振型的正交性幻灯片.ppt

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1、振型的正交性第1页，共28页，编辑于2022年，星期六 虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但为虽然很多工程问题可以化为单自由度问题计算，但为了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度进行了有足够的分析精度，一些问题也必须作多自由度进行分析。分析。在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体在等效粘滞阻尼理论下，第二章讨论了两和多自由度体系的运动方程，理论上阻尼矩阵系的运动方程，理论上阻尼矩阵系的运动方程，理论上阻尼矩阵系的运动方程，理论上阻尼矩阵 C C=C Cij ij，Cij表示表

2、示j自由度自由度自由度自由度单位速度引起的单位速度引起的单位速度引起的单位速度引起的i i自由度方向的阻尼力。但实际上自由度方向的阻尼力。但实际上自由度方向的阻尼力。但实际上自由度方向的阻尼力。但实际上C Cij ij一般是一般是一般是一般是确定不了的。确定不了的。确定不了的。确定不了的。目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频率、目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确定频率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩振型等动力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型分解化为单自阵也正交条件下，将多自由度分析通过振型分解化为单自由度问题的组合

3、来解决。再一次体现了，化未知问题为已由度问题的组合来解决。再一次体现了，化未知问题为已知问题的研究方法和思想。知问题的研究方法和思想。对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载）要用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。因此，首先介绍无阻尼自由振动。因此，首先介绍无阻尼自由振动。第2页，共28页，编辑于2022年，星期六4.

4、1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 多自由度运动方程为多自由度运动方程为 无阻尼自由振动运动方程为无阻尼自由振动运动方程为无阻尼自由振动运动方程为无阻尼自由振动运动方程为设其解为设其解为设其解为设其解为 A Asinsin t t，代入运动方程可得，代入运动方程可得(-2M+K)A Asin t=0为使系统有非零的振动解答，必须为使系统有非零的振动解答，必须-2MM+K=0 （1）或者或者 (-2 MM+K)A=0 （2）上述两式分别称为频率和特征方程。上述两式分别称为频率和特征方程。上述两式分别称为频率和特征方程。上述两式分别称为频率和特征方程。由式（由式（由式（由式（1 1）

5、展开可得双）展开可得双）展开可得双）展开可得双n n次方程，对一般建筑工程结构，次方程，对一般建筑工程结构，求解可得到求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统的频率。个实的不等的正根，它们即为系统的频率。但一般更多是从式（但一般更多是从式（2）出发。）出发。第3页，共28页，编辑于2022年，星期六4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 式（式（2）可改写为）可改写为 2 2MMA=KA A （3 3）数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对称数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对称矩阵特征值问题，需作如下改造：矩阵特征值问题，需作如下改造：设设设设 M=(MM

6、1/21/2)T TMM 1/2 1/2 （4 4）M 1/2A A=X 则则 A=(M 1/2)-1-1X X （5 5）代回式（代回式（3）得）得 2(M1/2)T X X=K(MM 1/2)-1X X （6 6）方程两边再左乘方程两边再左乘方程两边再左乘方程两边再左乘(M 1/2)T-1，则，则，则，则 2 2 X=(=(M 1/21/2)-1-1T T K K(M 1/2)-1-1 X X （7）记记 (MM1/21/2)-1 TK(M1/2)-1-1=D D （8）由于由于K 是对称矩阵，从式（是对称矩阵，从式（是对称矩阵，从式（是对称矩阵，从式（8 8）可见）可见）可见）可见 D

7、D 是对称矩阵。将式是对称矩阵。将式是对称矩阵。将式是对称矩阵。将式（8 8）代入式（）代入式（）代入式（）代入式（7 7）可得）可得）可得）可得 2 X=D DX （9）第4页，共28页，编辑于2022年，星期六4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 式式 2 2X X=D DX X （9）就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代数就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代数所介绍的特征值问题解法就可求得所介绍的特征值问题解法就可求得D 矩阵的特征对矩阵的特征对矩阵的特征对矩阵的特征对 2 2，X，再由式（，再由式（5）可求得广义特征问题的振型矩阵）可求得广义特征问题

