中考数学专题：等腰三角形与二次函数的分类讨论问题(解析版).docx

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1、专题30 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题1、如图，二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），它的对称轴是直线x1（1）直接写出点B，点C的坐标.（2）求这个二次函数的解析式（3）若点P在x轴上，且PBC为等腰三角形，请求出线段BC的长并直接写出符合条件的所有点P的坐标【答案】(1) B（-4,0）,C（0,4）;(2) y12x2x+4；(3)BC=42 ，P（0，0）或（4+42，0）或（442，0）或（4，0）.【解析】(1)解：由对称轴是直线x=-1,点A坐标为(2,0)，以及二次函数y=ax2+bx+4，易得B

2、（-4,0）C（0,4）(2)根据题意得，4a+2b+4=0-b2a=-1，解得，a=-12b=-1，二次函数的解析式y12x2x+4；（2）由（1）得B（4，0），C（0，4），BC（-4）2+4242；设P（m，0），B（4，0），C（0，4），BP2（m+4）2，CP2m2+16，PBC是等腰三角形，当BPCP时，（m+4）2m2+16，m0，P（0，0）当BPBC时，（m+4）232，m442，P（4+42，0）或（442，0）当CPBC时，m2+1632，m4或m4（舍去），P（4，0），即：符合条件的所有点P的坐标为P（0，0）或（4+42，0）或（442，0）或（4，0）.2、如

3、图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（2，0），（6，8）（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q试探究：当m为何值时，是等腰三角形【答案】（1）；B（8,0）；E（3，-4）；（2）（）或（）；（3）或.【解析】解：（1）抛物线经过点A（2，0），D（6，8），解得

4、抛物线的函数表达式为，抛物线的对称轴为直线又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（2，0）点B的坐标为（8，0）设直线l的函数表达式为点D（6，8）在直线l上，6k=8，解得直线l的函数表达式为点E为直线l和抛物线对称轴的交点点E的横坐标为3，纵坐标为，即点E的坐标为（3，4）（2）抛物线上存在点F，使点F的坐标为（）或（）（3）分两种情况： 当时，是等腰三角形点E的坐标为（3，4），过点E作直线ME/PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则，点M的坐标为（0，5）设直线ME的表达式为，解得，ME的函数表达式为，令y=0，得，解得x=15，点H的坐标为（15，0）又MH/PB，即，当时，是等腰

5、三角形 当x=0时，点C的坐标为（0，8），OE=CE，又因为，CE/PB设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为，解得，CE的函数表达式为，令y=0，得，点N的坐标为（6，0）CN/PB，解得综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q

6、，试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形【答案】(1)y12x23x8；B(8，0),E(3，4)；(2)m的值为83或323.【解析】（1）抛物线yax2bx8经过点A(2，0)，D(6，8)，将A、D两点的坐标代入得4a2b8=036a+6b8=8，解得a=12b=3，抛物线的函数表达式为y12x23x8；（2）需分两种情况进行讨论：当OPOQ时，OPQ是等腰三角形，如解图，图1点E的坐标为(3，4)，OE32+425，过点E作直线MEPB，交y轴于点M，交x轴于点H，则OMOPOEOQ，OMOE5，点M的坐标为(0，5)，设直线ME的函数表达式为yk1x5，E（3，-4）在直线ME上，

7、3k154，解得k113，直线ME的函数表达式为y13x5，令y0，解得x15，点H的坐标为(15，0)又MHPB，OPOMOBOH，即m5=815，m83；当QOQP时，OPQ是等腰三角形，如图，当x0时，y12x23x88，点C的坐标为(0，8)，CE32+(8-4)25，OECE，12，又QOQP，13，23，CEPB.设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为yk2x8，E（3，-4）在直线CE上，3k284，解得k243，直线CE的函数表达式为y43x8，令y0，得43x80，x6，点N的坐标为(6，0)CNPB.OPOCOBON，m886，解得m323.综上所述，当m的值为83或323

8、时，OPQ是等腰三角形4、如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为（1）求抛物线的解析式；（2）求线段所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)【解析】（1）将点代入中，得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）当时，点C的坐标为(0，4) ，当时，解得： ，点B的坐标为(6，0) ，设直线BC的解析式为，将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：，直线BC的解析式为，（3）抛物线的对称轴为，假设存在点P，设，则

