第2讲 函数精选文档.ppt

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1、第2讲函数本讲稿第一页，共二十三页 （2 2）点（）点（a a,b b）在映射）在映射f f的作用下的象是（的作用下的象是（a a-b b,a a+b b），则在），则在f f作用下点（作用下点（3 3，1 1）的原象为点）的原象为点 .2.2.函数的概念函数的概念 A A、B B是两个非空数集，若是两个非空数集，若f f是是A A到到B B的一个映射，则的一个映射，则 称称f f是是A A到到B B的一个函数的一个函数.显然显然A A是定义域，是定义域，f f是对应是对应 法则，而值域应为集合法则，而值域应为集合B B的一个子集的一个子集.如若函数如若函数 的定义域、值域都是闭区的定义域、值

2、域都是闭区 间间2,22,2b b，则，则b b=.2 2（2 2，-1-1）本讲稿第二页，共二十三页3.3.同一函数的概念同一函数的概念 构成函数的三要素是定义域、值域和对应法则构成函数的三要素是定义域、值域和对应法则.而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此 当两个函数的定义域和对应法则相同当两个函数的定义域和对应法则相同 时，它们一定为同一函数时，它们一定为同一函数.4.4.求函数定义域的常用方法求函数定义域的常用方法 （1 1）根据函数解析式，求使解析式有意义的所有）根据函数解析式，求使解析式有意义的所有 的的x x的值的值.（2 2）根据实际问

3、题的要求确定自变量的取值范围）根据实际问题的要求确定自变量的取值范围.本讲稿第三页，共二十三页5.5.求函数值域的方法求函数值域的方法 （1 1）配方法；（）配方法；（2 2）换元法；（）换元法；（3 3）分离常数法；）分离常数法；（4 4）单调性法；（）单调性法；（5 5）函数有界性法；（）函数有界性法；（6 6）数形）数形 结合法；（结合法；（7 7）不等式法；（）不等式法；（8 8）导数法）导数法.6.6.函数的奇偶性函数的奇偶性 （1 1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域 必须关于原点对称必须关于原点对称.为此确定函数的奇偶性时，务为此确定

4、函数的奇偶性时，务 必先判定函数定义域是否关于原点对称必先判定函数定义域是否关于原点对称.如若函数如若函数 f f(x x)=2sin(3)=2sin(3x x+),+),x x2 -5 ,3 2 -5 ,3 为奇函数，为奇函数，其中其中(0,2 )(0,2 )，则，则 的值是的值是 .(2)(2)确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解 析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）.0 0本讲稿第四页，共二十三页 定义法：如判断函数定义法：如判断函数 的奇偶性为的奇偶性为 .利用函数奇偶性定义的等价形式：利用函数奇偶

5、性定义的等价形式：f f(x x)f f(-(-x x)=0)=0或或 1(1(f f(x x)0).)0).如判断如判断f f(x x)=)=的奇偶性为的奇偶性为 .图象法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数 的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称.（3 3）函数奇偶性的性质）函数奇偶性的性质 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的 区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.奇函数奇函数偶函数偶函数

6、本讲稿第五页，共二十三页 若若f f(x x)为偶函数，则为偶函数，则f f(-(-x x)=)=f f(x x)=)=f f(|(|x x|).|).如若定如若定 义在义在R R上的偶函数上的偶函数f f(x x)在（在（-，0 0）上是减函数，）上是减函数，且且 则不等式则不等式 的解集为的解集为 .若奇函数若奇函数f f(x x)的定义域中含有的定义域中含有0 0，则必有，则必有f f(0)=0.(0)=0.故故f f(0)=0(0)=0是是f f(x x)为奇函数的既不充分也不必要条件为奇函数的既不充分也不必要条件.如若如若 为奇函数，则实数为奇函数，则实数a a=.1 1本讲稿第六页

7、，共二十三页 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或一个奇函数与一个偶函数的和（或 差）差）”.”.如设如设f f(x x)是定义域为是定义域为R R的任一函数，的任一函数，F F（x x）则则F F（x x）为偶函）为偶函 数，数，G G（x x）为奇函数）为奇函数.如若将函数如若将函数f f(x x)=lg(10)=lg(10 x x+1),+1),表示成一个奇函数表示成一个奇函数g g(x x)和一个偶函数和一个偶函数h h(x x)之和，则之和，则 g g(x x)=)=.7.7.单调性单调性

