中考数学专题：圆的基本性质在二次函数中的综合问题(解析版).docx

《中考数学专题：圆的基本性质在二次函数中的综合问题(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题：圆的基本性质在二次函数中的综合问题(解析版).docx（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题38 圆的基本性质在二次函数中的综合问题1、已知抛物线yx2+mx2m4（m0）（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在P上试判断：不论m取任何正数，P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；若点C关于直线x=m2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，BDE的周长记为l，P的半径记为r，求lr的值【答案】（1）证明见解析；（2）定点F的坐标为（0，1）；10+655【解析】（1）令y0，则x2+mx2m40，m242m4m2+8m+16，m0，

2、0，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）令y0，则x2+mx2m40，（x2）x+（m+2）0，x2或x（m+2），A（2，0），B（m+2），0），OA2，OBm+2，令x0，则y2（m+2），C（0，2（m+2），OC2（m+2），通过定点（0，1）理由：如图，点A，B，C在P上，OCBOAF，在RtBOC中，tanOCB=OBOC=m+22（m+2）=12，在RtAOF中，tanOAF=OFOA=OF2=12，OF1，点F的坐标为（0，1）；如图1，由知，点F（0，1）D（0，1），点D在P上，点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，DCE90，DE是P的直径，DBE90，BEDOCB

3、，tanBED=12，设BDn，在RtBDE中，tanBED=BDBE=nBE=12，BE2n，根据勾股定理得：DE=BD2+BE2=5n，lBD+BE+DE（3+5）n，r=12DE=52n，lr=（3+5）n52n=10+6552、如图，已知抛物线的顶点为点P，与y轴交于点B点A坐标为（3，2）点M为抛物线上一动点，以点M为圆心，MA为半径的圆交x轴于C，D两点（点C在点D的左侧） （1）如图，当点M与点B重合时，求CD的长；（2）当点M在抛物线上运动时，CD的长度是否发生变化？若变化，求出CD关于点M横坐标x的函数关系式；若不发生变化，求出CD的长；（3）当ACP与ADP相似时，求出点C

4、的坐标【答案】（1） CD=4；（2）不发生变化，CD=4；（3）点C坐标为：（1,0），【解析】（1）如图：连结BC，BD， 由题意得：，（3，2），CD=2OC=4；（2）如图：作MHx轴，连结MA，MC， 设，则半径，=，MHCD，CD=2CH=4，（3）当APCAPD，即全等时，PC=PD，P与M重合，P（3，0），CD=4，C（1，0）如图，点M在点P的左侧， APCDPA，设PC=x，x（x-4）=4，解得（舍去负值），如图，点M在点P的右侧 APCDPA，设PC=x，x（x+4）=4，解得（舍去负值），综上所述，点C坐标为：C（1，0）；3、已知抛物线 C1：yax2 过点（2，

5、2）(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图，ABC 的三个顶点都在抛物线C1 上，且边 AC 所在的直线解析式为yx+b，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC2BD的值；(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C1 上一动点，以 PQ 为直径作M，直线 yt 与M 相交于 H、K 两点是否存在实数 t，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=12x2 ;(2)16;(3)见解析.【解析】（1）把点（2，2）坐标代入yax2，解得：a12，抛物线的解析式为yx2；（2）把yx+b和y12x2得：x22x2b0，

6、设A、C 两点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则：x1+x22，x1x22b，点D坐标为（x1+x22，y1+y22），即D（1，b），B坐标为（1，12），AC22（x2x1）216b+8，BD12+b，AC2BD16；(3)设点Q坐标为（a，12a2），点P的坐标为（0，2），由 P、Q坐标得点M的坐标为（a2，14a2+1），设圆的半径为 r，由P（0，2）、M 两点坐标可得r2a24+（14a21）2116a414a2+1，设点M到直线yt的距离为d，则d2（a2+1t）116a4+12a2+1+t22t12a2t，则 HK2r2d22(12t34)a2+2tt2，当12t34

7、0 时，HK为常数，t32，HK34、已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，如图1，直角三角板MON中，OM=ON=3，OQ=1，直线l过点N和点N，抛物线y=ax2+233x+c过点Q和点N（1）求出该抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线y=ax2+233x+c上的一个动点初步尝试若点P在y轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P作PAy轴于点A，问：是否存在点P，使得以N、P、A为顶点的三角形与ONQ相似若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；深入探究若点P在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ，与直线MN交于点G，以QG为直径的圆交QN于点H，交x轴于点R，连结HR，求线段HR