9、，ACP为等腰三角形，当时，解之得：，点P的坐标为(2，2)或(2，-2)；当时，解之得：或(舍去)，点P的坐标为(2，0)或(2，8)，设直线AC的解析式为，将点A(-2，0)、C (0，4)代入得，解得：，直线AC的解析式为，当时，点(2，8)在直线AC上，A、C、P在同一直线上，点(2，8)应舍去；当时，解之得：，点P的坐标为(2，)；综上，符合条件的点P存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)5、已知抛物线yax2bxc经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长

10、最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx22x3（2）P的坐标(1，2)（3）存在点M的坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0)【方法引导】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点（3）由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MAAC、MAMC、ACMC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再

11、按上面的三种情况列式求解【解析】（1）A(1，0)、B(3，0)经过抛物线yax2bxc，可设抛物线为ya（x1）（x3）又C(0，3) 经过抛物线，代入，得3a（01）（03），即a=1抛物线的解析式为y（x1）（x3），即yx22x3（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P 则此时的点P，使PAC的周长最小设直线BC的解析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：直线BC的函数关系式yx3当x1时，y2，即P的坐标(1，2)（3）存在点M的坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0)抛物线的对称轴为： x=1，设M(1，m)A(1，0)、C(0，3)，MA2m24，

12、MC2m26m10，AC210若MAMC，则MA2MC2，得：m24m26m10，得：m1若MAAC，则MA2AC2，得：m2410，得：m若MCAC，则MC2AC2，得：m26m1010，得：m0，m6，当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0)【方法总结】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解6、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过

13、点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； （3）如图，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）. 【解析】解：（1）如图1，设

14、抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），OE平分AOB，AOB=90，AOE=45，AOE是等腰直角三角形，AE=OA=3，E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PGy轴，交OE于点G，G（m，m），PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，S四边形AOPE=SAOE+SPOE，=33+PGAE，=+3（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，-0，当m=时，S有最大值是；（3）如图3，过

15、P作MNy轴，交y轴于M，交l于N，OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得OMPPNF，OM=PN，P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，P的坐标为（，）或（，）；如图4，过P作MNx轴于N，过F作FMMN于M，同理得ONPPMF，PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；P的坐标为（，）或（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）7、如图，已知：二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（3，0），与y轴交于点C，点D（2，3）在抛物线上（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA

16、+PD的最小值；（3）若抛物线上有一动点M，使ABM的面积等于ABC的面积，求M点坐标（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）yx2+2x3；（2）32；（3）点M的坐标为（17，3），（1+7，3），（2，3）；（4）存在；点Q的坐标为（1，6），（1，6），（1，0），（1，6），（1，1）【解析】解：（1）将A（3，0），D（2，3）代入yx2+bx+c，得：93b+c042b+c3，解得：b=2c=3，抛物线的表达式为yx2+2x3（2）当y0时，x2+2x30，解得：x13，x21，点B的坐标为（1，0）连

17、接BD，交抛物线的对称轴于点P，如图1所示PAPB，此时PA+PD取最小值，最小值为线段BD的长度点B的坐标为（1，0），点D的坐标为（2，3），BD(21)2+(30)232，PA+PD的最小值为32（3）当x0时，yx2+2x33，点C的坐标为（0，3）设点M的坐标为（x，x2+2x3）SABMSABC，|x2+2x3|3，即x2+2x60或x2+2x0，解得：x117，x21+7，x32，x40（舍去），点M的坐标为（17，3），（1+7，3），（2，3）（4）设点Q的坐标为（1，m）点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），CQ2（10）2+m（3）2m2+6m+10，BQ2（1

18、1）2+（m0）2m2+4，BC2（01）2+（30）210分三种情况考虑（如图2所示）：当BQBC时，m2+410，解得：m16，m26，点Q1的坐标为（1，6），点Q2的坐标为（1，6）；当CQCB时，m2+6m+1010，解得：m30，m46，点Q3的坐标为（1，0），点Q4的坐标为（1，6）；当QBQC时，m2+4m2+6m+10，解得：m51，点Q5的坐标为（1，1）综上所述：抛物线的对称轴上存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为（1，6），（1，6），（1，0），（1，6），（1，1）8、如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）

19、求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，.【解析】解：（1）二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函数的解析式为：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图， 设D（m，），则点F（m，），DF=（）=，SADE=S

