结构的弹性稳定计算课件.ppt

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1、结构的弹性稳定计算第1页，此课件共57页哦主要内容1 1 基本概念基本概念2 2 临界荷载的确定临界荷载的确定 3 3 等截面直杆的临界荷载等截面直杆的临界荷载 4 4 变等截面直杆的临界荷载变等截面直杆的临界荷载 5 5 偏心受压直杆的稳定偏心受压直杆的稳定 6 6 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响 7 7 组合压杆的稳定组合压杆的稳定 8 8 刚架的稳定计算刚架的稳定计算 第2页，此课件共57页哦14.1引言 在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问题在材料力学中，已经讨论了中心受压杆的稳定问

2、题 F Fp pl l图图图图 1 1(1)(1)当当当当 时，压杆处时，压杆处时，压杆处时，压杆处于稳定的平衡状态于稳定的平衡状态于稳定的平衡状态于稳定的平衡状态 特点：特点：特点：特点：当有微小横向干扰力时，压杆发生弯当有微小横向干扰力时，压杆发生弯当有微小横向干扰力时，压杆发生弯当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆又曲，当撤消该横向干扰力时，压杆又曲，当撤消该横向干扰力时，压杆又曲，当撤消该横向干扰力时，压杆又恢复直线平衡状态。恢复直线平衡状态。恢复直线平衡状态。恢复直线平衡状态。(2)(2)当时当时当时当时 ，压杆处于随遇或称中性的平衡状态，压杆处于随遇或称中

3、性的平衡状态，压杆处于随遇或称中性的平衡状态，压杆处于随遇或称中性的平衡状态 特点：特点：特点：特点：当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横当有微小横向干扰力时，压杆发生弯曲，当撤消该横向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此弯曲状态向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此弯曲状态向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此弯曲状态向干扰力时，压杆仍处于弯曲状态，并在此弯曲状态下保持新的曲线平衡状态。下保持新的曲线平衡状态。下保持新的曲线平衡状态。下保持新的曲线平衡状态。第3页，此课件共57页哦(3)(3

4、)当当当当 时，压杆处于不稳定平衡状态时，压杆处于不稳定平衡状态时，压杆处于不稳定平衡状态时，压杆处于不稳定平衡状态 特点：特点：特点：特点：当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，直当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，直当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，直当有微小横向干扰力时，压杆将发生很大的弯曲，直至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。至破坏。这一现象称为压杆丧失第一类稳定性。除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问题，如除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问题，如除

5、了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问题，如除了压杆外，其它的一些结构也会存在第一类稳定问题，如 q q受均布外压的圆柱壳受均布外压的圆柱壳受均布外压的圆柱壳受均布外压的圆柱壳F Fp p刚架结构刚架结构刚架结构刚架结构瘦高薄壁构件瘦高薄壁构件瘦高薄壁构件瘦高薄壁构件第4页，此课件共57页哦除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题除了第一类稳定问题之外，还存在所谓的第二类稳定问题 F Fp p图图图图 2 2(1)(1)当当当当 时，压杆的挠度随着时，压杆的挠度随着时，压杆的挠度

6、随着时，压杆的挠度随着F Fp p的增大而增加（不一定是线性的）的增大而增加（不一定是线性的）的增大而增加（不一定是线性的）的增大而增加（不一定是线性的）(2)(2)当当当当 时，即使时，即使时，即使时，即使F Fp p不增大，压不增大，压不增大，压不增大，压杆的挠度可持续增加。杆的挠度可持续增加。杆的挠度可持续增加。杆的挠度可持续增加。此时称压杆丧失了第二类稳定。此时称压杆丧失了第二类稳定。此时称压杆丧失了第二类稳定。此时称压杆丧失了第二类稳定。由上可知，由上可知，由上可知，由上可知，第二类稳定问题的特征为第二类稳定问题的特征为第二类稳定问题的特征为第二类稳定问题的特征为：平衡形式不发生改变

