自动控制原理第七章非线性系统.ppt

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1、自动控制原理第七章非线性系统现在学习的是第1页，共49页前前面面几几章章讨讨论论的的都都是是线线性性系系统统，实实际际上上所所有有的的实实际际系系统统都都不不可可避避免免地地带带有有某某种种程程度度的的非非线线性性，只只要要具具有有一一个个非非线线性性环环节节，就就称称作作非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统，因因此此严严格格的的说说所所有有系系统统都都是非线性系统。是非线性系统。本本本本章章章章将将将将主主主主要要要要讨讨讨讨论论论论关关关关于于于于非非非非线线线线性性性性系系系系统统统统的的的的基基基基本本本本概概概概念念念念，以以以以及及及及其其其其中中中中的一种基本分析方法的一种基

2、本分析方法的一种基本分析方法的一种基本分析方法描述函数法描述函数法描述函数法描述函数法。现在学习的是第2页，共49页7.1 7.1 典型非线性特性典型非线性特性 在在控控制制系系统统中中，若若控控制制装装置置或或元元件件其其输输入入输输出出间间的的静静特特性性曲曲线线，不不是是一一条条直直线线，则则称称为为非非线线性性特特性性。如如果果这这些些非非线线性性特特性性不不能能采采用用线线性性化化的的方方法法来来处处理理，称称这这类类非非线线性性为为本本质质非非线线性性。为为简简化化对对问问题题的的分分析析，通通常常将将这这些些本本质质非非线线性性特特性性用用简简单单的的折折线线来来代替，称为代替，

3、称为典型非线性特性。典型非线性特性。7.1.1 典型非线性特性的种类典型非线性特性的种类1饱和特性饱和特性 饱饱和和特特性性的的静静特特性性曲曲线线如如图图7-1所所示示，其其数数学学表表达达式式为：为：现在学习的是第3页，共49页 式式中中，a为为线线性性区区宽宽度度；k为为线线性性区区斜斜率率。饱饱和和特特性性的的特特特特点点点点是是：输输入入信信号号超超过过某某一一范范围围后后，输输出出不不再再随随输输入入的的变变化化而而变变化化，而而是是保保持持在在某某一一常常值值上上。饱饱和和特特性性在在控控制制系系统统中中是是普普遍遍存存在在的的，常常见见的的调调节节器器就就具具有有饱饱和和特性。

4、特性。yxka-a0图图7-1 饱和特性饱和特性M-M现在学习的是第4页，共49页其数学表达式为其数学表达式为yxka-a0图图7-2 死区特性死区特性2死区特性死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零，其静持性关系如图为零，其静持性关系如图7-27-2所示。所示。若引入符号函数若引入符号函数 死区小时，可忽略；大死区小时，可忽略；大时，需考虑。工程中，为抗时，需考虑。工程中，为抗干扰，有时故意引入。比如干扰，有时故意引入。比如操舵系统。操舵系统。现在学习的是第5页，共49页3 滞环特性滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性

5、不是重叠在一起，而是在输入滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入-输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-37-3所示。其数所示。其数学表达式为：学表达式为：这类特性，当输入信号小于间隙这类特性，当输入信号小于间隙a时，输出不变。当时，输出不变。当xa时，时，输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变化时的输出线性变化；输入反向时，输出保持在方向发生变化时的输出值上，直到变化输出值上，直到变化2a后，才再线性变化。后，才再线性变化。例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。例如：铁磁材料，齿轮的齿隙，液压传动中的间隙等。yx

6、图图7-3 滞环特性滞环特性0b-ba-a现在学习的是第6页，共49页4 4继电器特性继电器特性 继继电电器器非非线线性性特特性性一一般般可可用用图图7-47-4表表示示，不不仅仅包包含含死死区区，而且还具有而且还具有滞环滞环特性，其数学表达式为：特性，其数学表达式为：yx图图7-4 继电器特性继电器特性0ama-a-mab-b现在学习的是第7页，共49页 特殊情况：特殊情况：特殊情况：特殊情况：(1)若若a0，称这种特性为，称这种特性为理想继电理想继电理想继电理想继电 器特性器特性器特性器特性，如图，如图7-5(a)所示所示.(2)若若m=1，其静特性如图，其静特性如图7-5(b)所示，所示

7、，则称为则称为死区继电器特性死区继电器特性死区继电器特性死区继电器特性.(3)若若m-1，则称为，则称为滞环继电器特性滞环继电器特性滞环继电器特性滞环继电器特性，如图如图7-5(c)所示。所示。实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。图图7-5 三种继电器特性三种继电器特性（a）理想继电器特性）理想继电器特性（b）死区继电器特性（）死区继电器特性（c）滞环继电器特性）滞环继电器特性yx0b-b(a)yx图图7-4 继电器特性继电器特性0ama-a-mab-byxa-a0-b