20、ADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，当m=时，ADE的面积取得最大值为 （3）y=的对称轴为x=1，设P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（1，1）； 当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（1，）； 当PE=AE时，=，解得：n=2，此时点P坐标为：（1，2） 综上所述：P点的坐标为：（1，1），（1，），（1，2）9、如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线yx2bxc经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中

21、点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线yx2bxc交于第四象限的F点（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动过点P作PHOA，垂足为H，连接MP，MH设点P的运动时间为t秒问EPPHHF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由若PMH是等腰三角形，求出此时t的值【答案】（1）yx22x3，F(6，-3) （2） 有，t=3；，1，【解析】解：（1）矩形ABCO，B点坐标为（4，3）C点坐标为（0，3）抛物线yx2bxc经过矩形ABCO的顶点B、

22、Cyx22x3设直线AD的解析式为A(4，0)、D(2，3) F点在第四象限，F(6，-3)（2）E(0，6) CE=CO连接CF交x轴于H，过H作x轴的垂线交BC于P，当P运动到P，当H运动到H时， EP+PH+HF的值最小.设直线CF的解析式为C(0，3)、F(6，-3) 当y=0时，x=3，H(3，0) CP=3 t=3如图1，过M作MNOA交OA于NAMNAEO，AN=t，MN=I如图1，当PM=HM时，M在PH的垂直平分线上，MN=PH MN=t=1II如图2，当PH=HM时，MH=3，MN=，HN=OA-AN-OH=4-2t 在RtHMN中，（舍去），III如图3如图4，当PH=P

23、M时，PM=3，MT=，PT=BC-CP-BT=在RtPMT中，25t2-100t+64=0，1，10、如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PHx轴于点H，与BC交于点M，连接PC设点P的横坐标为t求线段PM的最大值；SPBM：SMHB1：2时，求t值；当PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标【答案】（1）（1，4）（2）9412当PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（32，2+42）或（1，4）【解析】（1）

24、将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入yax2+bx+c，得：ab+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=1b=2c=3，二次函数的表达式为yx2+2x+3yx2+2x+3（x1）2+4，二次函数图象的顶点坐标为（1，4）（2）设直线BC的表达式为ymx+n（m0），将B（3，0），C（0，3）代入ymx+n，得：3m+n=0n=3，解得：m=1n=3，直线BC的表达式为yx+3点P的横坐标为t（0t3），点P的坐标为（t，t2+2t+3），点M的坐标为（t，t+3），PMt2+2t+3（t+3）t2+3t（t32）2+94，线段PM的最大值为94 点P的坐标为（t，t2+2t+3）

25、，点M的坐标为（t，t+3），点H的坐标为（t，0），PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，MHt+3PBM和MHB等高，SPBM：SMHB1：2，MH2PM，即t+32t2+6t，解得：t112，t23（不合题意，舍去），当SPBM：SMHB1：2时，t的值为12点P的坐标为（t，t2+2t+3），点M的坐标为（t，t+3），点C的坐标为（0，3），PMt2+2t+3（t+3）t2+3t，CM(t0)2+(t+33)2=2t，PC(t0)2+(t2+2t+33)2=tt24t+5当PMPC时，有t2+3ttt24t+5，0t3，原方程可整理为：2t40，解得：t2，点P的坐标为（2，3）；

26、当PMCM时，有t2+3t2t，解得：t10（舍去），t232，点P的坐标为（32，2+42）；当CMPC时，有2ttt24t+5，0t3，原方程可整理为：t24t+30，解得：t11，t23（舍去），点P的坐标为（1，4）综上所述：当PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（32，2+42）或（1，4）11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数a0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点点D出发沿线段DB向终点B运动（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EFy轴于点F，

27、交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HPx轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值 【答案】（1）抛物线y=-x2+2x+3，顶点D为（1，4）（2）G点的坐标（，）（3）存在3个t值：t=，【解析】解：(1)由题意得解得，抛物线y=x2+2x+3，顶点D为(1,4)；(2)如图，连接OH，EFy轴，HPx轴，x轴y轴，四边形HPOF是矩形，PF=OH，当OH最短时，PF最短，OHBC时，PF最短，可得H的纵坐标为，把y=代入y=x2+2x+3中，则=x2+2x+3，解得x1=,x2= (舍去)；G点的坐标(，)（3）如图，DB=2，yBD=-2x+6，即点E坐标为（，）,Q(3，t) 当BE=BQ时，2-t=t t=；当BE=EQ时(2-t)2=(+(,当BQ=EQ时 t2=(+( , 所以存在3个t值：t=，