经济数学线性代数第二章课件.ppt

《经济数学线性代数第二章课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济数学线性代数第二章课件.ppt（52页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、经济数学线性代数第二章第1页，此课件共52页哦1.二阶行列式对于给定的二元线性方程组其系数矩阵是一个二阶方阵.第2页，此课件共52页哦用消元法求解线性方程组（1），得该式中 的系数 称为由二阶方阵 所确定的二阶行列式，记为 第3页，此课件共52页哦矩阵 的行列式还记作 或 ，即一般地，二阶行列式可按下图所示的对角线法则确定其值：第4页，此课件共52页哦方阵与矩阵的区别方阵与矩阵的区别：二阶方阵是 个数按确定的方式排成的一个数表，而二阶行列式是这些数（也就是二阶矩阵 ）按一定的运算法则所确定的一个数第5页，此课件共52页哦若记则，二元线性方程组解可以表示为第6页，此课件共52页哦例例1 1 求解

2、二元线性方程组解解 因为所以第7页，此课件共52页哦定义定义 对于一个给定的3阶方阵 2.三阶行列式将之与数相对应，那么这个数就称为由矩阵 所确定的三阶行列式第8页，此课件共52页哦记作第9页，此课件共52页哦例例2 2 计算三阶行列式解解 第10页，此课件共52页哦利用消元法求解，则可得方程组的解为对于三元线性方程组，如果它的系数行列式第11页，此课件共52页哦为书写方便，将之记成其中 是用常数项 替换 中的第 列所得的三阶行列式，即第12页，此课件共52页哦例3 解三元线性方程组解第13页，此课件共52页哦习题：P25,1.（2）、（3）第14页，此课件共52页哦第二、三节排列、n阶行列式

3、的定义和性质定义1 由1,2,3.,n组成的有序数组称为一个n级排列。n级排列的总数为n!定义2 在一个排列中前面的数大于后面的数，那么这个称为后面那个数的一个逆序，每个数的逆序总数称为这个排列的逆序数。逆序数为奇数的排列叫做奇排列，反之为偶排列。逆序数的计算：例排列45321的逆序第15页，此课件共52页哦n阶行列式定义三阶行列式定义可以看出：（i）(1)式右边的每一项都恰好是三个元的乘积，这三个元位于不同的行和列，且可以写成 ，每个元的行标排成自然顺序123，列标排成 ,是123的某个排列，这样的排列有6种，对应右端6个多项式。（ii）带正号的三项列标排列是：123,231,312；带负号

4、的为132、213、321，前面三个为偶排列，后面为奇排列。多项式的符号可以表示为 为列标排列的逆序数。第16页，此课件共52页哦经分析，三阶行列式可以写成把该情形推广到n阶矩阵第17页，此课件共52页哦例1 证明n阶对角行列式第18页，此课件共52页哦例2 证明上三角形行列式用定义！第19页，此课件共52页哦定理1 n阶行列式也可定义为第20页，此课件共52页哦行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号推论 若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零第21

5、页，此课件共52页哦性质4 行列式的把一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用数乘此行列式推论1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推论2 行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零第22页，此课件共52页哦性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第 行的元素都是两数之和：第23页，此课件共52页哦则 等于下面两个行列式之和：性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变第24页，此课件共52页哦例3 计算例4 计算第25页，此课件共52页哦例5 设证

6、明第26页，此课件共52页哦3.阶行列式展开式（1）设 是一阶方阵，则它所确定的一阶行列式 定义成数 采用递归的方法给出其定义：（2）二阶矩阵 ，它所定义的二阶行列式第27页，此课件共52页哦（3）对于三阶矩阵 所确定的三阶行列式第28页，此课件共52页哦即第29页，此课件共52页哦（4）假设由 阶方阵所确定的 阶 行列式已有定义，那么，阶方阵所确定 的 阶行列式用归纳法定义为第30页，此课件共52页哦第31页，此课件共52页哦那么，上述行列式的定义可记为将 阶矩阵 的元素 所在的第 行第 列处的元素划去后，中剩下的 个元素按原来的排列顺序组成 阶矩阵所确定的行列式记作 ，称之为 的余子式余子

7、式，为 的代数余子式代数余子式第32页，此课件共52页哦数 也称为行列式 的第 行第 列处的元素 ，而元素 ，所在的对角线称为行列式的主对角线；另一条对角线称为行列式的次对角线第33页，此课件共52页哦推论 方阵的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的代数余子式乘积之和等于零，即 性质3 行列式按行（列）展开法则 行列式等于对应于它的方阵的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 第34页，此课件共52页哦例1第35页，此课件共52页哦例2这里记号“”表示全体同类因子的乘积证明范德蒙（Vandermode）行列式第36页，此课件共52页哦现假设式对 阶范德蒙行列式成立，为此，从第 行

8、开始，后行减去前行的 倍，有证 用数学归纳法因为所以，当 时等式成立要证明等式对 阶行列式也成立第37页，此课件共52页哦提出，就有按第一列展开，并把每列的公因子第38页，此课件共52页哦，故上式右端的行列式是一个 阶范德蒙行列式其中按归纳法假设，它等于所有 因子的乘积第39页，此课件共52页哦例3 计算 阶行列式解 行列式中每行元素之和均为 ，从第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行减去第1行：第40页，此课件共52页哦第41页，此课件共52页哦第42页，此课件共52页哦 在上述诸例将行列式化为上三角行列式的过程中，虽然我们用到了性质2，4，6中的各种运算，但是起关键作用的是

9、运算，其他几种运算只是使计算过程变得简单一点而已稍作分析，便不难发现任何阶行列式总能利用运算化为上三角形行列式，或化为下三角形行列式类似，利用运算 也可把行列式化为上三角形行列式或下三角形行列式第43页，此课件共52页哦例例4 设证明证明 第44页，此课件共52页哦证 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为第45页，此课件共52页哦于是，对 的前 行作运算 ，再对 的后 列作运算 ，把 化成下三角行列式即第46页，此课件共52页哦6.6.克拉默克拉默（CramerCramer）法则）法则对方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组第47页，此课件共5

10、2页哦定理定理1（克拉默法则）（克拉默法则）的行列式 ,那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为 如果线性方程组（1）的系数矩阵第48页，此课件共52页哦注意：将行列式注意：将行列式 按第按第 列展开，显然列展开，显然其中 是把矩阵 中的第 列换成方程组的常数项 所成的矩阵行列式，即 第49页，此课件共52页哦对于齐次线性方程组显然 一定是解，称为零解.将克拉克拉默默法则用于齐次线性方程组（5），可得定理1 如果线性方程组（1）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。第50页，此课件共52页哦定理2 如果齐次线性方程组（5）的系数矩阵的行列式那么它只有零解；也就是说，如果方程组（5）有非零解，那么必有第51页，此课件共52页哦例例1:求一个二次多项式求一个二次多项式f(x)=ax2+bx+c,使得使得f(1)=0,f(2)=3,f(3)=28.解解:由题意得由题意得 f(1)=a+b+c=0,f(2)=4a+2b+c=3,f(3)=9a 3b+c=28.这是一个关于三个未知数这是一个关于三个未知数a,b,c的线性方程组的线性方程组.第52页，此课件共52页哦