振动力学与结构动力学第二章幻灯片.ppt

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1、振动力学与结构动力学第二章第1页，共91页，编辑于2022年，星期六一一.运动方程及其解运动方程及其解m mEIl令令令令 二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程二阶线性齐次常微分方程其通解为其通解为由初始条件由初始条件可得可得令令令令其中其中其中其中第2页，共91页，编辑于2022年，星期六无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动，并且永无休止为振动频率的简谐振动，并且永无休止初始条件的说明：初始条件的说明：初始条件是外界能量转入的一种方式，初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位

2、移即转入了弹性势能，有初有初始位移即转入了弹性势能，有初始速度即转入了动能始速度即转入了动能第3页，共91页，编辑于2022年，星期六二、单自由度系统的动力特性二、单自由度系统的动力特性周期：周期：园频率：园频率：工程频率：工程频率：与外界无关与外界无关,体系本身固有的特性体系本身固有的特性与系统是否正在振动着以及如何进行与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系振动的方式都毫无关系A A、v v不是系统的固有属性的数字不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到过的激特征，与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状励和考察开始时刻系统所处的状态有关态有关 第4页，共91页

3、，编辑于2022年，星期六 例例:图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯图示刚架其横梁的刚度为无限大，柱子的抗弯刚度刚度 ，梁的质量，梁的质量m m=5000kg=5000kg，不计柱，不计柱子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。子的轴向变形和阻尼，试计算此刚架的自振频率。思考题：刚架如何振动？关键是求侧移劲度。第5页，共91页，编辑于2022年，星期六求图示系统的固有频率求图示系统的固有频率（a a）弹簧串联情况；）弹簧串联情况；（b b）弹簧并联情况。）弹簧并联情况。(a)(a)串联情况串联情况串联情况串联情况思考题：串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？第6页，共91页，编辑

4、于2022年，星期六(b)(b)并联情况并联情况思考题：并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化？第7页，共91页，编辑于2022年，星期六 例：简支梁例：简支梁ABAB，重量不计。在梁的中点位置放一重为重量不计。在梁的中点位置放一重为W W的物体的物体M M时，时，其静挠度为其静挠度为y ystst。现将物体现将物体M M从高度从高度h h处自由释放，落到梁的中处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。点处，求该系统振动的规律。当物体落到梁上后，梁、物体系统作简谐振动，只要定出简谐振动的三个参数：圆频率、振幅和初相角即可。第8页，共91页，编辑于2022年，星期六第9页，共91页，编辑

5、于2022年，星期六2.2.算例算例例一例一.求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期.m mEIlEIl=1=1ll/2l解解:第10页，共91页，编辑于2022年，星期六例二例二.求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期.=1解解:m mEIllm/2EIEIll例三例三.质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期.解解:EIkl1k第11页，共91页，编辑于2022年，星期六例三：例三：提升机系统提升机系统重物重重物重 量量钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度 重物以重物以 的速度均匀下降的速度均匀下降 求：绳的上端突然被卡住时，求：绳的上端突然被卡住时，（

6、1）重物的振动频率，（）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力）钢丝绳中的最大张力 Wv第12页，共91页，编辑于2022年，星期六解：解：振动频率振动频率重物匀速下降时处于静平衡位置，重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置重物所在位置 则则 t=0 时，有：时，有：振动解：振动解：W静平衡位置静平衡位置kxWv第13页，共91页，编辑于2022年，星期六振动解：振动解：绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和动张力之和：动张力几乎是静张力的一半动张力几乎是静张力的一半 由于由于 为了减

7、少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度 Wv第14页，共91页，编辑于2022年，星期六例：圆盘转动例：圆盘转动圆盘转动惯量圆盘转动惯量 I在圆盘的静平衡位置上任意选一根半在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置径作为角位移的起点位置扭振固有频率扭振固有频率为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩产生单位转角所需的力矩由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：第15页，共91页，编辑于2022年，星期六由由上上例例可可看看出出，除除了了选选择择了了坐坐标标不不同同之之外外，角角振振动动与与直直线线