7、，结：平衡形式不发生改变，结：平衡形式不发生改变，结：平衡形式不发生改变，结构失稳是由于丧失了继续承载能力。构失稳是由于丧失了继续承载能力。构失稳是由于丧失了继续承载能力。构失稳是由于丧失了继续承载能力。不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程中都不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程中都不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程中都不论是第一类稳定问题还是第二类稳定问题，在工程中都是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的工作状态，是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的工作状态，是不容许发生的。因为它们或是不能保持结构原有的工作状态，是不容许发生的。因为它们或是

8、不能保持结构原有的工作状态，或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破坏。因此，在工或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破坏。因此，在工或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破坏。因此，在工或是丧失了继续承载的能力，都将导致结构破坏。因此，在工程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，对于受压构件或结程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，对于受压构件或结程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，对于受压构件或结程结构设计中仅考虑强度条件是不充分的，对于受压构件或结构还应进行稳定校核。构还应进行稳定校核。构还应进行稳定校核。构还应进行稳定校核。第5页，此课件共57页哦 在本章中，主要讨论在弹性范围内结构

9、的第一类稳定在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类稳定在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类稳定在本章中，主要讨论在弹性范围内结构的第一类稳定问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临界荷载。问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临界荷载。问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临界荷载。问题，在结构力学中，稳定计算的中心问题是确定临界荷载。14.2确定临界荷载的能量法 确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是最重确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是最重确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是最重确定受压构件的临界荷载的方法很多，最基本也是最重要的方法是静

10、力法和能量法。静力法在材料力学中已讲过，要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已讲过，要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已讲过，要的方法是静力法和能量法。静力法在材料力学中已讲过，在本节中介绍能量法。在本节中介绍能量法。在本节中介绍能量法。在本节中介绍能量法。静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，如当微分静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，如当微分静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，如当微分静力法在确定压杆临界荷载时常常会遇到一些困难，如当微分控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界条件较复杂时，导出控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界条件较

11、复杂时，导出控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界条件较复杂时，导出控制方程为变系数时，无法得到方程的解；边界条件较复杂时，导出的特征行列式是高阶的求解困难等。在这些情况下采用能量法具有较的特征行列式是高阶的求解困难等。在这些情况下采用能量法具有较的特征行列式是高阶的求解困难等。在这些情况下采用能量法具有较的特征行列式是高阶的求解困难等。在这些情况下采用能量法具有较大的优势。大的优势。大的优势。大的优势。第6页，此课件共57页哦势能驻值原理势能驻值原理势能驻值原理势能驻值原理 在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中，真在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中，真在弹性结构（线性或

12、非线性的）的一切可能位移中，真在弹性结构（线性或非线性的）的一切可能位移中，真实的位移使结构的总势能为驻值，即实的位移使结构的总势能为驻值，即实的位移使结构的总势能为驻值，即实的位移使结构的总势能为驻值，即 （14-114-1）上式中，上式中，上式中，上式中，U U为结构应变能，为结构应变能，为结构应变能，为结构应变能，T T 为外力功（为外力功（为外力功（为外力功（为荷载为荷载为荷载为荷载势能）。势能）。势能）。势能）。应当注意应当注意应当注意应当注意，所谓的，所谓的，所谓的，所谓的“可能位移可能位移可能位移可能位移”是指满足结构变形协调条件的是指满足结构变形协调条件的是指满足结构变形协调条

13、件的是指满足结构变形协调条件的各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调条件，而且满足结各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调条件，而且满足结各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调条件，而且满足结各种位移。真实位移则不仅满足结构变形协调条件，而且满足结构平衡条件。因此，（构平衡条件。因此，（构平衡条件。因此，（构平衡条件。因此，（14-114-1）式实际上就是能量形式的平衡条件）式实际上就是能量形式的平衡条件）式实际上就是能量形式的平衡条件）式实际上就是能量形式的平衡条件。即（。即（。即（。即（14-114-1）式是弹性体系处于平衡的充要条件。）式是弹性体系处于平衡的充要条件。）式是弹性体系