8、b(b)yxa-a0-bb(c)现在学习的是第8页，共49页 7.1.2非线性系统的若干特征非线性系统的若干特征非非线线性性系系统统与与线线性性系系统统最最本本质质的的区区别别为为：由由非非线线性性微微分分方方程程描描述述，不不满满足足叠叠加加原原理理，故故在在非非线线性性系系统统中中将将出出现现一一些些线线性性系系统统见见不不到到的的现现象象，两两者者之之间有着不同的运动规律。间有着不同的运动规律。具体表现在：具体表现在：上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还上述介绍的是一些典型特性。实际中的非线性还有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一些有好多复杂的情况，有些是它们的组合；还有一些

9、很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非线性。很难用一般的函数来描述，可以称为不规则非线性。现在学习的是第9页，共49页对对于于线线性性系系统统，其其稳稳定定性性仅仅与与系系统统的的结结构构和和参参数数有有关关，与与系系统统的的输输入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。入信号及初始条件无关。而非线性系统却复杂的多。考虑非线性一阶系统：考虑非线性一阶系统：（1 1）稳定性的复杂性）稳定性的复杂性设设t=0时时,系统的初始状态为系统的初始状态为x0 10 x(t)tx01x01，t lnx0/(x0 1)时时，随随t增增大大，x(t)递递增增；t=lnx0/(x0 1)时时，x(t)为为无

10、无穷穷大大。当当x0a时，比例系数总小时，比例系数总小于于k.P255表表7-1列出了常见的非线性系统的描述函数列出了常见的非线性系统的描述函数N(A)以及相应的负倒特以及相应的负倒特性曲线性曲线-1/N(A)，供分析时参考。，供分析时参考。理想继电特性理想继电特性理想继电特性理想继电特性，死区继电特性死区继电特性死区继电特性死区继电特性，饱和饱和特性，死区特性特性，死区特性最好能记住最好能记住最好能记住最好能记住！7.2.3 7.2.3 组合非线性特性的描述函数组合非线性特性的描述函数 以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性

11、，完全可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可可以利用这种方法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串串并联并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特性的描述函数。性的描述函数。现在学习的是第26页，共49页1 1非线性特性的并联计算非线性特性的并联计算设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值单值函数函数，即它们的描述函数都是，即它们的描述函

12、数都是实数实数，如图，如图7-11所示。所示。N1N2+x(t)y12(t)y1(t)图图7-11 两个非线性环节并联两个非线性环节并联y11(t)当输入为当输入为x(t)Asint时，则两个环节输出的时，则两个环节输出的基波分量基波分量分别为输入信分别为输入信号乘以各自的描述函数，即号乘以各自的描述函数，即 由此可见，若干个非线性环节并联后由此可见，若干个非线性环节并联后由此可见，若干个非线性环节并联后由此可见，若干个非线性环节并联后的总的的总的的总的的总的 描述函数，等于各非线性环节描描述函数，等于各非线性环节描描述函数，等于各非线性环节描描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当述函数之

13、和。当述函数之和。当述函数之和。当N N1 1和和和和N N2 2是复数时，该是复数时，该是复数时，该是复数时，该结论仍成立。结论仍成立。结论仍成立。结论仍成立。现在学习的是第27页，共49页 例例7.1 下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数下图为一个具有死区的非线性环节，求描述函数N(A).具有死区的非线性特性的并联分解具有死区的非线性特性的并联分解00Mkxy+xk0My现在学习的是第28页，共49页解：解：可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器可见，该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为2非线性特

14、性的串联计算非线性特性的串联计算若两个非线性环节串联，如下图所示，其总的描述函若两个非线性环节串联，如下图所示，其总的描述函数数不等于不等于两个非线性环节描述函数的乘积。两个非线性环节描述函数的乘积。N1N2xyNyxz现在学习的是第29页，共49页 必须首先求出这两个非线性环节串联后必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。yz021k2=2xy10k=222-2-110k=2x22-110k=2x22-2yy10k1=1xz2 例例7-2 求求图图7-12所所示示两两个个非非线线性

15、性特特性性串串联联后后总总的的描描述述函函数数N(A)。现在学习的是第30页，共49页解；这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。解；这是一个死区特性和一个饱和特性相串联。根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为一个根据各串联环节输入输出之间的关系，可以等效为一个死区加饱和死区加饱和的非线性特性。的非线性特性。为求得这个等效非线性特性的描述函数，为求得这个等效非线性特性的描述函数，又可将其分又可将其分解为两个具有完全相同线性区斜率解为两个具有完全相同线性区斜率k=2和不同死区宽度死区和不同死区宽度死区特性的并联相减，故总的描述函数为：特性的并联相减，故总的描述函数为：现在学习的是第31页，共