8、振振动动的的数数学学描描述述完完全全相相同同。如如果果在在弹弹簧簧质质量量系系统统中中将将 m、k 称称为为广广义义质质量量及及广广义义刚刚度度，则则弹弹簧簧质质量量系系统统的的有有关关结结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的 0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置第16页，共91页，编辑于2022年，星期六从从前前面面两两种种形形式式的的振振动动看看到到，单单自自由由度度无无阻阻尼尼系系统统总总包包含含着着惯惯性性元元件件和和弹弹性性元元件件两两种种基基本本元元件件，惯惯性性元元件件是是感感受受加

9、加速速度度的的元元件件，它它表表现现为为系系统统的的质质量量或或转转动动惯惯量量，而而弹弹性性元元件件是是产产生生使使系系统统恢恢复复原原来来状状态态的的恢恢复复力力的的元元件件，它它表表现现为为具具有有刚刚度度或或扭扭转转刚刚度度的的弹弹性性体体。同同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置第17页，共91页，编辑于2022年，星期六例：复摆例：复摆刚体质量刚体质量 m对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量 重心重心 C 求：求：复摆在平衡位置附近

10、做微振动时的微分方程和固有频率复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 a0C第18页，共91页，编辑于2022年，星期六解：解：由牛顿定律由牛顿定律：因为微振动：因为微振动：则有则有：固有频率固有频率：实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率若已测出物体的固有频率 ，则可求出，则可求出 ，再由移轴定理，可，再由移轴定理，可得物质绕质心的转动惯量：得物质绕质心的转动惯量：a0C第19页，共91页，编辑于2022年，星期六例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动例：弹簧质量系统沿光滑斜面做自由振动斜面倾角斜面倾角 300质量质量

11、 m=1kg弹簧刚度弹簧刚度 k=49N/cm开始时弹簧无伸长，且速度为零开始时弹簧无伸长，且速度为零求：求：系统的运动方程系统的运动方程m300重力加速度取重力加速度取 9.8m/s2第20页，共91页，编辑于2022年，星期六解：解：以静平衡位置为坐标原点建以静平衡位置为坐标原点建立坐标系立坐标系振动固有频率：振动固有频率：振动初始条件：振动初始条件：考虑方向考虑方向初始速度：初始速度：运动方程：运动方程：m300第21页，共91页，编辑于2022年，星期六能量法（补充）对对于于不不计计阻阻尼尼即即认认为为没没有有能能量量损损失失的的单单自自由由度度系系统统，也也可可以以利利用用能能量量守

12、恒原理守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率无无阻阻尼尼系系统统为为保保守守系系统统，其其机机械械能能守守恒恒，即即动动能能 T 和和势势能能 V 之之和和保保持不变持不变，即：，即：或：或：第22页，共91页，编辑于2022年，星期六弹簧质量系统弹簧质量系统 动能：动能：势能：势能：（重力势能）（重力势能）（弹性势能）（弹性势能）不可能恒为不可能恒为 0 0mx静平衡位置静平衡位置弹簧原长位置弹簧原长位置零势能点零势能点第23页，共91页，编辑于2022年，星期六如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置，如果将坐标原点不是取在系

13、统的静平衡位置，而是取在弹簧为自由长时的位置而是取在弹簧为自由长时的位置 动能：动能：势能：势能：设新坐标设新坐标 0mx零势能点零势能点y静平衡位置静平衡位置弹簧原长弹簧原长如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项现重力项现重力项现重力项第24页，共91页，编辑

14、于2022年，星期六考虑两个特殊位置上系统的能量考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上，系统势能静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大为零，动能达到最大最大位移位置，系统动能最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大为零，势能达到最大对于转动：对于转动：x 是广义的是广义的0mx静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mx第25页，共91页，编辑于2022年，星期六例：如图所示是一个倒置的摆例：如图所示是一个倒置的摆 摆球质量摆球质量 m刚杆质量忽略刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度每个弹簧的刚度 求求:(1)倒摆作微幅振动时的固有频率倒摆作微幅振动时的固有频率