8、 （1 1）对于定义域内某一区间）对于定义域内某一区间D D内任意的内任意的x x1 1,x x2 2，且，且 x x1 1 x x2 2 f f(x x1 1)f f(x x2 2)f f(x x)在在D D上单调递减上单调递减.本讲稿第七页，共二十三页 注意定义的如下两种等价形式：注意定义的如下两种等价形式：设设x x1 1,x x2 2a a,b b，那么：，那么：在在a a,b b上是增函数，上是增函数，在在 a a,b b 上是减函数上是减函数.（x x1 1-x x2 2）f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)0(0(0)f f(x x)在在a a,b b 上是增函数（

9、减函数）上是增函数（减函数）.需要指出的是：需要指出的是：的几何意义是：增（减）函数的几何意义是：增（减）函数 的图象任意两点（的图象任意两点（x x1 1,f f(x x1 1)）,(,(x x2 2,f f(x x2 2)连线的斜连线的斜 率都大于（小于）零率都大于（小于）零.（2 2）复合函数的单调性：）复合函数的单调性：“同增异减同增异减”.”.如函数如函数y y=loglog(-(-x x2 2+2+2x x)的单调递增区间是的单调递增区间是 .（1 1，2 2）本讲稿第八页，共二十三页8.8.函数的图象函数的图象 （1 1）平移变换（左）平移变换（左“加加”右右“减减”，上，上“加

10、加”下下“减减”）.（2 2）伸缩变换）伸缩变换.(3)(3)对称变换对称变换.如：如：0 1,0 1 1，缩，缩y y=f f(x x),),00A A1,11，伸，伸y y=AfAf(x x).).x x轴轴y y=f f(x x)y y=-=-f f(x x),y y=f f(x x)直线直线x x=a ay y=f f(2(2a a-x x),y y=f f(x x)原点原点y y=-=-f f(-(-x x),本讲稿第九页，共二十三页 如如要得到要得到y y=lg(3-=lg(3-x x)的图象，只需作的图象，只需作y y=lg=lgx x关于关于 轴对称的图象轴对称的图象,再向再向

11、 平移平移3 3个单位而得到个单位而得到.函数函数f f(x x)=)=x xlg(lg(x x+2)-1+2)-1的图象与的图象与x x轴的交点个轴的交点个 数有数有 个个.9.9.二次函数二次函数 二次函数的三种表示形式二次函数的三种表示形式 （1 1）一般式：）一般式：y y=axax2 2+bxbx+c c(a a0);0);y y=f f(x x)保留保留y y轴右边图象轴右边图象,并作其关于并作其关于y y轴对称图象轴对称图象y y=f f(x x),去掉去掉y y轴左边图象轴左边图象y y=f f(x x)保留保留x x轴上方图象轴上方图象把把x x轴上方图象翻折上去轴上方图象翻

12、折上去y y=f f(x x),y y2 2右右本讲稿第十页，共二十三页 (2)(2)顶点式顶点式:y y=a a(x x-m m)2 2+n n(a a0)0)，其中，其中(m m,n n)为图为图 象顶点；象顶点；（3 3）两根式：）两根式：y y=a a(x x-x x1 1)()(x x-x x2 2)()(a a0)0)，其中，其中x x1 1,x x2 2 为方程为方程f f(x x)=)=axax2 2+bxbx+c c=0(=0(a a0)0)的两根，即为图象的两根，即为图象 与与x x轴的两交点的横坐标轴的两交点的横坐标.10.10.指数函数、对数函数指数函数、对数函数 （1

13、 1）指数与对数运算性质）指数与对数运算性质指数指数对数对数性性质质a am ma an n=a am m+n n =a am-nm-n,(,(a am m)n n=a amnmn(a a0,0,a a1)1)logloga a(MNMN)=log)=loga aMM+log+loga aN Nlogloga a()=log()=loga aMM-log-loga aN Nlogloga aMMn n=n nlogloga aMM(a a00，且，且a a1)1)本讲稿第十一页，共二十三页 对数性质：对数性质：logloga aa a=1;log=1;loga a1=0;01=0;0和负数没有

14、对数和负数没有对数.对数恒等式：对数恒等式：=N N(N N0).0).对数换底公式：对数换底公式：logloga aN N=推论：推论：（2 2）指数函数与对数函数的图象与性质）指数函数与对数函数的图象与性质 可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况 考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数另外，指数函数y y=a ax x的图象恒过定点（的图象恒过定点（0 0，1 1），），对数函数对数函数y y=log=loga ax x的图象恒过定点（的图象恒过定点（1 1，0 0）.本讲稿第十二页，