16、49页习题：习题：1.求图示求图示3个非线性环节串联后等效的非线性特性，并求其个非线性环节串联后等效的非线性特性，并求其描述函数，其中描述函数，其中Mh。0hM0M-M0M-Mh0M-M现在学习的是第32页，共49页2.图示图示2个非线性环节串联后等效的非线性特性。个非线性环节串联后等效的非线性特性。0M-M0ab0aM现在学习的是第33页，共49页7.2.4 7.2.4 用描述函数法分析非线性系统用描述函数法分析非线性系统 前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而

17、非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分析。步应用线性系统的频率法进行分析。这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为描述函数法，这种方法只能用于分析系统这种方法只能用于分析系统的的稳定性稳定性和和自振荡自振荡。现在学习的是第34页，共49页 1 1 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析 假设非线性元件和系统满足假设非线性元件和系统满足7.2节所要求的节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函来表示，而线性部分

18、可用传递函G(s)或频率特性或频率特性G(j)表示，如图表示，如图7-15所示。所示。图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)-现在学习的是第35页，共49页式中，式中，式中，式中，-1N(A)N(A)称作非线性特性的称作非线性特性的负倒描述函数。负倒描述函数。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 -现在学习的是第36页，共49页 通过对比会发现通过对比会发现:在线性系统分析中在线性系统分析中 当应用奈氏判据时，若满足当应用奈氏判据时，若满足G(j)-1+j0

19、，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然，式显然，式(7-29)中的中的-1/N(A)相当于线性系统中的相当于线性系统中的(-1，j0)点。区别在于，点。区别在于，线性系统的临界状态是一个线性系统的临界状态是一个点点点点(-1(-1，j j0)0)。而非线性系统的临界状态是。而非线性系统的临界状态是-1/N(A)曲线。通常又将曲线。通常又将-1/N(A)曲线称为曲线称为负倒特性曲线负倒特性曲线。综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：首首首首先求出非线性环节的描述函数

20、先求出非线性环节的描述函数先求出非线性环节的描述函数先求出非线性环节的描述函数N(A)N(A)，然后在极坐标图上分别画出线性部分，然后在极坐标图上分别画出线性部分，然后在极坐标图上分别画出线性部分，然后在极坐标图上分别画出线性部分的的的的G(j)曲线和非线性部分的曲线和非线性部分的曲线和非线性部分的曲线和非线性部分的-1/N(A)曲线，并假设曲线，并假设曲线，并假设曲线，并假设G(s)G(s)的极点均在的极点均在的极点均在的极点均在s s左半平面，则左半平面，则左半平面，则左半平面，则线性系统闭环特征方程线性系统闭环特征方程:1+G(j)=0或或 G(j)=-1非线性系统闭环特征方程非线性系统

21、闭环特征方程:1+N(A)G(j)=0或或 G(j)=-1/N(A)式式(7-29)现在学习的是第37页，共49页 (1)若若G(s)曲线不包围曲线不包围-1/N(A)曲线，如图曲线，如图7-16(a)所示，则非所示，则非线性系统是稳定的。线性系统是稳定的。(2)若若G(s)曲线包围曲线包围-1/N(A)曲线，如图曲线，如图7-16(b)所示，则非所示，则非线性系统是不稳定的。线性系统是不稳定的。(3)若若G(s)曲线与曲线与-1/N(A)曲线相交，如图曲线相交，如图7-16(c)所示，则在所示，则在理论上将产生等幅振荡或称为理论上将产生等幅振荡或称为自振荡自振荡自振荡自振荡。0ImG(jw)

22、-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re图图7-16非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析(a),(b),(c)现在学习的是第38页，共49页2自振荡的分析与计算自振荡的分析与计算若若G(j)曲线与曲线与-1/N(A)曲线相交，则系统将产生自振荡。曲线相交，则系统将产生自振荡。下面从信号的角度进一步分析下面从信号的角度进一步分析自振荡产生的条件自振荡产生的条件。在图在图7-15所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着系统中有一个正所示非线性系统中，若产生自振荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为弦信号在流

23、通，不妨设非线性环节的输入信号为 x(t)=Asint则非线性环节输出信号基波分量为则非线性环节输出信号基波分量为而线性部分的输出信号为而线性部分的输出信号为x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图图7-15非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 -现在学习的是第39页，共49页x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 -G(jG(j)=-1 1/N(A)/N(A)现在学习的是第40页，共49页0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1自自振振荡荡也也存存在在一一个个稳稳定定性性问问题题，因因此此必必须须进进一一