15、(2)摆球摆球 时，测得频率时，测得频率 为为 ，时，测得频率为时，测得频率为 ，问摆球质量为多少千克时恰，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？使系统处于不稳定平衡状态？lmak/2k/2第26页，共91页，编辑于2022年，星期六解法解法1：广义坐标广义坐标动能动能势能势能零势能位置零势能位置1零势能位置零势能位置1lmak/2k/2第27页，共91页，编辑于2022年，星期六解法解法2：零势能位置零势能位置2动能动能势能势能零势能位置零势能位置2lmak/2k/2第28页，共91页，编辑于2022年，星期六瑞利法 利利用用能能量量法法求求解解固固有有频频率率时时，对对于于系系

16、统统的的动动能能的的计计算算只只考考虑虑了了惯惯性性元元件件的的动动能能，而而忽忽略略不不计计弹弹性性元元件件的的质质量量所所具具有有的的动动能，因此算出的固有频率是实际值的上限能，因此算出的固有频率是实际值的上限mkx0 这这种种简简化化方方法法在在许许多多场场合合中中都都能能满满足足要要求求，但但有有些些工工程程问问题题中中，弹弹性性元元件件本本身身的的质质量量因因占占系系统统总总质质量量相相当当大大的的比比例例而而不不能能忽忽略略，否否则则算算出出的固有频率明显偏高的固有频率明显偏高第29页，共91页，编辑于2022年，星期六例如：弹簧质量系统例如：弹簧质量系统设弹簧的动能设弹簧的动能:

17、系统最大动能：系统最大动能：系统最大势能：系统最大势能：若忽略若忽略 ，则，则 增大增大 弹簧等效质量弹簧等效质量 mtmkx0因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限第30页，共91页，编辑于2022年，星期六等效质量和等效刚度方法方法1：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：当当 、分别取最大值时：分别取最大值时：则可得出：则可得出：Ke：简化系统的等效刚度：简化系统的等效刚度Me：简化系统的等效质量：简化系统的等效质量 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等等效

18、的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 第31页，共91页，编辑于2022年，星期六动能动能势能势能零势能位置零势能位置1lmak/2k/2第32页，共91页，编辑于2022年，星期六第二节第二节 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、一、有阻尼自由振动的解有阻尼自由振动的解特征方程的根：特征方程的根：1 1、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼、临界阻尼情况：不产生振动的最小阻尼第33页，共91页，编辑于2022年，星期六2 2、超阻尼情况、超阻尼情况 体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，体系仍不作振动，只发生按指数规律衰减的非周期蠕动，上式也不含简谐

19、振动因子，由于大阻尼作用，受干扰后，偏离平衡位置体系不会产生振动，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振动。第34页，共91页，编辑于2022年，星期六3 3、负阻尼情况、负阻尼情况 00或或c0c0 阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗阻尼本来是耗散能量的，负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的，其振幅能量，而且不断加入能量。这种情况下系统的运动是不稳定的，其振幅将会愈来愈大，直至系统破坏。将会愈来愈大，直至系统破坏。4 4、低阻尼或小阻尼情况、低阻尼或小阻尼情况 11或或c2mc2m 第35页，共91页，编辑于202

20、2年，星期六考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小，亦即使系统的自振周期稍有增大。阻尼影响使振幅按指数规律衰减。结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比结构实际量测表明，对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比 在在0.050.05左右，拱坝在左右，拱坝在0.03-0.050.03-0.05，重力坝包括大头坝在，重力坝包括大头坝在0.05-0.10,0.05-0.10,土坝、土坝、堆石坝在堆石坝在0.10-0.200.10-0.20之间。强震时，之间。强震时，还会增加一些，但其值也是不大的。还会增加一些，但其值也是不大的。即使取即使取0.020.02代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近。

21、因此实际工程代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近。因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响。结构动力计算时不计阻尼的影响。第36页，共91页，编辑于2022年，星期六 不同阻尼比对自由振动幅值的影响不同阻尼比对自由振动幅值的影响第37页，共91页，编辑于2022年，星期六tx(t)临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 三种阻尼情况比较：三种阻尼情况比较：欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生过阻尼是一种按指

22、数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 第38页，共91页，编辑于2022年，星期六等效粘性阻尼(补充）阻尼在所有振动系统中是客观存在的阻尼在所有振动系统中是客观存在的 大多数阻尼是非粘性阻尼，其性质各不相同大多数阻尼是非粘性阻尼，其性质各不相同 非粘性阻尼的数学描述比较复杂非粘性阻尼的数学描述比较复杂 处理方法之一：处理方法之一：采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼原则：原则：等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非等效粘性阻尼在一个周期内消耗