15、共二十三页11.11.幂函数幂函数 形如形如y y=x x（R R）的函数为幂函数）的函数为幂函数.（1 1）若）若=1=1，则，则y y=x x，图象是直线，图象是直线.（2 2）当）当=0=0时，时，y y=x x0 0=1(=1(x x0)0)图象是除（图象是除（0 0，1 1）外）外 的直线的直线.（3 3）当）当0 10 1 1时，在第一象限内，图象是上凹的时，在第一象限内，图象是上凹的.（4 4）增减性：当）增减性：当 0 0时，在区间（时，在区间（0 0，+）上，）上，函数函数y y=是增函数，是增函数，当当 0 0时，时，y y=在区间（在区间（0,+0,+）上）上,函数函数y

16、 y=是是 减函数减函数.本讲稿第十三页，共二十三页1.1.（20092009福建文，福建文，2 2）下列函数中，与函数）下列函数中，与函数 有相同定义域的是有相同定义域的是 （）A.A.f f(x x)=ln)=ln x xB.B.C.C.f f(x x)=|)=|x x|D.D.f f(x x)=e)=ex x 解析解析 的定义域为的定义域为(0(0，+),+),f f(x x)=ln)=ln x x 的定义域为的定义域为(0(0，+),+),的定义域为的定义域为 x x|x x0.0.f f(x x)=|)=|x x|的定义域为的定义域为R R，f f(x x)=e)=ex x的的定义域

17、为定义域为R R，故选，故选 A.A.A A本讲稿第十四页，共二十三页2.2.（20092009江西理，江西理，2 2）函数）函数 的定义域为的定义域为（）A.A.（-4-4，-1-1）B.B.（-4-4，1 1）C.C.（-1-1，1 1）D.D.（-1-1，1 1 解析解析 解得解得-1-1x x1.0,+10,-x x2 2-3-3x x+40,+40,C C由由本讲稿第十五页，共二十三页3.3.若函数若函数f f（x x），），g g（x x）分别为）分别为R R上的奇函数、偶函上的奇函数、偶函 数，且满足数，且满足f f（x x）-g g（x x）=e=ex x，则有（，则有（）A.

18、A.f f（2 2）f f(3)(3)g g(0)B.(0)B.g g(0)(0)f f(3)(3)f f(2)(2)C.C.f f(2)(2)g g(0)(0)f f(3)(3)D.D.g g(0)(0)f f(2)(2)f f(3)(3)解析解析 由题意得由题意得f f(-(-x x)-)-g g(-(-x x)=e)=e-x x，又，又f f(x x)为奇函为奇函 数，数，g g(x x)为偶函数为偶函数,所以上式可化为所以上式可化为-f f(x x)-)-g g(x x)=e)=e-x x,与已知与已知f f(x x)-)-g g(x x)=e)=ex x联立得联立得f f(x x)=

19、)=而而 恒成立，所以恒成立，所以f f(x x)在定义域在定义域R R上为增函数，所以上为增函数，所以 0=0=f f(0)(0)f f(2)(2)f f(3).(3).又又g g(0)=-10,(0)=-10,所以所以 g g(0)(0)f f(2)(2)1)1，则，则x x0 0的取值的取值 范围是范围是 ()()A.A.（-,0-,0）(2,+)(2,+)B.(0,2)B.(0,2)C.(-,-1)(3,+)C.(-,-1)(3,+)D.(-1,3)D.(-1,3)解析解析 当当x x22时，由时，由loglog2 2(x x-1)1-1)1，解得，解得x x-12-12，即，即 x

20、x33；当；当x x22时，由时，由 即即 解得解得x x-100B.B.abab00 C.C.abab00.0.(x x,y y)|)|y y=f f(x x),),a ax xb b(x x,y y)A A本讲稿第十八页，共二十三页6.6.（20092009全国全国理，理，1111）函数）函数f f(x x)的定义域为的定义域为R R,若若f f(x x+1)+1)与与f f(x x-1)-1)都是奇函数，则都是奇函数，则（）A.A.f f(x x)是偶函数是偶函数B.B.f f(x x)是奇函数是奇函数 C.C.f f(x x)=)=f f(x x+2)+2)D.D.f f(x x+3)