8、的最小值【答案】（1）y=33x2+233x+3（2）（1，433）、（3，0）、（5，43）32+64 【解析】（1）由题意可知，Q（1，0），N（0，3），c=3，即y=ax2+233x+3，将Q（1，0）代入解析式得0=a233+3，解得a=33，抛物线解析式是y=33x2+233x+3；（2）分三种情况，如图2，情况一：点P在第一象限时，APNONQ，设AN=m，则AP=3m，则P的坐标（3m，m+3），而点P在抛物线上，代入可得m+3=33（3m）2+233（3m）+3，解得m=33，P1（1，433）；情况二：点P恰好在x轴上，P2（3，0），情况三：P在第四象限内，同情况一方法可

9、解得P3（5，43），连结CH和CR，如图3，NQ0=60，HCR=120，CH=CR，HR=3CH，HR最小时，只需要半径最小，即直径最小即可，过Q作NM的垂线，垂直时，QG最小，用面积法求出，QG=6+22，HR最小值=32+645、如图，抛物线yax22ax+m的图象经过点P（4，5），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且SPAB10（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点Q使得PAQ和PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D点坐标及四边形PACD的周长【答案】（1）yx22x

10、3；（2）点Q的坐标为：（2，5）或（，）；（3）6+4【思路引导】（1）因为抛物线yax22ax+m，函数的对称轴为：x1，SPAB10AByPAB5，解得AB=4，即可求解；（2）分A、B在点Q（Q）的同侧；点A、B在点Q的两侧两种情况，分别求解即可；（3）过点P作POx轴于点O，则点O（4，0），则AOPO5，而CO5，故圆O是过A、P、C三点的圆，即可求解【详解】解：（1）yax22ax+m，函数的对称轴为：x1，SPAB10AByPAB5，解得：AB4，故点A、B的坐标分别为：（1，0）、（3，0），抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3），将点P的坐标代入上式并解得：a1，故抛物线

11、的表达式为：yx22x3；（2）当A、B在点Q（Q）的同侧时，如图1，PAQ和PBQ的面积相等，则点P、Q关于对称轴对称，故点Q（2，5）；当A、B在点Q的两侧时，如图1，设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，PAQ和PBQ的面积相等，则AMBN，而BENAEM，AMEBNE90，AMEBNE（AAS），AEBE，即点E是AB的中点，则点E（1，0），将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PQ的表达式为：yx，联立并解得：x或4（舍去4），故点Q（，），综上，点Q的坐标为：（2，5）或（，）；（3）过点P作POx轴于点O，则点O（4，0），则AOPO5，而CO5，

12、故圆O是过A、P、C三点的圆，设点D（m，m22m3），点O（4，0），则DO5，即（m4）2+（m22m3）225，化简得：m（m+1）（m1）（m4）0，解得：m0或1或1或4（舍去0，1，4），故：m1，故点D（1，4）；四边形PACD的周长PA+AC+CD+PD【方法总结】本题考查了二次函数与三角形面积、三点共圆、四边形的周长、长度公式，综合性较强，灵活运用二次函数的知识是解题的关键.6、如图，一次函数y=2x与反比例函数y=(k0)的图象交于A、B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若AO=，求k的值；（2）若OQ长的最大值为，求k的值；（3）若过

13、点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：a+b+c=0；当axa+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值【答案】（1）2；（2）；（3）a的值为-3或2或-4或1【解析】（1）设A(m，n)，AO=，m2+n2=5，一次函数y=2x的图象经过A点，n=2m，m2+(2m)2=5，解得m=1，A在第一象限，m=1，A(1，2)，点A在反比例函数y=(k0)的图象上，k=12=2；（2）如图，连接BP，由对称性得：OA=OB，Q是AP的中点，OQ=BP，OQ长的最大值为，BP长的最大值为2=3，如图2，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BDx轴于D，CP=1，BC=2，B在

14、直线y=2x上，设B(t，2t)，则CD=t-(-2)=t+2，BD=-2t，在RtBCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2，22=(t+2)2+(-2t)2，t=0(舍)或-，B(-，-)，点B在反比例函数y=(k0)的图象上，k=-(-)=；（3）抛物线经过点C(-2，0)，4a-2b+c=0，又a+b+c=0，b=a，c=-2a，y=ax2+ax-2a=a(x+)2-a，-axa+1或axa+1-，当x=a时，取得最大值4a，则aa2+aa-2a=4a，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a，则a(a+1)2+a(a+1)-2a=4a，解得a=-4或1，综上所述所求a的值