14、处于平衡的充要条件。）式是弹性体系处于平衡的充要条件。但是在上节提到，平衡又分但是在上节提到，平衡又分但是在上节提到，平衡又分但是在上节提到，平衡又分稳定平衡稳定平衡稳定平衡稳定平衡、中性平衡中性平衡中性平衡中性平衡和和和和不稳定不稳定不稳定不稳定平衡平衡平衡平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说明三种平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说明三种平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说明三种平衡三种形式。下面通过一个单自由度体系，直观说明三种平衡形式的特点。形式的特点。形式的特点。形式的特点。第7页，此课件共57页哦如图如图如图如图3 3所示弹性支承上的刚性杆，顶端水平所

15、示弹性支承上的刚性杆，顶端水平所示弹性支承上的刚性杆，顶端水平所示弹性支承上的刚性杆，顶端水平弹性支承的刚度系数为弹性支承的刚度系数为弹性支承的刚度系数为弹性支承的刚度系数为k k，取初始位置为参，取初始位置为参，取初始位置为参，取初始位置为参考状态考状态考状态考状态 y y F Fp p图图图图 3 3l l则体系的总势能为则体系的总势能为则体系的总势能为则体系的总势能为 讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1）当当当当 时，若时，若时，若时，若y y00，则，则，则，则E Ep p恒大于零。此时称体恒大于零。此时称体恒大于零。此时称体恒大于零。此时称体系是系是系是系是正定的正定的正定的正定的。此

16、时总势能取得驻值必为极小值。体系。此时总势能取得驻值必为极小值。体系。此时总势能取得驻值必为极小值。体系。此时总势能取得驻值必为极小值。体系处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于处于稳定的平衡状态，这就是最小势能原理，即对于稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能稳定的平衡状态，真实的位移使体系的总势能E Ep p为极为极为极为极小值。总势能与小值。总势能与小值。总势能与小值。总势能与y y的关系如图的关系如图的关系

17、如图的关系如图 (a)(a)所示所示所示所示第8页，此课件共57页哦y yE Ep p(a)(a)（2 2）当当当当 时，若时，若时，若时，若y y00，则，则，则，则E Ep p恒小恒小恒小恒小于零。此时称体系是于零。此时称体系是于零。此时称体系是于零。此时称体系是负定的负定的负定的负定的。此时总势。此时总势。此时总势。此时总势能取得驻值必为极大值。总势能与能取得驻值必为极大值。总势能与能取得驻值必为极大值。总势能与能取得驻值必为极大值。总势能与y y的的的的关系如图关系如图关系如图关系如图(b)(b)所示，体系处于不稳定的所示，体系处于不稳定的所示，体系处于不稳定的所示，体系处于不稳定的平

18、衡状态。在平衡状态。在平衡状态。在平衡状态。在y y=0=0处有横向干扰力作用，处有横向干扰力作用，处有横向干扰力作用，处有横向干扰力作用，就会迅速倾覆。就会迅速倾覆。就会迅速倾覆。就会迅速倾覆。y yE Ep p(b)(b)（3 3）当当当当 时，总势能时，总势能时，总势能时，总势能E Ep p恒为零。恒为零。恒为零。恒为零。总势能与总势能与总势能与总势能与y y的关系如图的关系如图的关系如图的关系如图(c)(c)所示，体系处所示，体系处所示，体系处所示，体系处于中性的平衡状态。称处于这一临界状于中性的平衡状态。称处于这一临界状于中性的平衡状态。称处于这一临界状于中性的平衡状态。称处于这一临

19、界状态的荷载为态的荷载为态的荷载为态的荷载为临界荷载临界荷载临界荷载临界荷载，记，记，记，记 。此时，在此时，在此时，在此时，在y y=0=0处有微小的横向干扰力作处有微小的横向干扰力作处有微小的横向干扰力作处有微小的横向干扰力作用，会体系在新的倾斜位置上维持新的用，会体系在新的倾斜位置上维持新的用，会体系在新的倾斜位置上维持新的用，会体系在新的倾斜位置上维持新的平衡。平衡。平衡。平衡。y yE Ep p(c)(c)第9页，此课件共57页哦 以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度体系或弹性以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度体系或弹性以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自