8、的振型矩阵A A。由数学可知，对建筑工程一般问题，从由数学可知，对建筑工程一般问题，从由数学可知，对建筑工程一般问题，从由数学可知，对建筑工程一般问题，从n n阶的特征方程阶的特征方程阶的特征方程阶的特征方程（3 3）可求得）可求得）可求得）可求得n n个特征对，也即有个特征对，也即有n个频率个频率 i以及和以及和 i i对应的对应的对应的对应的振型振型振型振型 A i i。按。按。按。按 i i从小到大排列可得结构的频谱，从小到大排列可得结构的频谱，从小到大排列可得结构的频谱，从小到大排列可得结构的频谱，1 1和和A A 1 1分分分分别称为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次别称

9、为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次别称为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次别称为第一频率（基本频率或基频）、第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。称第二、第三等等频率、振型。称第二、第三等等频率、振型。称第二、第三等等频率、振型。有了任意有了任意有了任意有了任意n n自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问自由度问题自由振动解法、结论，两自由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。

10、题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行分析。第5页，共28页，编辑于2022年，星期六4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动 对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以用对两自由度问题来说，根据具体问题运动方程可以用刚度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分别刚度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分别基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频率、振基于刚度法和柔度法进行了具体讨论，给出了频率、振型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、质量的关型和刚度系数、质量的关系以及和柔度系数、质量的关系。这些公式能记住更好，但我认为不记也没关系，关系。这些公式能记住更好，但我认

11、为不记也没关系，关键是记住如下一些基本概念。键是记住如下一些基本概念。1 1）在无阻尼自由振动下）在无阻尼自由振动下）在无阻尼自由振动下）在无阻尼自由振动下-MM =K K u u，也即惯性力和弹，也即惯性力和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅为性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅为A，式（，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方程得到。）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方程得到。2）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特征）当基于柔度法时，位移由惯性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立A=2 2 f

12、 fMA A （10）3）拿上具体问题后，关键是正确确定）拿上具体问题后，关键是正确确定M、K K 或或或或 f，有，有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（3）或式）或式（10）。）。第6页，共28页，编辑于2022年，星期六4.1 多自由度无阻尼自由振动多自由度无阻尼自由振动4）两自由度问题）两自由度问题n=2。展开特征方程将得到双二次频率。展开特征方程将得到双二次频率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率方程即方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率方程即可得频率可得频率 1 1和和 2。5）将频率）将频率 1和和 2代回特征方程只能得

13、到和某频率对应的代回特征方程只能得到和某频率对应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以进行位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以进行“规规格化格化”,一般使最大值等于一般使最大值等于1，即可得振型。，即可得振型。6）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加得到，）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（振幅、相位由质量的初位移、初速度（n n个自由度有个自由度有个自由度有个自由度有2 2n个初个初个初个初始条件）来确定。始条件）来确定。始条件）来确定。始条件）来确定。综上可见，有了综上可见，有了综上可见，有了综上可见，有了 M、K或或f，剩

14、余工作主要是数学，剩余工作主要是数学，剩余工作主要是数学，剩余工作主要是数学运算了。但要达到熟练掌握，必须到运算了。但要达到熟练掌握，必须到运算了。但要达到熟练掌握，必须到运算了。但要达到熟练掌握，必须到SMCAI里多看一些例子、里多看一些例子、里多看一些例子、里多看一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例了。多做一些练习。限于学时这里不举例了。多做一些练习。限于学时这里不举例了。多做一些练习。限于学时这里不举例了。第7页，共28页，编辑于2022年，星期六4.2 振型的正交性振型的正交性 因为因为 i2MM A A i i=KA i、j2 MAj j=K KA Aj前一式左前一式左乘乘A

15、j jT T、后一式左乘、后一式左乘A i iT，再将两式相减，由于质量、，再将两式相减，由于质量、刚度的对称性，可得刚度的对称性，可得(i2-j2)A AjT TM A i=0 (11)由此可得由此可得 A jT MM A A i i=0 (12)上式乘上式乘 j2 2，考虑到，考虑到，考虑到，考虑到 j j2MM A j j物理意义是第物理意义是第j振型对应的惯振型对应的惯振型对应的惯振型对应的惯性力幅值，因此式（性力幅值，因此式（性力幅值，因此式（性力幅值，因此式（1212）表明第）表明第）表明第）表明第j振型对应的惯性力在第振型对应的惯性力在第振型对应的惯性力在第振型对应的惯性力在第i