15、为-3或2或-4或17、对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线yx+3的一对关联点（1）请写出反比例函数y6x的图象上的一对关联点的坐标： ；（2）抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x1，与y轴交于点C（0，1）点A，B是抛物线yx2+bx+c的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）求A，B两点坐标（3）T的半径为3，点M，N是T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m1），请直接写出m的取值范围【答案】（1）（2，3），（

16、3，2）（2）A，B两点坐标为（1，2）和（2，1）（3）1m1+32【解析】解：（1）23326，点（2，3），（3，2）是反比例函数y6x的图象上的一对关联点故答案为：（2，3），（3，2）（2）抛物线yx2bxc的对称轴为直线x1，b21，解得：b2抛物线yx2bxc与y轴交于点C（0，1），c1，抛物线的解析式为yx22x1由关联点定义，可知：点A，B关于直线yx对称又直线AB与x轴交于点D（1，0），直线AB的解析式为yx1联立直线AB及抛物线解析式成方程组，得：yx1yx22x1，解得：x1=1y1=2，x2=1y2=2，A，B两点坐标为（1，2）和（2，1）（3）由关联点定义，可

17、知：点M，N关于直线yx对称，T的圆心在直线yx上T的半径为3，M1M2222332，m的取值范围为1m132.8、已知：直线y=-x-4分别交x、y轴于A、C两点，点B为线段AC的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、B两点，（1）求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作D，连结AD、CD，问在抛物线上是否存在点P，使SACP=2SACD？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若E为D上一动点(不与A、O重合)，连结AE、OE，问在x轴上是否存在点Q，使ACQ：AEO=2：3？若存在，请求出所有满足条件的点Q的

18、坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x2+2x；（2）P坐标为(-3-，7+)或(-3+，7-)；（3）Q坐标为(4-8，0)、(-4-8，0)、(4，0)【解析】解：（1）直线y=-x-4中，y=0时，x=-4；x=0时，y=-4，A(-4，0)，C(0，-4)，点B为AC中点，B(-2，-2)，抛物线y=ax2+bx经过A、B两点， ，解得：，抛物线的函数关系式为y=x2+2x（2）在抛物线上存在点P使SACP=2SACD如图1，连接AD并延长交y轴于点F，y=x2+2x=(x-2)2-2，点B为抛物线的顶点，点D为点B关于x轴的对称点，D(-2，2)在抛物线的对称轴上，DA=DO

19、，DAO=DOA=45，OA=OC=4，AOC=90，OAC=45，DAC=DAO+OAC=90，SACD=ACAD，AOF=90，AF为D直径，即点F在D上，AF=2AD，OF=OA=4即F(0，4)，SACP=2SACD=2ACAD=AC2AD=ACAF，点P在过点F且平行于直线y=-x-4的直线上，直线PF解析式为y=-x+4， 解得：；点P坐标为(-3-，7+)或(-3+，7-)；（3）在x轴上存在点Q使ACQ：AEO=2：3OAD=ODA=45，ADO=90，点E在D上且不与A、O重合，ACQ：AEO=2：3如图2，当点E在优弧AO上时，AEO=ADO=45，ACQ=AEO=30，过

20、点Q作QG垂直直线AC于点G，设QG=t，RtCQG中，CQ=2QG=2t，CG=QG=tGAQ=OAC=45，RtAGQ中，AG=QG=t，AQ=QG=ti)若点Q在线段AO上时，如图2：则AC=AG+CG=t+t=4，解得：t=2-2，AQ=，xQ=-4+4-4=4-8；ii)若点Q在线段OA延长上时，如图3：则AC=CG-AG=t-t=4，解得：，AQ=，xQ=-4-(4+4)=-4-8，当点E在劣弧AO上时，AEO=(360-ADO)=135，ACQ=AEO=90CAO=45，ACO是等腰直角三角形，Q点与A点对称，A (-4，0)xQ=4综上所述：满足条件的点Q有三个，坐标分别为(4

21、-8，0)、(-4-8，0)、(4，0)9、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(8,0)，B点坐标为(2,0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与P的关系，并说明理由【答案】（1）14x2+32x4；（2）直线MC与P相切，理由见解析【解析】解：（1）连接AC、BC；AB是P的直径，ACB=90，即ACO+BCO=90，BCO+CBO=90，CBO=ACO，AOC=BOC=90，AOCCOB，AOOC=OCOB，OC2=OAOB=16，OC=4，故C(0，4)，设抛物线的解析式为：

