量结果不确定度书写表示直接测量结果不确定度书写表示注意事项注意事项测量结果为：测量结果为：测量结果为：测量结果为：2.1440.013cm2.1440.013cm现在学习的是第36页，共53页不确定度的其它表示不确定度的其它表示相对不确定度：相对不确定度：没有单位，用百分数表示，它更能没有单位，

26、用百分数表示，它更能反映测量的准确程度反映测量的准确程度所取位数所取位数0-10%取一位，首位逢取一位，首位逢1,2 可取二位可取二位10%-100%取取二二位位定义：表示不确定度ux在整个测量值 中所占百分比，用符号“E”来表示现在学习的是第37页，共53页例题一例题一1）用量程）用量程025mm，最小分度值为，最小分度值为0.01mm，最大允差为，最大允差为 0.004mm的螺旋测量微器测量钢丝的直径的螺旋测量微器测量钢丝的直径6次，数据如下：次，数据如下：D(mm):3.953,3.953,3.950,3.954,3.952,3.953,，求直径的，求直径的A,B类类不确定度，并完整表示

27、不确定度测量结果。不确定度，并完整表示不确定度测量结果。解：解：因测量次数为因测量次数为6次，查表得次，查表得t0.68=1.11，现在学习的是第38页，共53页总不确定度合成总不确定度合成D测量结果的不确定度表示测量结果的不确定度表示相对不确定度为相对不确定度为螺旋测量微器的误差为正态分布，螺旋测量微器的误差为正态分布，C=3现在学习的是第39页，共53页五、间接测量量不确定度的估算五、间接测量量不确定度的估算 表示间接测量值与各直接测量值之间的关系式称为不确定度传表示间接测量值与各直接测量值之间的关系式称为不确定度传递公式。递公式。对于间接测量值：对于间接测量值：对于间接测量值：对于间接测

28、量值：1）常用函数不确定度的算术合成）常用函数不确定度的算术合成p 绝对不确定度传递公式：绝对不确定度传递公式：p 相对不确定度传递公式：相对不确定度传递公式：例如：例如：N=A+B N=AB现在学习的是第40页，共53页2）常用函数不确定度的几何合成）常用函数不确定度的几何合成p 绝对不确定度传递公式绝对不确定度传递公式p 相对不确定度传递公式相对不确定度传递公式算术合成的不确定度传递公式简单但得到的是可能的最大偏差例如：例如：N=A+B N=AB现在学习的是第41页，共53页例题二例题二现在学习的是第42页，共53页1-3 有效数字及其运算有效数字及其运算一、有效数字一、有效数字定义：定义

29、：测量数据中所有可靠数字加上一位可疑数字统称为有效数字。？有效数字的最后一位是估读的，为可疑数字。虽然可疑数字有效数字的最后一位是估读的，为可疑数字。虽然可疑数字不是准确的，是误差所在的位，但仍反映了被测量大小的信不是准确的，是误差所在的位，但仍反映了被测量大小的信息，所以还是有意义的。息，所以还是有意义的。估读位前的几位数字都为可靠数字估读位前的几位数字都为可靠数字1.实验过程中记录应记几位数字？2.实验后，处理实验数据时数据运算后要保留几位数字？现在学习的是第43页，共53页有郊数字的认定有郊数字的认定1）在测量数据中）在测量数据中1、2、9九个数字，每个数字都九个数字，每个数字都为有效数

30、字为有效数字2）“0”是特殊数字，其认定应注意以下几种情况是特殊数字，其认定应注意以下几种情况v数字间的“0”为有效数字v数字后的“0”为有效数字v数字前的“0”不是有效数字，它只表示数量级的大小在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是在测量时，数据不能任意多写或少写，即便是“0”也一样也一样注意：注意：现在学习的是第44页，共53页总结总结1、有效数字的位数计算，从第一位不是、有效数字的位数计算，从第一位不是“0”的数的数字至最后一位字至最后一位2、在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单、在十进制单位中，有效数字的位数与十进制单位的变化无关位的变化无关例如：某长为例如：某长为1.34cm，