20、由度体系或弹性以上讨论最简单的单自由度体系情况，对于多自由度体系或弹性体情况要复杂些，但下面的结论是共性的体情况要复杂些，但下面的结论是共性的体情况要复杂些，但下面的结论是共性的体情况要复杂些，但下面的结论是共性的 当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于稳定的平衡状态时，其总势能必为极小值。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。当体系处于中性的平衡状态时，其总势能增量必为零。

21、利用上述结论，可以确定体系的临界荷载利用上述结论，可以确定体系的临界荷载利用上述结论，可以确定体系的临界荷载利用上述结论，可以确定体系的临界荷载由由由由 得得得得 （14-14-2 2）如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定体如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定体如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定体如果已知临界状态体系的变形或位移，代入上式即可确定体系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临界荷系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临界荷系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临界荷系的临界荷载。若是近似的变形或位移，则所求得的临界

22、荷载为近似值。假如体系的自由度大于载为近似值。假如体系的自由度大于载为近似值。假如体系的自由度大于载为近似值。假如体系的自由度大于1 1，则满足，则满足，则满足，则满足(14-2(14-2）式的）式的）式的）式的F Fp p值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即值不止一个，其中最小者就是所求的临界荷载，即 第10页，此课件共57页哦（14-314-3）上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导受压上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导受压上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐

23、此推导受压上式就是能量法确定临界荷载的基本依据。下面椐此推导受压直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具体形式。直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具体形式。直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具体形式。直杆稳定（属于无限自由度体系）问题的临界荷载具体形式。如图如图如图如图5 5所示弹性直杆所示弹性直杆所示弹性直杆所示弹性直杆 F Fp p图图图图 5 5y yx x当达到临界状态时，则对于任一可能当达到临界状态时，则对于任一可能当达到临界状态时，则对于任一可能当达到临界状态时，则对于任一可能位移有位移有位移有位移有 上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能（压缩变形上式中为压

24、杆弯曲后，所增加的应变能（压缩变形上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能（压缩变形上式中为压杆弯曲后，所增加的应变能（压缩变形能在初始状态也存在）。由于处于中性平衡状态，能在初始状态也存在）。由于处于中性平衡状态，能在初始状态也存在）。由于处于中性平衡状态，能在初始状态也存在）。由于处于中性平衡状态，给杆一个微小的弯曲变形，则给杆一个微小的弯曲变形，则给杆一个微小的弯曲变形，则给杆一个微小的弯曲变形，则 第11页，此课件共57页哦 dsdsdsdsdxdx又又又又 (14-4)(14-4)第12页，此课件共57页哦例例例例1 1 如图示压杆，用能量法求其临界荷载。如图示压杆，用能量法求其临界荷载。

25、如图示压杆，用能量法求其临界荷载。如图示压杆，用能量法求其临界荷载。F Fp pl l解解解解 在材料力学中，已求得临界荷载的精确解在材料力学中，已求得临界荷载的精确解在材料力学中，已求得临界荷载的精确解在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为为为为 y yx x设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为 该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。第13页，此课件共57页哦 上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实

26、的失稳曲线，上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁的挠曲故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁的挠曲故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁的挠曲故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为悬臂梁的挠曲线，即线，即线，即线，即 可以求得可以求得可以求得可以求得这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约1.3%1.3%第14页，此课件共57页哦例例例例2 2 如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷

27、载。如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。如图示两端铰支压杆，用能量法求其临界荷载。F Fp pl l解解解解 在材料力学中，已求得临界荷载的精在材料力学中，已求得临界荷载的精在材料力学中，已求得临界荷载的精在材料力学中，已求得临界荷载的精确解为确解为确解为确解为 y yx x设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为 该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。该曲线满足全部的位移和力的边界条件。第15页，此课件共57页哦 上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，上述结果表明，所设弹

