数学悖论与三次数学危机幻灯片.ppt

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1、数学悖论与三次数学危机第1页，共37页，编辑于2022年，星期六 什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀

2、疑。性的怀疑。第2页，共37页，编辑于2022年，星期六 如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致下，悖论往往会直接导致“数学危机数学危机”的产的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。迄今为止出现了三次这样的数学危机。第3页，共37页，编辑于2022年，星期六希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论与第一次数学危机 希帕索

3、斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作周髀算经中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，

4、在我经中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。第4页，共37页，编辑于2022年，星期六 在国外，最早给出这一定理证明的是古在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带

5、以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：神秘色彩的称号：“百牛定理百牛定理”。第5页，共37页，编辑于2022年，星期六毕达哥拉斯毕达哥拉斯第6页，共37页，编辑于2022年，星期六 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数万物皆数”是该是该学派的哲学基石。而学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整一切数均可表成

6、整数或整数之比数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人掘墓人”。第7页，共37页，编辑于2022年，星期六毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表数，也不能用分

7、数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数数2 的诞生。小小的诞生。小小2的出现，却在当时的数学的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。恐慌。第8页，共37页，编辑于2022年，星期六 实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的

8、观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！第9页，共37页，编辑于2022年，星期六 可是为我们的经验所确信的，完全符合可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的常识的论断居然被小小的2的存在而推的存在而推翻了！这应该是多么违反常

9、识，多么荒谬翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称一场大的风波，史称“第一次数学危机第一次数学危机”。第10页，共37页，编辑于2022年，星期六欧多克欧多克第11页，共37页，编辑于2022年，星期六 二百年后，大约在公元前二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多年，才华横溢的欧多克索斯

10、建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德几何原本一书第传，他的成果被保存在欧几里德几何原本一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。出现无理数而实现的。

11、这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。而不被当作真正的数。第12页，共37页，编辑于2022年，星期六一直到一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理来。到十

12、九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。圆满地解决了第一次数学危机。第13页，共37页，编辑于2022年，星期六贝克莱贝克莱第14页，共37页，编辑于2022年，星期六贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 第二次数学危机导源于微积分工具的使

13、用。伴随着人们第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们严格的

14、。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。第15页，共37页，编辑于2022年，星期六1734年，贝克莱以年，贝克莱以“渺小的哲学家渺小的哲学家”之名出版了一本标之名出版了一本标题很长的书分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，题很长的书分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教其

15、中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说牛顿，为计算比如说 x2 的导数，先将的导数，先将 x取一个不为取一个不为0的增量的增量 x，由，由(x+x)2-x2，得到，得到 2xx+(x2)，后再被，后再被 x 除，除，得到得到 2x+x，最后突然令，最后突然令 x=0，求得导数为，求得导数为 2x。这是。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果依靠双重错误得到了不

16、科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是穷小量是“已死量的幽灵已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。第16页，共37页，编辑于2022年，星期六 数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖贝克莱悖论论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷无穷小量究竟是否为

17、小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是际应用而言，它必须既是0，又不是，又不是0。但从形式。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。第二次数学危机的产生。第17页，共37页，编辑于2022年，星期六牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹第18页，共37页，编辑于2022年，星期六 针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都没有获试图通过

18、完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？第19页，共37页，编辑于2022年，星期六 “向前进，向前进，你就会获得信念！向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论十八

19、世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。纷纷涌现出来。第20页，共37页，编辑于2022年，星期六经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论

20、获得了空前丰富。论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为世纪有时甚至被称为“分析的世纪分析的世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。第21页，共37页，编辑于2022年，星期六柯西柯西 第22页，共37页，编辑于2022年，星期六 到十九世纪，批判、系统化和严密论证到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。使分析基础严密化的的必要时期降临了。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。工

21、作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。推导。第23页，共37页，编辑于2022年，星期六 这就是所谓极限概念的这就是所谓极限概念的“算术化算术化”。后来，德。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的所使用的“-”方法。另外，在柯西

22、的努力下，方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。的极限理论还不可能完善。第24页，共37页，编辑于2022年，星期六柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数理论

23、，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理金分割；康托尔提出用有理“基本序列基本序列”来定义来定义无理数。无理数。1892年，另一个数学家创用年，另一个数学家创用“区间套原区间套原理理”来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。分析学的逻辑奠基工作。第25页，共37页，编

24、辑于2022年，星期六数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决

25、。第26页，共37页，编辑于2022年，星期六罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 第27页，共37页，编辑于2022年，星期六康托尔康托尔第28页，共37页，编辑于2022年，星期六 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集

26、合论托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合一切数学成果可建立在集合论基础上论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦造整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了已经达到了”可是，好景不长。可是，好景不长。1903年，一个年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的

27、！这就是震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。第29页，共37页，编辑于2022年，星期六罗素构造了一个集合罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：的集合所组成。然后罗素问：S是否属于是否属于S呢？呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难

28、境地。如看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果果S属于属于S，根据，根据S的定义，的定义，S就不属于就不属于S；反之，；反之，如果如果S不属于不属于S，同样根据定义，同样根据定义，S就属于就属于S。无。无论如何都是矛盾的。论如何都是矛盾的。第30页，共37页，编辑于2022年，星期六罗素罗素第31页，共37页，编辑于2022年，星期六其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，

29、由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。引起了极大震动。第32页，共37页，编辑于2022年，星期六如如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：地说：“一

30、个科学家所遇到的最不合心意的事莫一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴戴德金也因此推迟了他的什么是数的本质和作用德金也因此推迟了他的什么是数的本质和作用一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。反响则导致了第三次数学危机。第33页，共37页，编辑于2022年，星期六 危机产生后，数学家纷纷

31、提出自己的解决危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。容得以保存下来。”1908年，策梅罗在自已这年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，一原则基础上提出第一个公理化集

32、合论体系，后来经其他数学家改进，称为后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。集合论的缺陷。第34页，共37页，编辑于2022年，星期六除除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更

33、为深刻的影响。它使罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。进了数学的大发展等等。第35页，共37页，编辑于2022年，星期六以上简单介绍了数学史上由于数

34、学悖论而导致以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出问题就是解决问题的一半提出问题就是解决问题的一半”，而数学悖，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在论无限一文中所指出的正如希尔伯特在论无限一文中所指出的那样：那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目必须承认，在这些悖论面前，我们

35、目前所处的情况是不能长期忍受下去的。前所处的情况是不能长期忍受下去的。第36页，共37页，编辑于2022年，星期六人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。吧。第37页，共37页，编辑于2022年，星期六