16、 i振型振型振型振型位移上不做功。位移上不做功。位移上不做功。位移上不做功。从式（从式（12）和特征方程立即可证）和特征方程立即可证 A A jT T K K A i=0 (13)=0 (13)它表明第它表明第它表明第它表明第j j振型对应的弹性恢复力在第振型对应的弹性恢复力在第振型对应的弹性恢复力在第振型对应的弹性恢复力在第i i振型位移上不做功。振型位移上不做功。第8页，共28页，编辑于2022年，星期六4.2 振型的正交性振型的正交性 式式(12)和式和式(13)从数学上说，是不同振型对质量、刚从数学上说，是不同振型对质量、刚度加权正交。也即振型具有正交性。度加权正交。也即振型具有正交性

17、。从第从第i i振型幅值方程，立即可得振型幅值方程，立即可得 i i2 A AiT M A i i=A Ai iT T K A A i (14)(14)记记MMi i*=A iT MAi i (15)称作第称作第i振型广义质量，记振型广义质量，记振型广义质量，记振型广义质量，记K Ki*=A i iT T K KAi i (16)(16)称作第称作第称作第称作第i i振型广义刚度。则振型广义刚度。则振型广义刚度。则振型广义刚度。则 i i2=Ki i*/M/Mi*(17)(17)也即第也即第也即第也即第i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量频

18、率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和质量来求。来求。来求。来求。式式(12)和和(13)是是最基本、最常用的正交关系最基本、最常用的正交关系最基本、最常用的正交关系最基本、最常用的正交关系。第9页，共28页，编辑于2022年，星期六4.2 振型的正交性振型的正交性 因为因为 i i2M Ai i=K A i i (a)两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘 A A j jTK K MM-1-1，则，则 i i2 2 A A j jTK K MM-1M A i=i2A A j jT TK K A i i=i2 2 A Aj jTK KM-1

19、-1K A A i i=0 0 (b b)式式(a)两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘 A AjT KM-1-1 K KMM-1-1，则可证，则可证，则可证，则可证 i2 2 A j jT T K K M-1-1K A A i=i i2 2Aj jT TK K(M-1 K K)2 2 Ai=0 (c)按此思路继续左乘按此思路继续左乘按此思路继续左乘按此思路继续左乘,即可证明即可证明即可证明即可证明A Aj jT TK(MM-1 K K)n n A i i=0 (18)0 (18)类似地，请自行证明类似地，请自行证明类似地，请自行证明类似地，请自行证明A jT MM(K-1 M)n

20、 n A A i=0 (19)式式式式(18)(18)和式和式和式和式(19)(19)中中中中n是正整数。它们还可合并为一个式子，是正整数。它们还可合并为一个式子，请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。请大家思考如何合并？这是更一般的正交关系。第10页，共28页，编辑于2022年，星期六4.2 振型的正交性振型的正交性 式式(12)和和(13)或式或式(18)和和(19)正交性在多自由度分正交性在多自由度分析中有极重要的作用析中有极重要的作用，应该深刻理解。，应该深刻理解。利用正交性可作如下工作：利用正交性可作如下工作：利用正交性可作如下工作：利用正交性可作如下工作：1 1）在正确确定）在

21、正确确定）在正确确定）在正确确定 K K、M 前提下，可用它校核振型计算的正前提下，可用它校核振型计算的正前提下，可用它校核振型计算的正前提下，可用它校核振型计算的正确性。确性。确性。确性。2 2）已知振型、）已知振型、）已知振型、）已知振型、K K、M 的条件下，可用它求振型对应的频的条件下，可用它求振型对应的频的条件下，可用它求振型对应的频的条件下，可用它求振型对应的频率。率。率。率。3）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如有位）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如有位移移y y，可设，可设，可设，可设 y=ci i A i i，c ci i 为组合系数。等式两边同时为组合系数

