二次曲线的一般理论精选PPT.ppt
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1、关于二次曲线的一般理论第1页,讲稿共45张,创作于星期一5.2 5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向二次曲线的渐近方向 定义定义5.2.1 满足条件满足条件(X,Y)=0的方向的方向X:Y叫做二次曲线叫做二次曲线的渐近方向,否则叫做非渐近方向的渐近方向,否则叫做非渐近方向。事事实实上,上,为渐为渐近方向近方向 第2页,讲稿共45张,创作于星期一事事实实上,上,为渐为渐近方向近方向 第3页,讲稿共45张,创作于星期一可可见见,对椭圆对椭圆,对对双曲双曲线线 它有二不同它有二不同实渐实渐近方向;近方向;它有二相同的它有二相同的实渐实渐近方向
2、;近方向;,它没有它没有实渐实渐近方向;近方向;对对抛物抛物线线对对双曲双曲线线 它也有二不同它也有二不同实渐实渐近方向;近方向;,第4页,讲稿共45张,创作于星期一 定义定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的近方向的二次曲线叫做双曲型的。即即:椭圆型椭圆型:I20;抛物型抛物型:I20;双曲型双曲型:I202.二次曲线的中心与渐近线二次曲线的中心与渐近线 定义定义5.2.3 如果点如果点C是二次曲线的通过它的所有
3、弦的中是二次曲线的通过它的所有弦的中点点(C是二次曲线的对称中心是二次曲线的对称中心),那么点那么点C叫做二次曲线的中心叫做二次曲线的中心。定理定理5.2.1 点点C(x0,y0)是二次曲线是二次曲线(1)的中心的中心,其充要条件其充要条件是是:第5页,讲稿共45张,创作于星期一二次曲线二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定:的的中心坐标由下方程组决定:如果如果I20,则,则(5.22)有唯一解,即为唯一中心坐标有唯一解,即为唯一中心坐标如果如果I20,分两种情况:,分两种情况:第6页,讲稿共45张,创作于星期一 定义定义5.2.45.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线中心二次曲线,
4、没有中心的二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次非中心二次曲线曲线。二次曲线分类:二次曲线分类:第7页,讲稿共45张,创作于星期一 渐近线求法渐近线求法:求出中心,再求出渐近方向即可得到渐近:求出中心,再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。线的参数方程。定义定义5.2.55.2.5 通过二次曲线的中心,而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。可可见见:椭圆椭圆型二次曲型二次曲线线没有没有实渐实渐近近线线;双曲型二次曲双曲型二次曲线线有二不同有二不同实渐实渐近近线线;而而对对抛物型二次曲抛物型二
5、次曲线线,若其若其为为无心的无心的,则则其没有其没有渐渐近近线线,若其若其为线为线性的性的,则则由于其由于其渐渐近方向近方向为为,而,而这这正是中心直正是中心直线线的方向,的方向,它的它的渐渐近近线线即即为为中心直中心直线线。第8页,讲稿共45张,创作于星期一 定理定理5.2.25.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点,二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点,或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。则则l与曲与曲线线不相交,不相交,第9页,讲稿共45张,创作于星期一5.3 二次曲线的直径1.二次曲线的直径二次曲线的直径
6、在在5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况,当直线平行于二次曲线的某一非渐近方的各种情况,当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时,这条直线与二次曲线总交于两点向时,这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的,两个不同实的,两重合实的或一对共轭虚的两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的一这两点决定了二次曲线的一条弦条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.第10页,讲稿共45张,创作于星期一 求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.即即 ,解解而而 是平行于方