23、的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量粘性阻尼在同一周期内消耗的能量粘性阻尼在同一周期内消耗的能量粘性阻尼在同一周期内消耗的能量第39页，共91页，编辑于2022年，星期六 通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动简谐振动 该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的 粘粘性性阻阻尼尼在在一一个个周周期期内内消消耗耗的的能能量量 可可近近似似地地利利用用无无阻阻尼尼振动规律计算出：振动规律计算出：目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼

24、系数 讨论以下几种非粘性阻尼情况：讨论以下几种非粘性阻尼情况：干摩擦阻尼干摩擦阻尼平方阻尼平方阻尼结构阻尼结构阻尼第40页，共91页，编辑于2022年，星期六（1）干摩擦阻尼）干摩擦阻尼库仑阻尼库仑阻尼摩擦力：摩擦力：摩擦系数：摩擦系数：正压力：正压力：符号函数：符号函数摩擦力一个周期内所消耗的能量：摩擦力一个周期内所消耗的能量：等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：第41页，共91页，编辑于2022年，星期六（2）平方阻尼）平方阻尼工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体工程背景：低粘度流体中以较大速度运动的物体：阻力系数：阻力系数等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：阻尼力与相对速度的平方成

25、正比，方向相反阻尼力与相对速度的平方成正比，方向相反摩擦力：摩擦力：在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：第42页，共91页，编辑于2022年，星期六（3）结构阻尼）结构阻尼由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为尼称为结构阻尼结构阻尼：比例系数：比例系数等效粘性阻尼系数：等效粘性阻尼系数：特征：应力应变曲线存在滞回曲线特征：应力应变曲线存在滞回曲线内摩擦所耗散的能量等于滞回环所内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积：围的面积：加载和卸载沿不同曲线加载和卸载沿不同

26、曲线应变应变应力应力 加载加载卸载卸载0第43页，共91页，编辑于2022年，星期六二、阻尼的量测二、阻尼的量测小阻尼解答经过三角转换可写成小阻尼解答经过三角转换可写成可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，在可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比。考虑两相邻幅值，在t ti i时刻，时刻，y yi i=Ae=Ae-t ti i;在在t ti i+T+Td d时刻，时刻，y yi+1i+1=Ae=Ae-(t(ti i+T+Td d),),定义自然对数递定义自然对数递减率减率 y y第44页，共91页，编辑于2022年，星期六自由振动衰减曲线自由振动衰减曲线 第45页，共91页，编辑于2

27、022年，星期六第46页，共91页，编辑于2022年，星期六 例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使例：有关参数同前刚架，若用千斤顶使M M产生侧移产生侧移25mm25mm，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动，然后突然放开，刚架产生自由振动，振动5 5周周后测得的侧移为后测得的侧移为7.12mm7.12mm。试求。试求 ：（：（1 1）考虑阻尼时）考虑阻尼时的自振频率；（的自振频率；（2 2）阻尼比和阻尼系数；（）阻尼比和阻尼系数；（3 3）振动）振动1010周后的振幅。周后的振幅。解：由解：由y y0 0=25mm,y=25mm,y0+5TD0+5TD=7.12mm,=7.12mm,有：有：第

28、47页，共91页，编辑于2022年，星期六第48页，共91页，编辑于2022年，星期六例例例例:对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验对图示体系作自由振动试验.用钢用钢用钢用钢 丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置丝绳将上端拉离平衡位置2 2 2 2cmcm,用用用用 力力力力16.416.416.416.4kNkN,降绳突然切断降绳突然切断降绳突然切断降绳突然切断,开始作开始作开始作开始作 自由振动自由振动自由振动自由振动.经经经经4 4 4 4周期周期周期周期,用时用时用时用时2 2 2 2秒秒秒秒,振幅振幅振幅振幅降为降为降

29、为降为1 1 1 1cmcm.求求求求 1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg800kg800kg800kg体系体系体系体系的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少的周期和阻尼比为多少2cm2cm解解解解:1.1.1.1.阻尼比阻尼比阻尼比阻尼比2.2.2.2.刚度系数刚度系数刚度系数刚度系数3.3.3.3.无阻尼周期无阻尼周