22、。等式两边同时左乘左乘A Aj jT MM，根据正交性则有，根据正交性则有 A Aj jT T My=c=cjMj j*(d d)由此可求出组合系数由此可求出组合系数c cj j，代回代回代回代回 y y=c ci iA Ai即可得按振型分解即可得按振型分解即可得按振型分解即可得按振型分解的结果。的结果。的结果。的结果。第11页，共28页，编辑于2022年，星期六4.2 振型的正交性振型的正交性4）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实际）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实际上，只要设上，只要设u u(t)=)=yi i(t t)A Ai i，代入运动方程可得，代入运动方程可得，代

23、入运动方程可得，代入运动方程可得M i i(t t)A Ai i+K K y yi i(t t)A i=0 (=0 (e e)方程两边同时左乘方程两边同时左乘方程两边同时左乘方程两边同时左乘 A AjT T，根据正交性则有，根据正交性则有，根据正交性则有，根据正交性则有MMj j*j(t t)+)+Kj*y yi i(t t)=0 (20)从式从式从式从式(20)(20)可得可得可得可得(根据单自由度自由振动结果根据单自由度自由振动结果根据单自由度自由振动结果根据单自由度自由振动结果)yi i(t t)=)=a ai isin(sin(i it+c ci i)(f)代回多自由度所假设的解，即可

24、得代回多自由度所假设的解，即可得u u(t)=aisin(sin(it t+ci)A Ai (21)(21)5）式）式(21)中的待定常数中的待定常数a ai、c ci i可由初始条件确定。如何确可由初始条件确定。如何确可由初始条件确定。如何确可由初始条件确定。如何确定请自行考虑。定请自行考虑。定请自行考虑。定请自行考虑。6 6）正交性还是受迫振动分析的基础。）正交性还是受迫振动分析的基础。）正交性还是受迫振动分析的基础。）正交性还是受迫振动分析的基础。第12页，共28页，编辑于2022年，星期六4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动4.3.1 4.3.1 多自由度受迫振动的振型分解法多

25、自由度受迫振动的振型分解法多自由度受迫振动的振型分解法多自由度受迫振动的振型分解法 多自由度任意荷载下运动方程为多自由度任意荷载下运动方程为多自由度任意荷载下运动方程为多自由度任意荷载下运动方程为象上节象上节4）一样，设）一样，设u=yi(t t)A i i，也即位移分解成各，也即位移分解成各振型的组合，组合系数振型的组合，组合系数y yi i(t t)称称广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标。则。则。则。则 M i(t)A i i+C C i(t t)Ai i+K K y yi i(t t)A A i i=P(t t)()(a a)如果阻尼矩阵对振型不正交，也即如果阻尼矩阵对振型不正交，也即如果

26、阻尼矩阵对振型不正交，也即如果阻尼矩阵对振型不正交，也即 A Aj jT C CAi i 0 (b)则式则式则式则式(a)将是联列的微分方程组，求解将是很困难的。为将是联列的微分方程组，求解将是很困难的。为此，通常引入正交阻尼假设，也称此，通常引入正交阻尼假设，也称Rayleigh(Rayleigh(瑞利瑞利瑞利瑞利)比例阻比例阻比例阻比例阻尼尼尼尼如下如下如下如下 C C=0 0 MM+1K (22)也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比，也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比，0比比 1可用振型可用振型可用振型可用振型正交性由阻尼比正交性由阻尼比正交性由阻尼比正交性由阻尼比 i i，j j和频率和

27、频率和频率和频率 i i，j确定确定(作业作业作业作业)。第13页，共28页，编辑于2022年，星期六4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 在正交阻尼假设下，在正交阻尼假设下，在正交阻尼假设下，在正交阻尼假设下，A A i iTC CA i i=C Ci i*(23)(23)式式(a a)两边同时左乘两边同时左乘A iT，则可得，则可得，则可得，则可得MMi i*i(t t)+)+C Ci*i i(t t)+)+Ki*y yi(t t)=A iT P P(t t)(24)其中其中其中其中MMi*、Ci i*、K Ki*分别称为第分别称为第分别称为第分别称为第i i振型振型广义质量、广义