31、有效数字为，有效数字为3位位1.34cm=13.4mm=0.0134m（只是单位在变）（只是单位在变）现在学习的是第45页，共53页二、科学记数法标准式二、科学记数法标准式为计算的方便，对较大或较小的数值，常用为计算的方便，对较大或较小的数值，常用1010nn的形的形式来书写（式来书写（n n为正整数），为正整数），通常在小数点前面只写一位通常在小数点前面只写一位通常在小数点前面只写一位通常在小数点前面只写一位数字数字数字数字。如：如：如：如：3210003210001000m1000m1000m1000m采用科学记数为（采用科学记数为（采用科学记数为（采用科学记数为（3.210.013.21

32、0.013.210.013.210.01）101010105 5 5 5m m m m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m0.00015600.0000001m（1.5600.0011.5600.0011.5600.0011.5600.001）10 10 10 10-4-4-4-4m m m m三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结三、有效数字的位数多少，在一定程度上反映测量结果的准确度果的准确度果的准确度果的准确度有

33、效数字位数越多相对误差越小，准确度越大有效数字位数越多相对误差越小，准确度越大有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小有效数字位数越少相对误差越大，准确度越小现在学习的是第46页，共53页v 加减法则加减法则：加减运算所得结果的最后一位，保加减运算所得结果的最后一位，保留到所有参加运算的数中末位数留到所有参加运算的数中末位数数量级数量级最大的那最大的那一位为止一位为止例：例：217-14.8=202.2结果：结果：20271.32-0.8+6.3+271=347.82结果：结果：348三、有效数字的运算法则三、有效数字的运算法则三、有效数字的运算法则三、有效数字的运算法则现在学习的是第47页，

34、共53页v乘除法则乘除法则乘除法则乘除法则：积和商的位数与参与运算诸项中：积和商的位数与参与运算诸项中有效数有效数字位数最少字位数最少的那一项相同的那一项相同例：例：例：例：31.522.1=66.192结果：结果：667996.5=5193.5结果：结果：结果结果:现在学习的是第48页，共53页特殊情况：特殊情况：乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，若乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，若乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，若乘除运算时，参与运算中位数最少的数字，若首位是首位是首位是首位是“8 8”或或或或“9”时，计算结果可以时，计算结果可以时，计算结果可以时，计算结果可以多取一位多

35、取一位多取一位多取一位例如：例如：结果：结果：58.03现在学习的是第49页，共53页四、数值的修约规则四、数值的修约规则四、数值的修约规则四、数值的修约规则尾数的舍入法则尾数的舍入法则通常通常“小于小于5则舍则舍”，“大于大于5则入则入”，“等于等于5则凑则凑偶偶”即前一即前一位为奇数则进（奇进），以成偶数；若前位为奇数则进（奇进），以成偶数；若前一位为偶数则舍（偶舍）一位为偶数则舍（偶舍）例：例：注：注：2.51取一位有效数字，因为取一位有效数字，因为5后有一位后有一位1，满足大于，满足大于5法则，则进法则，则进现在学习的是第50页，共53页现在学习的是第51页，共53页现在学习的是第52

36、页，共53页统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立样本中独立或能自由变化的个数，称为该统计量的自由度或能自由变化的个数，称为该统计量的自由度.自由度计算公式：自由度自由度计算公式：自由度=样本个数样本个数-样本数据受约束条件的个数，即样本数据受约束条件的个数，即df=n-k（df自由度，自由度，n样本个数，样本个数，k约束条件个数）约束条件个数）当在估计总体的方差时，使用的是离差平方和。只要当在估计总体的方差时，使用的是离差平方和。只要n-1个数的离差平个数的离差平方和确定了，方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中方和确定了，方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中n-1个数的值，第个数的值，第n个数的值也就确定了。这里，均值就相当于一个限制条个数的值也就确定了。这里，均值就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，估计总体方差的自由度为件，由于加了这个限制条件，估计总体方差的自由度为n-1。现在学习的是第53页，共53页