30、期无阻尼周期无阻尼周期4.4.4.4.重量重量重量重量5.5.5.5.阻尼系数阻尼系数阻尼系数阻尼系数6.6.6.6.若质量增加若质量增加若质量增加若质量增加800kg,800kg,800kg,800kg,体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比体系的周期和阻尼比 为多少为多少为多少为多少第49页，共91页，编辑于2022年，星期六例：阻尼缓冲器例：阻尼缓冲器静载荷静载荷 P 去除后质量块越过平去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移的衡位置的位移为初始位移的 10 求：求：缓冲器的相对阻尼系数缓冲器的相对阻尼系数 kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置第50页，共91页，编辑于20

31、22年，星期六解：解：由题知由题知 设设求导求导：设在时刻设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：即经过半个周期后出现第一个振幅即经过半个周期后出现第一个振幅 x1kcx0 x0Pm平衡位置平衡位置第51页，共91页，编辑于2022年，星期六由题知由题知 解得：解得：第52页，共91页，编辑于2022年，星期六例：例：刚杆质量不计刚杆质量不计求：求：（1）写出运动微分方程）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量小球质量 mlakcmb第53页，共91页，编辑于2022年，星期六解：解：阻尼

32、固有频率：阻尼固有频率：无阻尼固有频率：无阻尼固有频率：m广义坐标广义坐标力矩平衡：力矩平衡：受力分析受力分析lakcmb第54页，共91页，编辑于2022年，星期六第三节第三节 单自由度系统简谐荷载作用下的单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动受迫振动一、无阻尼受迫振动一、无阻尼受迫振动 1 1、无阻尼受迫振动方程解、无阻尼受迫振动方程解运动方程的解运动方程的解第55页，共91页，编辑于2022年，星期六上式中，前三项都是频率为上式中，前三项都是频率为 的自由振动。但第一、二项是初始条件决的自由振动。但第一、二项是初始条件决定的自由振动，第三项与初始条件无关，是由伴随干扰力的作用而产生定的自

33、由振动，第三项与初始条件无关，是由伴随干扰力的作用而产生的，称为伴生自由振动。第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动，的，称为伴生自由振动。第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动，称为纯受迫振动。称为纯受迫振动。2 2、动力系数、动力系数 第56页，共91页，编辑于2022年，星期六（1 1）线线线线性性性性系系系系统统统统对对对对简简简简谐谐谐谐激激激激励励励励的的的的稳稳稳稳态态态态响响响响应应应应是是是是频频频频率率率率等等等等同同同同于于于于激激激激振振振振频频频频率率率率、无无无无阻阻阻阻尼尼尼尼时时时时，与激振力的简谐振动同相位。与激振力的简谐振动同相位。与激振力的简谐振动同相位。

34、与激振力的简谐振动同相位。（2 2）稳稳稳稳态态态态响响响响应应应应的的的的振振振振幅幅幅幅只只只只取取取取决决决决于于于于系系系系统统统统本本本本身身身身的的的的物物物物理理理理性性性性质质质质（mm,k k）和和和和激激激激振振振振力力力力的的的的频频频频率率率率及及及及力力力力幅幅幅幅，而而而而与与与与系系系系统统统统进进进进入入入入运运运运动动动动的的的的方方方方式式式式（即即即即初初初初始始始始条件）无关条件）无关条件）无关条件）无关 结论：结论：（3 3）激激激激励励励励频频频频率率率率小小小小于于于于自自自自振振振振频频频频率率率率时时时时，位位位位移移移移响响响响应应应应与与与

35、与激激激激励励励励同同同同相相相相位位位位；激激激激励励励励频频频频率大于自振频率时，位移响应与激励异相位。率大于自振频率时，位移响应与激励异相位。率大于自振频率时，位移响应与激励异相位。率大于自振频率时，位移响应与激励异相位。第57页，共91页，编辑于2022年，星期六动力系数变化曲线动力系数变化曲线第58页，共91页，编辑于2022年，星期六例例:图示无重简支梁，在跨中图示无重简支梁，在跨中W W20kN20kN的电机，电机偏心所产生的离心力的电机，电机偏心所产生的离心力F(t)F(t)，若机器每分钟的转数，若机器每分钟的转数n=500rad/minn=500rad/min，梁的，梁的EI