7、向是平行于方向 的弦的中点,的弦的中点,设设 是二次曲线的一个非渐近方向,是二次曲线的一个非渐近方向,那么过那么过 的弦的方程为的弦的方程为它与二次曲线它与二次曲线 的两交点的两交点(即弦的两端点即弦的两端点)由下列二次方程由下列二次方程第11页,讲稿共45张,创作于星期一(1)从而有从而有(5.3-1)两根两根 与与 所决定所决定,因为因为 为弦的中点,所以有为弦的中点,所以有这就是说平行于方向这就是说平行于方向 的弦的中点的弦的中点 的的坐标满足方程坐标满足方程第12页,讲稿共45张,创作于星期一即即(5.3-2)或或上列方程的一次项系数不能全为零,这时因为若上列方程的一次项系数不能全为零
8、,这时因为若则则一条直线一条直线.(5.3-3)所以所以(5.3-3)或或(5.3-1)是一个二元一次方程,它是是一个二元一次方程,它是反过来,反过来,这与这与 是非渐近方向的假设矛盾,是非渐近方向的假设矛盾,(5.3-1)第13页,讲稿共45张,创作于星期一定理定理 5.3.1二次曲线的一族平行弦的中点二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线轨迹是一条直线.如果点如果点满足方程满足方程(5.3-1)(5.3-1)那么方程那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根,中将有绝对值相等而符号相反的两个根,(1)点点 就是具有方向就是具有方向 的弦的中点,的弦的中点,因此方程因此方程(5.3-
9、1)为一族平行于某一非渐近方向为一族平行于某一非渐近方向 的弦的中点轨迹方程的弦的中点轨迹方程.得到了结论定理!得到了结论定理!下面引进二次曲线直径的概念下面引进二次曲线直径的概念第14页,讲稿共45张,创作于星期一定义定义 5.3.1 二次曲线的平行弦中点的轨迹二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径,它所对应的平行弦,叫叫做这个二次曲线的直径,它所对应的平行弦,叫做共轭于这条直径的共轭弦;而直径也叫做共轭于做共轭于这条直径的共轭弦;而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径平行弦方向的直径.有多少条直径有多少条直径?(5.3-4)推论推论 如果二次曲线的一族平行弦的方向为如果二次曲线的一族
10、平行弦的方向为 ,那,那么共轭于这族平行弦的直径方程是么共轭于这族平行弦的直径方程是第15页,讲稿共45张,创作于星期一中心与非中心二次曲线的直径中心与非中心二次曲线的直径1.中心二次曲线中心二次曲线中心满足中心满足:(2)(3)直径方程直径方程:所以所以,直径过中心直径过中心.所有直径都过中心所有直径都过中心第16页,讲稿共45张,创作于星期一1.非中心二次曲线非中心二次曲线非中心二次曲线满足非中心二次曲线满足(2)(3)又分两种情形又分两种情形或或无心曲线:无心曲线:直径平行渐近方向直径平行渐近方向因直径方程因直径方程:第17页,讲稿共45张,创作于星期一方向矢量方向矢量容易验证容易验证是
11、渐近方向是渐近方向;因为此时:因为此时:线心曲线:线心曲线:直径就是其中心直线直径就是其中心直线可以化为可以化为因为直径方程因为直径方程第18页,讲稿共45张,创作于星期一或或定理定理 5.3.2 中心二次曲线的直径通过曲线中心二次曲线的直径通过曲线中心,无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向中心,无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线就是曲线的中心直线.因此当因此当 ,即二次曲线为中心曲线时,即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束,这个直线束的它的全部直径属于一个中心直线束,这个直线束的中心就是二次曲线
12、的中心;中心就是二次曲线的中心;当当 ,即,即二次曲线为无心曲线时,直径属于一个平行线束;二次曲线为无心曲线时,直径属于一个平行线束;第19页,讲稿共45张,创作于星期一例例 1 求椭圆或双曲线求椭圆或双曲线 的直径的直径.解解(5.3-1)显然,直径通过曲线的中心显然,直径通过曲线的中心根据根据(5.3-1),共轭于非渐近方向共轭于非渐近方向 的直径方程是的直径方程是第20页,讲稿共45张,创作于星期一例例 2 解解求抛物线求抛物线 的直径的直径.所以共轭于非渐近方向所以共轭于非渐近方向 的直径为的直径为即即所以抛物线所以抛物线 的直径平行于它的渐近方向的直径平行于它的渐近方向(5.3-1)
13、第21页,讲稿共45张,创作于星期一解解直径方程为直径方程为即即例例 3 求二次曲线求二次曲线的共轭于非渐近方向的共轭于非渐近方向 的直径的直径.因为已知曲线因为已知曲线 的渐近方向为的渐近方向为所以对于非渐近方向所以对于非渐近方向 一定有一定有 第22页,讲稿共45张,创作于星期一2.共轭方向与共轭直径共轭方向与共轭直径所以有所以有其中其中(4)我们把二次曲线的与非渐近方向我们把二次曲线的与非渐近方向 共轭的直径方向共轭的直径方向叫做非渐近方向叫做非渐近方向 的共轭方向,的共轭方向,因此曲线的共轭于非渐近方向因此曲线的共轭于非渐近方向 的直径为的直径为第23页,讲稿共45张,创作于星期一因此
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