第十二讲矩阵的初等行变换.ppt

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1、第十二讲矩阵的初等行变换现在学习的是第1页，共14页 矩矩阵阵的的初初等等变变换换是是矩矩阵阵的的一一种种十十分分重重要要的的运运算算 它它在在解解线线性性方方程程组组、求求逆逆阵阵及及矩矩阵阵理理论论的的探探讨讨中中都可起重要的作用都可起重要的作用 矩矩阵阵的的初初等等变变换换把把矩矩阵阵的的形形式式改改变变了了，但但他他的的一一些些内内涵涵并并没没有有改改变变。正正因因为为有有这这样样的的特特点点我我们们就就把把复复杂杂的的矩阵通过初等变换变成简单的形式研究，就会很方便。矩阵通过初等变换变成简单的形式研究，就会很方便。2现在学习的是第2页，共14页下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变

2、换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换的定义一、矩阵的初等变换的定义1.1.初等行变换初等行变换）；）；记作记作两行两行(1)(1)对调两行（对调对调两行（对调jrrji,i;0乘以某一行的所有元素乘以某一行的所有元素(2)(2)以数以数 k）记作记作行乘行乘（第第krkii,.）行上记作行上记作倍加到第倍加到第行的行的对应的元素上去对应的元素上去（第第倍加到另一行倍加到另一行 (3)(3)把某一行所有元素的把某一行所有元素的jikrrikjk+3现在学习的是第3页，共14页2.2.初等列变换：初等列变换：同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用所用记号是把记号是把“r”

3、换成换成“c”)”)3.3.初等变换：初等变换：矩阵的初等行变换和初等列变换，矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为统称为初等变换初等变换 如：如：问问:能写等号吗？不能，只能用能写等号吗？不能，只能用4现在学习的是第4页，共14页注：注：初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同的逆变换为的逆变换为变换变换变换变换的逆变换为的逆变换为变换变换的逆变换为的逆变换为5现在学习的是第5页，共14页6现在学习的是第6页，共14页二、矩阵的等价关系二、矩阵的等价关系 行等价行等价，记作记作与与就称矩阵就称矩阵，成矩阵成矩阵经有限次初等行变换变经有限次初等行变换

4、变如果矩阵如果矩阵BABABAr列等价，记作列等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，成矩阵成矩阵经有限次初等列变换变经有限次初等列变换变如果矩阵如果矩阵BABABAc 等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA7现在学习的是第7页，共14页等价关系的性质：等价关系的性质：(i)(i)反身性反身性 AA (ii)(ii)对称性对称性 若若 AB 则则 BA (iii)(iii)传递性传递性 若若 AB BC 则则AC 8现在学习的是第8页，共14页三、利用初等变换求矩阵的逆的方法三、利用初等变换求矩阵的逆的方法 设设n阶方阵阶

5、方阵A可逆，可按如下方法求可逆，可按如下方法求A的逆矩的逆矩阵：阵：.)(2 1-AEEAEAnn就变成就变成时，原来的时，原来的变成变成当把当把施行初等行变换，施行初等行变换，矩阵矩阵对对即即初等行变换初等行变换方法的证明在初等矩阵那一节给出方法的证明在初等矩阵那一节给出9现在学习的是第9页，共14页例例 设设求求解：解：注意：先把第一列变成单位向量，再把第二列变成注意：先把第一列变成单位向量，再把第二列变成单位向量。单位向量。10现在学习的是第10页，共14页解解:将将 元元化为化为1例例2.2.设设 ，求，求 .11现在学习的是第11页，共14页将将 元元化为化为1这已是阶梯形矩阵这已是

6、阶梯形矩阵,再再化为行最简形化为行最简形 特别要注意将元素化为零特别要注意将元素化为零的先后顺序的先后顺序.12现在学习的是第12页，共14页所以所以若矩阵不可逆，也可以用初等变换的方法判别出若矩阵不可逆，也可以用初等变换的方法判别出来。来。13现在学习的是第13页，共14页1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同初等行变换初等行变换小结小结:3.3.求求A-1的方法：的方法：2.2.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质;(1)(1)反身性反身性 ;(2)(2)对称性对称性 (3)(3)传递性传递性.14现在学习的是第14页，共14页