28、性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，上述结果表明，所设弹性失稳曲线恰好为真实的失稳曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲线，故所得结果为精确解。如设弹性失稳曲线为简支梁的挠曲线，即即即即 可以求得可以求得可以求得可以求得这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约0.1%0.1%第16页，此课件共57页哦 前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆临界前面讨论了最简单情况（等

29、截面两端刚性支承）压杆临界前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆临界前面讨论了最简单情况（等截面两端刚性支承）压杆临界荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好地反映失荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好地反映失荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好地反映失荷载确定方法。对于一般情况，一个函数并不能很好地反映失稳曲线，此时，可采用级数解答。稳曲线，此时，可采用级数解答。稳曲线，此时，可采用级数解答。稳曲线，此时，可采用级数解答。设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为设：弹性失稳曲线为 （14-514-5）上式中，上式中，上式中，上式中，i i(x

30、x)为满足给定位移边界条件的已知函数，为满足给定位移边界条件的已知函数，为满足给定位移边界条件的已知函数，为满足给定位移边界条件的已知函数，a ai i为待定系数。为待定系数。为待定系数。为待定系数。在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹性失稳曲在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹性失稳曲在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹性失稳曲在实际计算时，一般只能求出临界荷载的近似值，弹性失稳曲线也很难找出精确表达式，因此，（线也很难找出精确表达式，因此，（线也很难找出精确表达式，因此，（线也很难找出精确表达式，因此，（14-514-5）式只能取有限项。设）式只能取有限项。设

31、）式只能取有限项。设）式只能取有限项。设取前取前取前取前n n项项项项 将其代入临界荷载公式得将其代入临界荷载公式得将其代入临界荷载公式得将其代入临界荷载公式得 第17页，此课件共57页哦这样就把求临界荷载问题转变为求这样就把求临界荷载问题转变为求这样就把求临界荷载问题转变为求这样就把求临界荷载问题转变为求F Fp p的极值问题。的极值问题。的极值问题。的极值问题。F Fp p的极值条件为的极值条件为的极值条件为的极值条件为 令：令：令：令：则则则则 由于由于由于由于B0 B0，A A/B B=F Fp p ，则上式可改写为，则上式可改写为，则上式可改写为，则上式可改写为 第18页，此课件共5

32、7页哦因为因为因为因为 则则则则F Fp p的极值条件可改写为的极值条件可改写为的极值条件可改写为的极值条件可改写为 （14-614-6）其中其中其中其中 （14-614-6）式是关于）式是关于）式是关于）式是关于a ai i(i i=1,2=1,2n n)的的的的n n阶齐次线性方程组，有非零解阶齐次线性方程组，有非零解阶齐次线性方程组，有非零解阶齐次线性方程组，有非零解的条件为的条件为的条件为的条件为 第19页，此课件共57页哦（14-714-7）将上式展开，即得一个关于将上式展开，即得一个关于将上式展开，即得一个关于将上式展开，即得一个关于F Fp p的的的的n n次代数方程，它有次代数

33、方程，它有次代数方程，它有次代数方程，它有n n个正实个正实个正实个正实根，最小的一个即为所求的临界荷载根，最小的一个即为所求的临界荷载根，最小的一个即为所求的临界荷载根，最小的一个即为所求的临界荷载F Fp crp cr 第20页，此课件共57页哦14.3 等截面直杆的临界荷载 一一一一 刚性支承上等截面直杆的临界荷载刚性支承上等截面直杆的临界荷载刚性支承上等截面直杆的临界荷载刚性支承上等截面直杆的临界荷载 常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材料力学常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材料力学常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材料力学常见的等截面直杆在刚性支承上的临界荷载在材

34、料力学中已求出，归纳如下中已求出，归纳如下中已求出，归纳如下中已求出，归纳如下 为长度系数为长度系数为长度系数为长度系数F Fp p =1=1l lF Fp p =2=2F Fp p =0.7=0.7F Fp p =0.5=0.5F Fp p =1=1二二二二 弹性支承上等截面直杆的临界荷载弹性支承上等截面直杆的临界荷载弹性支承上等截面直杆的临界荷载弹性支承上等截面直杆的临界荷载 工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定工程中经常会遇到弹性支承上的压杆，对于该类压杆稳定问题的求解方法与