28、阻尼、广义质量、广义阻尼、广义刚度广义刚度。再记第。再记第i振型振型振型振型广义荷载广义荷载广义荷载广义荷载为为为为A Ai iTP(t t)=Pi*(t t)(25)则式则式则式则式(24)(24)是广义坐标是广义坐标是广义坐标是广义坐标y yi(t t)的单自由度方程的单自由度方程MMi*i i(t t)+C Ci*i i(t)+Ki i*yi(t)=)=Pi i*(t t)(26)(26)利用利用Duhamel积分可求出式积分可求出式(26)的解答为的解答为代回代回代回代回 u u=y yi i(t t)A A i i，即可得多自由度受迫振动解答。，即可得多自由度受迫振动解答。，即可得多

29、自由度受迫振动解答。，即可得多自由度受迫振动解答。脉响函数脉响函数自由振动自由振动第14页，共28页，编辑于2022年，星期六4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动 如果如果 P P(t t)=)=Pf f(t t)(27)(27)则则 Pi i*(t)=)=A A iT Pf f(t)=P Pi*f(t)()(c c)记记 i =Ai iTP P/Mi i*=P Pi*/Mi*(28)(28)称为第称为第i i振型的振型的振型参与系数振型参与系数。则可得。则可得。则可得。则可得Mi*i i(t)+)+Ci*i i(t)+K Ki i*y yi i(t t)=)=i MMi i*f(t

30、t)(29)或或 i i(t)+2)+2 i i ii(t t)+i i2 2yi(t t)=)=i if f(t)(30)(30)在零初始条件下，广义坐标为在零初始条件下，广义坐标为代回代回u=y yi(t)A Ai，即可得，即可得，即可得，即可得 u u=i i i(t)A A i i。i(t t)称为称为第第i i振型的振型的振型的振型的广义位移广义位移。(31)(32)第15页，共28页，编辑于2022年，星期六4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动4.3.2 4.3.2 简谐荷载下的受迫振动反应简谐荷载下的受迫振动反应简谐荷载下的受迫振动反应简谐荷载下的受迫振动反应 设动荷载（

31、转动机器引起）为设动荷载（转动机器引起）为设动荷载（转动机器引起）为设动荷载（转动机器引起）为 P(t)=P Psin t (33)(33)则由式则由式(28)可求得各振型的振型参与系数可求得各振型的振型参与系数 i i，当只讨论稳，当只讨论稳，当只讨论稳，当只讨论稳态振动，并且认为态振动，并且认为态振动，并且认为态振动，并且认为 i i=i,d(忽略阻尼对频率的影响忽略阻尼对频率的影响)时，时，根据单自由度所得结果，广义位移为根据单自由度所得结果，广义位移为 i(t t)=isin(i it-i)/)/i2 (34)(34)式式(34)中中 i i为第为第为第为第i振型动力系数振型动力系数振

32、型动力系数振型动力系数 i i=(1-=(1-i2 2)2 2+4 i i2 2 i i2-1/2 -1/2 (35)其中其中其中其中 i i为第为第为第为第i i振型频率比振型频率比振型频率比振型频率比(i i=/i)，i为第为第i i振型相位角振型相位角tgtg i=2=2 i i /i(1-i2)(36)将式将式(34)代回代回 u u=i i(t)A i，得得u u(t)=)=i isin(sin(i it-i)/)/i2 2A i (37)(37)无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上述无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上述结果中令结果中令 i i=0 0得到。得到。得

33、到。得到。第16页，共28页，编辑于2022年，星期六4.3 多自由度的受迫振动多自由度的受迫振动4.3.3 4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤简谐荷载受迫振动反应分析步骤简谐荷载受迫振动反应分析步骤简谐荷载受迫振动反应分析步骤 当动荷载为当动荷载为 Psin t t 或或或或 Pcoscos t t 时，多自由度系统稳时，多自由度系统稳时，多自由度系统稳时，多自由度系统稳态反应分析，可按如下步骤进行态反应分析，可按如下步骤进行态反应分析，可按如下步骤进行态反应分析，可按如下步骤进行1 1）确定系统质量）确定系统质量）确定系统质量）确定系统质量 MM、刚度、刚度、刚度、刚度 K（或柔度（