21、+3)是奇函数是奇函数 解析解析 由函数由函数y y=f f(x x+1)+1)是奇函数知，是奇函数知，f f(x x+1)=-+1)=-f f(-(-x x+1),+1),由函数由函数y y=f f(x x-1)-1)是奇函数知，是奇函数知，f f(x x-1)=-1)=-f f(-(-x x-1).-1).由由知，知，f f(-(-x x)=-)=-f f(2+(2+x x),),由由知，知，f f(-(-x x)=-)=-f f(x x-2),-2),f f(2+(2+x x)=)=f f(x x-2),-2),即即f f(x x+4)=+4)=f f(x x).).函数函数y y=f

22、f(x x)是以是以4 4为周期的函数，为周期的函数，由由知，知，f f(x x-1+4)=-1+4)=-f f(-(-x x-1+4).-1+4).f f(x x+3)=-+3)=-f f(-(-x x+3),+3),函数函数f f(x x+3)+3)是奇函数是奇函数.D D本讲稿第十九页，共二十三页7.7.（20092009江西文，江西文，5 5）已知函数）已知函数f f(x x)是（是（-,+-,+）上的偶函数，若对于上的偶函数，若对于x x0,0,都有都有f f(x x+2)=+2)=f f(x x),),且当且当 x x0,2)0,2)时，时，f f(x x)=log)=log2 2

23、(x x+1),+1),则则f f(-2 008)+(-2 008)+f f(2 009)(2 009)的值为的值为 （）A.-2 A.-2 B.-1B.-1C.1 C.1 D.2D.2 解析解析 f f(-2 008)+(-2 008)+f f(2 009)=(2 009)=f f(2 008)+(2 008)+f f(2 009)(2 009)=f f(0)+(0)+f f(1)=log(1)=log2 21+log1+log2 2(1+1)=1.(1+1)=1.C C本讲稿第二十页，共二十三页8.8.（20092009杭州模拟）已知函数杭州模拟）已知函数f f(x x)=)=的图象的图象

24、 过原点过原点,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是 .解析解析 幂函数幂函数 当当 0 0时，图象必过点时，图象必过点 （0 0，0 0），（），（1 1，1 1）.m m2 2-2-2m m-30-30，故，故m m-13.3.9.(20099.(2009北京文，北京文，12)12)已知函数已知函数f f(x x)=)=若若f f(x x)=2,)=2,则则x x=.解析解析 当当x x11时，时，3 3x x=2,=2,x x=log=log3 32;2;当当x x11时，时，-x x=2,=2,x x=-2(=-2(舍去舍去).).(-,-1)(3,+)(-,-1)(3,+)lo

25、glog3 32 2 本讲稿第二十一页，共二十三页10.10.已知函数已知函数f f(x x),),对任意对任意x x,y yR R都有都有 且且x x00时，时，f f(x x)0,)0,f f(1)=-2.(1)=-2.（1 1）证明：）证明：f f(x x)为奇函数；为奇函数；（2 2）证明：）证明：f f(x x)在在R R上是减函数；上是减函数；（3 3）求）求f f(x x)在在-3-3，3 3上的最大值和最小值上的最大值和最小值.（1 1）证明证明 x x，y yR R时，时，f f(x x+y y)=)=f f(x x)+)+f f(y y),),令令x x=y y=0=0得，

26、得，f f(0)=2(0)=2f f(0),(0),f f(0)=0.(0)=0.令令y y=-=-x x,则则f f(x x-x x)=)=f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0,)=0,f f(-(-x x)=-)=-f f(x x),),f f(x x)为奇函数为奇函数.f f(x x+y y)=)=f f(x x)+)+f f(y y),),本讲稿第二十二页，共二十三页 （2 2）证明证明 设设x x1 1 0,0,当当x x00时，时，f f(x x)0,)0,f f(x x2 2-x x1 1)0.)0.又又y y=f f(x x)是奇函数，是奇函数，f f(x x2 2

27、-x x1 1)=)=f f(x x2 2)+)+f f(-(-x x1 1)=f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1).).f f(x x2 2)-)-f f(x x1 1)0)0，即，即f f(x x2 2)f f(x x1 1).).所以所以f f(x x)在在R R上是减函数上是减函数.（3 3）解解f f（x x）在）在R R上为减函数上为减函数.f f（x x）在）在-3-3，3 3上的最大值为上的最大值为f f(-3),(-3),最小值最小值 为为f f(3).(3).f f（3 3）=f f（2 2）+f f（1 1）=3=3f f（1 1）=-6=-6，f f（-3-3）=-=-f f（3 3）=6=6，函数函数f f(x x)在在-3-3，3 3上的最大值为上的最大值为6 6，最小值为，最小值为 -6.-6.返回本讲稿第二十三页，共二十三页