36、=1.008X10000kN.mEI=1.008X10000kN.m2 2。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。在不计阻尼的情况下，试求梁的最大位移和弯矩。第59页，共91页，编辑于2022年，星期六解：（解：（1 1）梁的自振频率）梁的自振频率（2 2）系统的动力系数）系统的动力系数想想看还有没有其他方法求自振频率？想想看还有没有其他方法求自振频率？第60页，共91页，编辑于2022年，星期六（3 3）梁跨中截面的最大位移和弯矩）梁跨中截面的最大位移和弯矩第61页，共91页，编辑于2022年，星期六例例:图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动力荷载作图示跨中带有一质体的无重简支梁，受动

37、力荷载作用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大动力用，若外干扰力频率取不同的值，试求质体的最大动力位移。位移。第62页，共91页，编辑于2022年，星期六解：按叠加原理解：按叠加原理（1 1）惯性力前为何加负号？）惯性力前为何加负号？（2 2）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？）运动方程式与直接作用在质体时有什么差别？（3 3）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变化）如果梁上还有一个动荷载，运动方程式形式有何变化？第63页，共91页，编辑于2022年，星期六例例1 1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知动位移、动内力幅值计算动位移、动内力幅

38、值计算计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤:1.1.1.1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；位移、内力；位移、内力；位移、内力；2.2.2.2.计算动力系数；计算动力系数；计算动力系数；计算动力系数；3.3.3.3.将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。即得动位移幅值、动内力幅值。m mEIEIl lPl/4解解.Pl/3动弯矩幅值

39、图动弯矩幅值图第64页，共91页，编辑于2022年，星期六例例2 2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移 已知已知:解解.Ql l/2l l/2重力引起的弯矩重力引起的弯矩重力引起的位移重力引起的位移l l/4振幅振幅动弯矩幅值动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大弯矩跨中最大位移跨中最大位移第65页，共91页，编辑于2022年，星期六 动荷载不作用于质点时的计算动荷载不作用于质点时的计算 m m=1=1令令P仍是位移动力系数仍是位移动力系数是内力动力系数吗是内力动力系数吗?运动方程运动方程稳态解稳态解振幅振幅第66页，共91页，编辑于2022年，星期六 列幅值方程求

40、内力幅值列幅值方程求内力幅值 解解:例例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知已知同频同步变化同频同步变化m mEIl/2l/2F FF F=1第67页，共91页，编辑于2022年，星期六F动弯矩幅值图动弯矩幅值图解解:例例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知已知m mEIl/2l/2F FF F=1第68页，共91页，编辑于2022年，星期六解解:例例:求图示体系右端的质点振幅求图示体系右端的质点振幅F动弯矩幅值图动弯矩幅值图m mlm mkllAFo第69页，共91页，编辑于2022年，星期六二、有阻尼受迫振动二、有阻尼受迫振动1 1、

41、解的形式、解的形式式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四是荷载作用式中，第一、二项由初始条件决定的自由振动，第三、四是荷载作用而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前四项自由振动由于阻尼而伴生的自由振动，第五项为纯受迫振动。前四项自由振动由于阻尼的存在，很快衰减以致消失，最终只存下稳态受迫振动。的存在，很快衰减以致消失，最终只存下稳态受迫振动。第70页，共91页，编辑于2022年，星期六2 2、幅频曲线和相频曲线、幅频曲线和相频曲线第71页，共91页，编辑于2022年，星期六3 3、系统上各个力的平衡、系统上各个力的平衡由已知的荷载 ,以及求得的位移有，第72页，共91页，编辑于2

42、022年，星期六当荷载频率远小于系统自振频率时，当荷载频率远小于系统自振频率时，0,0,惯性力惯性力F Fi i(t)(t)和阻和阻尼力尼力F Fd d(t)(t)都很小，荷载主要由弹簧力平衡；都很小，荷载主要由弹簧力平衡；想想：此时相当于什么情况?n当荷载频率远大于系统自振频率时，当荷载频率远大于系统自振频率时，,荷载主要由惯性力荷载主要由惯性力平衡；平衡；当荷载频率接近系统自振频率时，1,此时阻尼力此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。共振此时荷载主要由阻尼力平衡，这种状态称为共振。共振区内（区内（0.75-1.25)0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。阻尼力不可以忽略。第73页，