34、或柔度（或柔度（或柔度 f f）矩阵。）矩阵。）矩阵。）矩阵。2 2）求无阻尼自由振动的振型）求无阻尼自由振动的振型）求无阻尼自由振动的振型）求无阻尼自由振动的振型 A Ai i 、频率、频率、频率、频率 i。3 3）用阻尼比）用阻尼比）用阻尼比）用阻尼比 1 1,2和频率和频率和频率和频率 1 1,2求瑞利阻尼的求瑞利阻尼的 0和和和和 1 1。4）求）求i振型振型参与系数振型振型参与系数振型振型参与系数振型振型参与系数 i i=Ai iTP P/A i iTMMA A i i。5）求）求i i振型阻尼比振型阻尼比振型阻尼比振型阻尼比 i i=1/2(0 0/i+1 i)6 6）求）求）求）

35、求i i振型动力系数振型动力系数振型动力系数振型动力系数 i=(1-i i2)2+4+4 i2 2 i i2-1/2。7）求）求i i振型相位角振型相位角振型相位角振型相位角 i i=arctg2=arctg2 i i/i(1-(1-i i2)。8）求）求i i振型广义位移振型广义位移 i(t)=isin(sin(it-t-i i)/i i2。9 9）将各振型广义位移代回）将各振型广义位移代回）将各振型广义位移代回）将各振型广义位移代回 u u=i i(t t)Ai ，则得最终结果，则得最终结果，则得最终结果，则得最终结果 u(t t)=)=i isin(i it-i)/i2 A Ai (37

36、)(37)第17页，共28页，编辑于2022年，星期六4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析4.4.1 4.4.1 基本原理基本原理基本原理基本原理 对动力问题，设单元位移场仍表示成对动力问题，设单元位移场仍表示成d d=N Nd de e，只是现在只是现在只是现在只是现在 d d=d(x,t)，d de e=d(t)。设杆单元的密度为设杆单元的密度为设杆单元的密度为设杆单元的密度为，将微段惯性力将微段惯性力将微段惯性力将微段惯性力-aA Adx作为体积力，作为体积力，作为体积力，作为体积力，则这一单元荷载的总虚功为则这一单元荷载的总虚功为则这一单元荷载的总虚功为则这一单元荷载的

37、总虚功为(38)引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵 me e(39)第18页，共28页，编辑于2022年，星期六4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析 由式由式(39)代入形函数并积分，对质量均匀分布的平面代入形函数并积分，对质量均匀分布的平面弯曲单元，其单元一致质量矩阵弯曲单元，其单元一致质量矩阵mme e为为(40)作业：试求拉压杆单元的一致质量矩阵作业：试求拉压杆单元的一致质量矩阵作业：试求拉压杆单元的一致质量矩阵作业：试求拉压杆单元的一致质量矩阵 k。第19页，共28页，编辑于2022年，星期六4.4 杆系结构有限元动力分析杆

38、系结构有限元动力分析 当在无阻尼情况下，用虚位移原理进行单元分析可得当在无阻尼情况下，用虚位移原理进行单元分析可得单元刚度方程单元刚度方程（注意：现在的分析是对单元局部坐标系的）（注意：现在的分析是对单元局部坐标系的）由此由此由此由此“单元刚度方程单元刚度方程单元刚度方程单元刚度方程”出发，经坐标转换、整体集装出发，经坐标转换、整体集装出发，经坐标转换、整体集装出发，经坐标转换、整体集装（定位向量（定位向量（定位向量（定位向量“对号入座对号入座对号入座对号入座”）后，可得有限元所建立的运动方）后，可得有限元所建立的运动方）后，可得有限元所建立的运动方）后，可得有限元所建立的运动方程程程程(41

39、)(42)如果要考虑阻尼，则可利用瑞利阻尼，由结构一致质如果要考虑阻尼，则可利用瑞利阻尼，由结构一致质量矩阵量矩阵MM和结构刚度矩阵和结构刚度矩阵K来建立结构阻尼矩阵来建立结构阻尼矩阵C。第20页，共28页，编辑于2022年，星期六4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析4.4.2 4.4.2 几点说明几点说明几点说明几点说明1 1）以单元上无荷载作用，仅产生单位位移的形函数作为单）以单元上无荷载作用，仅产生单位位移的形函数作为单）以单元上无荷载作用，仅产生单位位移的形函数作为单）以单元上无荷载作用，仅产生单位位移的形函数作为单元位移场，这是常用的一种近似处理。元位移场，这是常用的