35、刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。问题的求解方法与刚性支承上的压杆一样，只是要复杂些。第21页，此课件共57页哦如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。如图示压杆，采用静力法求其临界荷载。F Fp pl lk k y yx x由由由由 得得得得 (a)(a)其中其中其中其中 (a)(a)式的解为式的解为式的解为式的解为 上式中上式中上式中上式中A A、B B、为待定常数，由边界条件确定为待定常数，由边界条件确定为待定常数，

36、由边界条件确定为待定常数，由边界条件确定由由由由 得得得得(b)(b)由由由由得得得得(c)(c)由由由由得得得得(d)(d)第22页，此课件共57页哦由由由由(b)(b)、(c)(c)、(d)(d)组成的关于未知量组成的关于未知量组成的关于未知量组成的关于未知量A A 、B B、的齐次线性方程组，的齐次线性方程组，的齐次线性方程组，的齐次线性方程组，有非零解的条件为有非零解的条件为有非零解的条件为有非零解的条件为 将上式展开整理得将上式展开整理得将上式展开整理得将上式展开整理得 或或或或 这就是所求的这就是所求的这就是所求的这就是所求的稳定方程稳定方程稳定方程稳定方程，解此超越方程即可获得临

37、界荷载。，解此超越方程即可获得临界荷载。，解此超越方程即可获得临界荷载。，解此超越方程即可获得临界荷载。对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如对于一些工程中的简单结构的稳定问题可简化为此模型。如 第23页，此课件共57页哦F Fp pk kF Fp p1 1k kk kF Fp p1 1k kF Fp pEAEA=第24页，此课件共57页哦三三三三 竖直杆在自重作用下的稳定竖直杆在自重作用下的稳定竖直杆在自重作用下的稳定竖直杆在自重作用下的稳定 如图所示结构，在自重作用的稳定如

38、图所示结构，在自重作用的稳定如图所示结构，在自重作用的稳定如图所示结构，在自重作用的稳定性分析已有级数形式（性分析已有级数形式（性分析已有级数形式（性分析已有级数形式（-1/3-1/3阶贝塞尔阶贝塞尔阶贝塞尔阶贝塞尔函数）的精确解。函数）的精确解。函数）的精确解。函数）的精确解。q ql lx xy ya a下面采用能量法求其近似解。下面采用能量法求其近似解。下面采用能量法求其近似解。下面采用能量法求其近似解。设：设：设：设：则则则则 下面计算外力功，取出微段下面计算外力功，取出微段下面计算外力功，取出微段下面计算外力功，取出微段dxdx，则该微段因弯曲引起的轴向下，则该微段因弯曲引起的轴向下

39、，则该微段因弯曲引起的轴向下，则该微段因弯曲引起的轴向下降距离为降距离为降距离为降距离为 第25页，此课件共57页哦dsdsdsdsdxdx于是该微段上部重量所做的功为于是该微段上部重量所做的功为于是该微段上部重量所做的功为于是该微段上部重量所做的功为 则全部自重所做的功为则全部自重所做的功为则全部自重所做的功为则全部自重所做的功为 由由由由 得得得得 这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约这个近似解比精确解大约5.9%5.9%第26页，此课件共57页哦若取级数的前两项若取级数的前两项若取级数的前两项若取级数的前两项 可以求得可以求得可以求得可以求得 这个近似解仅比

40、精确解大约这个近似解仅比精确解大约这个近似解仅比精确解大约这个近似解仅比精确解大约0.013%0.013%，精度显著提高。，精度显著提高。，精度显著提高。，精度显著提高。第27页，此课件共57页哦14.4 变截面直杆的临界荷载变截面直杆的临界荷载 下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示阶梯压下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示阶梯压下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示阶梯压下面用静力法讨论阶梯压杆的临界荷载，如图所示阶梯压杆杆杆杆 l l1 1l l2 2l lEIEI1 1EIEI2 2x xy y 令上部压杆任一截面的侧移令上部压杆任一截面的侧移令上部压杆任一截面的侧