24、步步研研究究自自振振荡的稳定性。荡的稳定性。若若系系统统受受到到扰扰动动偏偏离离了了原原来来周周期期运运动动状状态态，当当扰扰动动消消失失后后，系系统统能能够够重重新新收收敛敛于于原原来来的的等等幅幅振振荡荡状状态态，称称为为稳稳稳稳定定定定的的的的自自自自振振振振荡荡荡荡，反反之之，称称为为不不稳稳定定的的自自振振荡荡。判判断断自自振振荡荡的的稳稳定性可以从上述定义出发，采用扰动分析的方法定性可以从上述定义出发，采用扰动分析的方法。现在学习的是第41页，共49页 以以上上图图为为例例，G(j)与与-1/N(A)曲曲线线有有两两个个交交点点，说说明明存存在在两两个个自自振振荡荡点点。对对于于M

25、1点点，若若受受到到干干扰扰使使振振幅幅A增增大大，则则工工作作点点将将由由点点M1移移至至a点点。由由于于此此时时a点点不不被被曲曲线线G(j)包包围围。系系统统稳稳定定，振振荡荡衰衰减减，振振幅幅A自自动动减减小小，工工作作点点将将沿沿-1/N(A)曲曲线线回回到到M1点点。反反之之亦亦然然，所所以以M1点点是是稳稳定定的的自自振振荡荡。同同样样的的方方法法可以分析点可以分析点M2是不稳定的振荡点。是不稳定的振荡点。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1现在学习的是第42页，共49页 按照下述准则来判断自振荡的稳定性是极为简便的：按照下述准则来判断自振荡的稳定性是极为简便的：在

26、在复复平平面面上上自自振振荡荡点点附附近近。当当按按幅幅值值A增增大大的的方方向向沿沿-l/N(A)曲曲线线移移动动时时，若若系系统统从从不不稳稳定定区区进进入入稳稳定定区区，则则该该交交点点代代表表的的是是稳稳定定的的自自振振荡荡；反反之之，若若沿沿-l/N(A)曲曲线线振振幅幅A增增大大的的方方向向是是从从稳稳定定区区进进入入不不稳稳定定区区，则则该该交交点点代代表表的的是是不不稳稳定定的自振荡。的自振荡。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1现在学习的是第43页，共49页 值得注意的是，由前面推导自振荡产生的条件可知，对于稳定的自振荡，计算所得到的振幅和频率振幅和频率是图7-

27、15中非线性环节的输入信号x(t)Asint的振幅和频率，而不是系统的输出信号c(t)。两者差一。两者差一“-”。x(t)y(t)N（A）G(s)r(t)=0c(t)图图7-15 非线性系统典型结构图非线性系统典型结构图 -对对于于稳稳定定的的自自振振荡荡，振振幅幅和和频频率率是是确确定定的的，并并可可测测量量得得到到。计计算算时时，振振幅幅可可由由-1/N(A)曲曲线线的的自自变变量量A A 的的大大小小来来确确定定，而振荡频率由而振荡频率由G(j)G(j)曲线的自变量曲线的自变量 来确定。来确定。对对于于不不稳稳定定的的自自振振荡荡，由由于于实实际际系系统统不不可可避避免免地地存存在在扰扰

28、动动，因因此此这这种种自自振振荡荡是是不不可可能能持持续续的的，仅仅是是理理论论上上的的临临界界周期运动，在实际系统中是测量不到的。周期运动，在实际系统中是测量不到的。现在学习的是第44页，共49页例例7.37.3 具有理想继电器特性非线性系统如图具有理想继电器特性非线性系统如图7-177-17所示，试确定所示，试确定其自振荡的幅值和频率。其自振荡的幅值和频率。解：理想继电器特性的描述函数为解：理想继电器特性的描述函数为01-1c(t)_r(t)现在学习的是第45页，共49页0ImG(j)-1/N(A)Re-1现在学习的是第46页，共49页0ImG(j)-1/N(A)Re-1由此求得：由此求得

29、：A=2.1，=1.414rad/s现在学习的是第47页，共49页(M)(h)013r(t)c(t)_例例7-4 7-4 设控制系统的结构图如图设控制系统的结构图如图7-18(a)所示，图中死区继电所示，图中死区继电器特性的参数为器特性的参数为a=1,b=3.(1)计算自振荡的振幅和频率计算自振荡的振幅和频率.(2)为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整为消除自振荡，继电器特性参数应如何调整.解解：(1)死区继电器特性的负倒描述函数为死区继电器特性的负倒描述函数为现在学习的是第48页，共49页当当A=1时，时，-1/N(A)=-，当，当A=时，时，-1/N(A)=-。其极。其极值发生在值发生在处，此时处，此时0ImG(j)-1/N(A)Re-/6M1M2 因此，因此，-1/N(A)是从负实轴上是从负实轴上-/6至至-这一段，为清楚起见，用两条直线来这一段，为清楚起见，用两条直线来表示，如图所示。表示，如图所示。由线性部分的传递函数得由线性部分的传递函数得现在学习的是第49页，共49页