22、y=a(x+8)(x2)，代入C点坐标得：a(0+8)(02)=4，a=14，故抛物线的解析式为：y=14(x+8)(x2)=14x2+32x4；(2)由(1)知：y=14x2+32x4=14(x+3)2254；则M(3，254)，又C(0，4)，P(3，0)，MP=254，PC=5，MC=154，MP2=MC2+PC2，即MPC是直角三角形，且PCM=90，故直线MC与P相切10、已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（3，0），过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD（1）求抛物线的表达式；（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分ACQ，请求出

23、点Q的坐标；（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NGy轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿CAD运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）直线CE的表达式为y=43x43；（2）点Q的坐标为（13，89）；（3）弦GH的最大值81580；（4）存在，t的值为3或7【解析】解：（1）抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（3，0），a+b49a3b0 ，解得：a=1,b=3,抛物线的表达式为y=x2

24、+3x（2）当y=4时，有x2+3x=4，解得：x1=4，x2=1，点C的坐标为（4，4），AC=1（4）=5A（1，4），D（4，0），AD=5取点E（1，0），连接CE交抛物线于点Q，如图1所示AC=5，DE=4（1）=5，ACDE，四边形ACED为平行四边形，AC=AD，四边形ACED为菱形，CD平分ACQ设直线CE的表达式为y=mx+n（m0），将C（4，4）、E（1，0）代入y=mx+n，得：4m+n4m+n0 ，解得：m=43n=43，直线CE的表达式为y=43x43联立直线CE与抛物线表达式成方程组，得：y=43x43y=x2+3x ，解得：x1=4y1=4,x2=13y2=89

25、 ，点Q的坐标为（13，89）（3）设直线CD的表达式为y=kx+c（k0），将C（4，4）、D（4，0）代入y=kx+c，得：4k+c44k+c0 ，解得：k=12c=2 ，直线CD的表达式为y=12x+2设点N的坐标为（x，x2+3x），则点G的坐标为（x，12x+2），NG=12x+2（x2+3x）=x272x+2=（x+74）2+8116，10，当x=74时，NG取最大值，最大值为8116以NG为直径画O，取GH的中点F，连接OF，则OFBC，如图2所示直线CD的表达式为y=12x+2，NGy轴，OFBC，tanGOF=GFOF=12，GFOG=112+22=55，GH=2GF=255

26、 OG=55NG，弦GH的最大值为558116=81580（4）取点E（1，0），连接CE、AE，过点E作EP1AC于点P1，交CD于点M1，过点E作EP2AD于点P2，交CD于点M2，如图3所示四边形ACED为菱形，点A、E关于CD对称，AM=EMACx轴，点A的坐标为（1，4），EP1=4由菱形的对称性可知EP2=4点E的坐标为（1，0），点P1的坐标为（1，4），CP1=DP2=1（4）=3，又AC=AD=5，t的值为3或711、如图，在平面直角坐标系中，点A(10,0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CDx轴于点D，交线段OB于

27、点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点(1)OBA=_(2)求抛物线的函数表达式(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？【答案】(1)90;(2)y=18x2+54x;(3) 以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个【解析】解：(1)90；(2)连接OC，如图1所示，由(1)知OBAC，又AB=BC，OB是AC的垂直平分线，OC=OA=10，在RtOCD中，OC=10，CD=8，OD=6，C(6,8)，B(8,4)OB所在直线的函数关系为y=12x，又E点的横坐标为6，E点

28、纵坐标为3，即E(6,3)，抛物线过O(0,0)，E(6,3)，A(10,0)，设此抛物线的函数关系式为y=ax(x10)，把E点坐标代入得：3=6a(610)，解得a=18此抛物线的函数关系式为y=18x(x10)，即y=18x2+54x；3设点Pp,18p2+54p，若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，OP所在直线函数关系式为：y=18p+54x当x=6时，y=34p+152，即Q点纵坐标为34p+152，QE=34p+1523=34p+92，S四边形POAE =SOAE+SOPE =SOAE+SOQESPQE =12OADE+12QEOD12QEPx=12103+1234p

29、+9261234p+926p，=38p2+94p+15，若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，P(p,18p2+54p)，A(10,0)设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，10k+b=0pk+b=18p2+54p，解得k=18pb=54pAP所在直线方程为：y=18px+54p，当x=6时，y=18p6+54p=12P，即Q点纵坐标为12P，QE=12P3，S四边形POAE=SOAE+SAPE =SOAE+SAQESPQE =12OADE+12QEDA12QE(Px6)=12103+12QE(DAPx+6)=15+12(12p3)(10p)=14p2+4p =14(p8)2+16，当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令38p2+94p+15=16，解得，p=3573，当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个