41、移令上部压杆任一截面的侧移为为为为y y1 1，下部压杆任一截面的侧移，下部压杆任一截面的侧移，下部压杆任一截面的侧移，下部压杆任一截面的侧移为为为为y y2 2。则这两部分压杆的挠曲。则这两部分压杆的挠曲。则这两部分压杆的挠曲。则这两部分压杆的挠曲控制方程为控制方程为控制方程为控制方程为 (a)(a)(a)(a)式的解为式的解为式的解为式的解为 (b)(b)其中其中其中其中 第28页，此课件共57页哦上述解共含有上述解共含有上述解共含有上述解共含有A A1 1、B B1 1、A A2 2、B B2 2和和和和 五个待定量，它们可由边界条五个待定量，它们可由边界条五个待定量，它们可由边界条五个

42、待定量，它们可由边界条件确定件确定件确定件确定 由由由由 得得得得(c)(c)由由由由 得得得得(d)(d)由由由由 得得得得(e)(e)由由由由 得得得得(f)(f)由由由由 得得得得(g)(g)由上述由上述由上述由上述5 5式组成的关于式组成的关于式组成的关于式组成的关于A A1 1、B B1 1、A A2 2、B B2 2和和和和 的齐次线性方程组，的齐次线性方程组，的齐次线性方程组，的齐次线性方程组，有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即有非零解的条件为其系数矩阵的行列式为零，即 第29页，此课件共

43、57页哦展开得展开得展开得展开得 利用利用利用利用l l=l l1 1+l l2 2及相应的三角函数公式上式整理可得及相应的三角函数公式上式整理可得及相应的三角函数公式上式整理可得及相应的三角函数公式上式整理可得 或或或或 这就是所求的这就是所求的这就是所求的这就是所求的稳定方程稳定方程稳定方程稳定方程，解此超越方程即可获得临界荷载。对于其，解此超越方程即可获得临界荷载。对于其，解此超越方程即可获得临界荷载。对于其，解此超越方程即可获得临界荷载。对于其它形式的变截面压杆可采用类似的方法处理，也可采用能量法求其近它形式的变截面压杆可采用类似的方法处理，也可采用能量法求其近它形式的变截面压杆可采用

44、类似的方法处理，也可采用能量法求其近它形式的变截面压杆可采用类似的方法处理，也可采用能量法求其近似解。似解。似解。似解。第30页，此课件共57页哦结构力学第14章 结构的弹性稳定计算 第31页，此课件共57页哦主要内容1 1 基本概念基本概念2 2 临界荷载的确定临界荷载的确定 3 3 等截面直杆的临界荷载等截面直杆的临界荷载 4 4 变等截面直杆的临界荷载变等截面直杆的临界荷载 5 5 偏心受压直杆的稳定偏心受压直杆的稳定 6 6 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响 7 7 组合压杆的稳定组合压杆的稳定 8 8 刚架的稳定计算刚架的稳定计算 第32页，此课件共57页哦14.5 14.5

45、 偏心受偏心受压压直杆的直杆的稳稳定定 如图所示等截面直杆，受偏心压力如图所示等截面直杆，受偏心压力如图所示等截面直杆，受偏心压力如图所示等截面直杆，受偏心压力F Fp p作用。作用。作用。作用。F Fp pl le ey yx x 建立如图所示坐标系则任一截面的弯建立如图所示坐标系则任一截面的弯建立如图所示坐标系则任一截面的弯建立如图所示坐标系则任一截面的弯矩为矩为矩为矩为 弹性曲线的近似微分方程为弹性曲线的近似微分方程为弹性曲线的近似微分方程为弹性曲线的近似微分方程为 或或或或 (a)(a)其中其中其中其中 (a)(a)式的解为式的解为式的解为式的解为 (b)(b)其中其中其中其中A A、