43、共91页，编辑于2022年，星期六稳态响应中四个力的平衡第74页，共91页，编辑于2022年，星期六4 4、半功率法确定阻尼比、半功率法确定阻尼比简谐荷载受迫振动的幅频曲简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼线可以用来确定系统的阻尼比比。取曲线上取曲线上a a、b b两点，令纵坐两点，令纵坐标标代入幅频曲线公式，经处理后有代入幅频曲线公式，经处理后有第75页，共91页，编辑于2022年，星期六例例.图示为块式基础图示为块式基础.机器与基础的质量为机器与基础的质量为 ;地基竖向地基竖向 刚度为刚度为 ;竖向振动时的阻尼比为竖向振动时的阻尼比为 机器转速为机器转速为N=800r/min,

44、其偏心质量引起的离心力为其偏心质量引起的离心力为F F=30kN.求竖向求竖向 振动时的振幅。振动时的振幅。解：解：第76页，共91页，编辑于2022年，星期六质量为m的物体挂在弹簧系数为K的弹簧一端，另一端B沿铅直按 作简谐运动，考虑粘滞阻尼力作用，求物体运动规律。解：取0时物体的平衡位置o为坐标原点，物体的运动微分方程为右端等价于一个干扰力第77页，共91页，编辑于2022年，星期六参照标准形式，可得物体运动规律：由上式可知，当物体较重，且弹簧常数k很小，而悬挂点A振动的频率 很高，导致很大，物体的振幅A0,物体静止。第78页，共91页，编辑于2022年，星期六在精密仪器与其支座之间装以弹

45、簧系数很低的柔软弹簧，当支座振动强烈时，弹簧的一端将随同支座一起振动。若支座的频率比仪器弹簧系统的固有频率高得多，仪器将近乎静止而不致损坏。思考题：试解释一下地震仪工作原理。第79页，共91页，编辑于2022年，星期六第四节第四节 减振与隔振简述减振与隔振简述一、减振与隔振的常用方法一、减振与隔振的常用方法1 1、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减弱、找出产生振动的根源，并设法使其消除或减弱2 2、远离振源、远离振源3 3、避免共振、避免共振4 4、采用动力消振器、采用动力消振器主动隔振（隔离振源）主动隔振（隔离振源）消极隔振（隔振材料）消极隔振（隔振材料）第80页，共91页，编辑于202

46、2年，星期六二、隔振的基本原理二、隔振的基本原理隔振示意图隔振示意图第81页，共91页，编辑于2022年，星期六机器的受迫振动方程为第82页，共91页，编辑于2022年，星期六计算简图隔振系数随变化曲线第83页，共91页，编辑于2022年，星期六第五节第五节 一般荷载作用下的响应一般荷载作用下的响应一、杜哈姆积分和脉冲响应函数一、杜哈姆积分和脉冲响应函数任意一般荷载实际上只受初速度的自由振动，以实际上只受初速度的自由振动，以v v作为初速度，初位移为零。作为初速度，初位移为零。有解答有解答第84页，共91页，编辑于2022年，星期六上式称为杜哈姆积分杜哈姆积分，也可写成卷积积分：上式称为单位脉

47、冲响应函数，简称脉冲响应函数脉冲响应函数。如果初条件不为零，还需叠加上初始条件产生的自由振动。第85页，共91页，编辑于2022年，星期六例例.求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m m解：解：动力系数为动力系数为 2 2第86页，共91页，编辑于2022年，星期六二、响应的数值计算第87页，共91页，编辑于2022年，星期六第六节第六节 非线性系统的动力响应非线性系统的动力响应一、增量型的运动方程式第88页，共91页，编辑于2022年，星期六二、逐步积分法将时间划成许多微小的时段，在各个时段内加速度呈线性变化第89页，共91页，编辑于2022年，星期六从上面两式，可得：第90页，共91页，编辑于2022年，星期六三、逐步积分法计算步骤请同学总结。第91页，共91页，编辑于2022年，星期六