40、一种近似处理。元位移场，这是常用的一种近似处理。元位移场，这是常用的一种近似处理。2）结构一致质量矩阵和结构刚度矩阵非零元素分布一）结构一致质量矩阵和结构刚度矩阵非零元素分布一样。样。3）Clough教授曾经指出，对于框架结构，将杆件一半教授曾经指出，对于框架结构，将杆件一半质量集中在杆端，用集中质量法计算不仅在处理后可减质量集中在杆端，用集中质量法计算不仅在处理后可减少未知数个数（自由度），而且往往精度更好。少未知数个数（自由度），而且往往精度更好。4）当采用集中质量法时，）当采用集中质量法时，M中相应转动自由度的对角中相应转动自由度的对角线元素（转动惯量）为零，假设位移编码将转动自由度线元

41、素（转动惯量）为零，假设位移编码将转动自由度集中在最后编，则无阻尼运动方程分块形式为集中在最后编，则无阻尼运动方程分块形式为 M1 1+K K11u u+K1212 =R1 1 K21 u u+K K2222 =R2 2由此消去由此消去 ，可得只有线位移自由度的方程。，可得只有线位移自由度的方程。，可得只有线位移自由度的方程。，可得只有线位移自由度的方程。第21页，共28页，编辑于2022年，星期六4.4 杆系结构有限元动力分析杆系结构有限元动力分析4.4.2 几点说明几点说明5）如果分析时用集中质量法且不考虑轴向变形，则集）如果分析时用集中质量法且不考虑轴向变形，则集装后最终质量矩阵是每层质

42、量对角排列的形式。这是目装后最终质量矩阵是每层质量对角排列的形式。这是目前杆系模型的常用计算方案。前杆系模型的常用计算方案。6）对于上述杆系模型的计算程序，质量矩阵很简单。）对于上述杆系模型的计算程序，质量矩阵很简单。但是集装形成刚度矩阵时，要做但是集装形成刚度矩阵时，要做4）中所述的）中所述的“静力缩静力缩聚聚”。当。当R2 2=0时，时，K1 1=K11-K K1212K2222-1-1 K2121，运动方程为运动方程为运动方程为运动方程为 MM1 1+K K1 u u=R1 1 (43)(43)自由度数等于框架的层数。自由度数等于框架的层数。自由度数等于框架的层数。自由度数等于框架的层数

43、。7 7）本节基本原理是对杆系结构进行说明的，象计算结构力学）本节基本原理是对杆系结构进行说明的，象计算结构力学）本节基本原理是对杆系结构进行说明的，象计算结构力学）本节基本原理是对杆系结构进行说明的，象计算结构力学力里一样，思路、方法也可用于其他位移有限元动力分析。力里一样，思路、方法也可用于其他位移有限元动力分析。力里一样，思路、方法也可用于其他位移有限元动力分析。力里一样，思路、方法也可用于其他位移有限元动力分析。8）程序）程序Vibra可用来计算杆系结构的自振特性等等，请可用来计算杆系结构的自振特性等等，请大家使用。大家使用。第22页，共28页，编辑于2022年，星期六4.5 多自由度

44、时程分析方法多自由度时程分析方法4.5.1 多自由度的线加速度法多自由度的线加速度法 在在在在3.33.3节介绍了单自由度线加速度法，从运动方程的相似性节介绍了单自由度线加速度法，从运动方程的相似性节介绍了单自由度线加速度法，从运动方程的相似性节介绍了单自由度线加速度法，从运动方程的相似性 m+c+ku m+c+ku=P(t t)MM+C C +K K u u=P P(t)显然在显然在显然在显然在0,0,t t时间间隔内假设加速度线性变化时间间隔内假设加速度线性变化,则将则将3.3节节mm,c,k,Pk,P换成换成M、C C、K、P(t)，即可得到多自由，即可得到多自由度线加速度法的等效刚度和