46、B B为待定常数，由边界条件确定为待定常数，由边界条件确定为待定常数，由边界条件确定为待定常数，由边界条件确定 由由由由得得得得第33页，此课件共57页哦由由由由得得得得因此，因此，因此，因此，(c)(c)由上式可知，当由上式可知，当由上式可知，当由上式可知，当nlnl=时，除了时，除了时，除了时，除了x x=0,l=0,l截面外，截面外，截面外，截面外，y y。此时的荷。此时的荷。此时的荷。此时的荷载即为临界荷载。故载即为临界荷载。故载即为临界荷载。故载即为临界荷载。故 与中心受压杆临界荷载相同。与中心受压杆临界荷载相同。与中心受压杆临界荷载相同。与中心受压杆临界荷载相同。对于梁中点的挠度，

47、由对于梁中点的挠度，由对于梁中点的挠度，由对于梁中点的挠度，由(c)(c)式式式式（x x=l l/2/2）得）得）得）得 y yl l/2/2 F Fp p关系曲线如图所示。关系曲线如图所示。关系曲线如图所示。关系曲线如图所示。F Fp py yl l/2/2e e=0=0F Fp pe ey yl l/2/2 F Fp p关系曲线关系曲线关系曲线关系曲线e e1 1e e2 2e e2 2 e e1 100第34页，此课件共57页哦F Fp py yl l/2/2e e=0=0F Fp pe ey yl l/2/2 F Fp p关系曲线关系曲线关系曲线关系曲线e e1 1e e2 2e e

48、2 2 e e1 100由图可知由图可知由图可知由图可知 (a)(a)y yl l/2/2 F Fp p关系曲线是非线性的；关系曲线是非线性的；关系曲线是非线性的；关系曲线是非线性的；是是是是y yl l/2/2 F Fp p关系曲关系曲关系曲关系曲(b)(b)线的渐进线；线的渐进线；线的渐进线；线的渐进线；(c)(c)e e愈大，曲线偏离渐进线愈大。愈大，曲线偏离渐进线愈大。愈大，曲线偏离渐进线愈大。愈大，曲线偏离渐进线愈大。必须指出必须指出必须指出必须指出，上述结论只是理论，上述结论只是理论，上述结论只是理论，上述结论只是理论上的，因为假定变形是线弹上的，因为假定变形是线弹上的，因为假定变

49、形是线弹上的，因为假定变形是线弹性、小变形的与真实情况相性、小变形的与真实情况相性、小变形的与真实情况相性、小变形的与真实情况相差较大。实际情况如下图所差较大。实际情况如下图所差较大。实际情况如下图所差较大。实际情况如下图所示，当时示，当时示，当时示，当时F Fp p e e1 100第35页，此课件共57页哦14.6 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响 如图所示压杆如图所示压杆如图所示压杆如图所示压杆 x xy yF Fp pl l设：设：设：设：y yMM表示弯矩所产生的挠度，表示弯矩所产生的挠度，表示弯矩所产生的挠度，表示弯矩所产生的挠度，y yQ Q表示由于剪力影响所产生的附加挠

50、度。表示由于剪力影响所产生的附加挠度。表示由于剪力影响所产生的附加挠度。表示由于剪力影响所产生的附加挠度。则则则则 对上式两边求两次导得对上式两边求两次导得对上式两边求两次导得对上式两边求两次导得 (a)(a)由挠曲线近似微分方程得由挠曲线近似微分方程得由挠曲线近似微分方程得由挠曲线近似微分方程得 (b)(b)剪力引起的杆轴线附加角位移为剪力引起的杆轴线附加角位移为剪力引起的杆轴线附加角位移为剪力引起的杆轴线附加角位移为 由第由第由第由第6 6章知，章知，章知，章知，（k k为截面形状系数）为截面形状系数）为截面形状系数）为截面形状系数）第36页，此课件共57页哦则则则则由上式得由上式得由上式