45、等效荷载。度线加速度法的等效刚度和等效荷载。数值积分能做线性、非线性时程分析，对非正交阻尼矩阵数值积分能做线性、非线性时程分析，对非正交阻尼矩阵数值积分能做线性、非线性时程分析，对非正交阻尼矩阵数值积分能做线性、非线性时程分析，对非正交阻尼矩阵也能求解。重要、高层结构要用时程分析。也能求解。重要、高层结构要用时程分析。也能求解。重要、高层结构要用时程分析。也能求解。重要、高层结构要用时程分析。4.5.2 多自由度的多自由度的Wilson-法法 线加速度法要求线加速度法要求 t t小于系统最短周期的小于系统最短周期的小于系统最短周期的小于系统最短周期的1/101/10，当自由度，当自由度，当自由

46、度，当自由度很多时频率将很高周期很短，这一要求使计算很费时间。而很多时频率将很高周期很短，这一要求使计算很费时间。而很多时频率将很高周期很短，这一要求使计算很费时间。而很多时频率将很高周期很短，这一要求使计算很费时间。而且进一步数学分析表明它是条件稳定的。且进一步数学分析表明它是条件稳定的。且进一步数学分析表明它是条件稳定的。且进一步数学分析表明它是条件稳定的。第23页，共28页，编辑于2022年，星期六4.5 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法 Wilson提出，假设提出，假设 0,t 加速度线性变化加速度线性变化加速度线性变化加速度线性变化,仿线加速仿线加速仿线加速仿线加速度法进行推

47、导度法进行推导度法进行推导度法进行推导,可得可得可得可得K*=a0 0 M+a a1 1C C+K (44)P P(t+t)*=P P(t t)+(P(t+t+t t)-P(t t)+)+M(a0u u(t)+a a2(t)+2(t)+C(a a1 u u(t t)+2(t)+)+a a3 3 (t t)(45)K K*u u(t+t+t t)=P(t+t)*(46)(46)由式由式(46)可解出可解出u u(t+t)，进一步可以求的，进一步可以求的t+t时刻时刻的状态向量。的状态向量。4.5.3 Wilson-4.5.3 Wilson-法的步骤法的步骤1 1）形成系统）形成系统）形成系统）形

48、成系统 M、C、K；2 2）确定初始状态向量）确定初始状态向量）确定初始状态向量）确定初始状态向量 u u(0)、(0)、(0)(0)；3 3）确定）确定）确定）确定 (一般为一般为1.4)和和 t t;按以下公式计算常数按以下公式计算常数第24页，共28页，编辑于2022年，星期六4.5 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法a0 0=6/(=6/(t)2;a a1 1=3/(=3/(t);a a2=2a a1 1;a a3 3=t/t/2;2;a4=a a0 0/;a a5=-=-a2/;a a6 6=1-3/;a7=t/t/2;a8=t2/6 (47)6 (47)4 4）按式）按式）按

49、式）按式(44)(44)计算等效刚度；计算等效刚度；计算等效刚度；计算等效刚度；5 5）对等效刚度进行）对等效刚度进行）对等效刚度进行）对等效刚度进行LDLLDLT T 分解，获得分解，获得分解，获得分解，获得D和和L L；6 6）按式）按式）按式）按式(45)(45)计算等效荷载；计算等效荷载；计算等效荷载；计算等效荷载；7 7）用线性方程组的）用线性方程组的）用线性方程组的）用线性方程组的LDLLDLT法解法解u u(t+t+t t)；8 8）按以下公式计算）按以下公式计算）按以下公式计算）按以下公式计算t+t时刻的状态向量时刻的状态向量时刻的状态向量时刻的状态向量(t+t)=)=a4 4

50、(u u(t+t+t t)-)-u u(t t)+a a5(t)+a6 6(t t)(t+t)=)=(t t)+)+a a7(t+t)+)+(t)(48)u u(t+t)=u u(t t)+t(t t)+)+a8 8(t+t+t t)+2(t t)9）按）按6）8）逐步计算，求整个时程的反应。）逐步计算，求整个时程的反应。4.5.4 Wilson-法的几点说明法的几点说明法的几点说明法的几点说明1）这是无条件稳定的算法；）这是无条件稳定的算法；第25页，共28页，编辑于2022年，星期六4.5 多自由度时程分析方法多自由度时程分析方法2）用这种方法会带来附加的阻尼（算法阻尼），使频率）用这种方