数值计算中的基本原则幻灯片.ppt

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1、数值计算中的基本原则第1页，共18页，编辑于2022年，星期六数值计算中的基本原则数值计算中的基本原则(1)避免绝对值小的数做除数避免绝对值小的数做除数;(2)避免两相近数相减避免两相近数相减;(3)防止大数防止大数“吃吃”小数现象小数现象a=109，b=9，设想在设想在8位浮点数系中相加位浮点数系中相加a+b=1.0000000 109+0.000000009 109由于只保留由于只保留8位有效数位有效数，数据数据09被舍去被舍去,实际加法操实际加法操作作 a+b计算结果是计算结果是 将将 a 的数据作为计算结果赋值的数据作为计算结果赋值给给 a+b.2/18第2页，共18页，编辑于2022

2、年，星期六(4)尽量减少计算工作量尽量减少计算工作量(乘、除法次数乘、除法次数)例例 计算计算 P(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4 的值的值 P(x)=1+x(2+x(3+x(4+5x)一个应用一个应用:2进制数转换为进制数转换为10进制数进制数(1 1 1 0 1 1 1 0)2=27+26+25+0+23+22+2+0=(12+1)2+1)2+0)2+1)2+1)2+1)2+0=2383/18第3页，共18页，编辑于2022年，星期六求多项式值的秦九韶算法求多项式值的秦九韶算法 输入输入 x；a0，a1，an S a0；u1k 从从 1 到到 n 循环循环uxuSS+ak u输出数

3、据输出数据S；结束；结束输入输入 x；a0，a1，an S ank 从从 n 到到 1 循环循环Sak1+xS输出数据输出数据S；结束；结束秦九韶算法秦九韶算法P(x)=a0+a1x+a2 x2+an xn4/18第4页，共18页，编辑于2022年，星期六例例1 1 计算计算 (n=0,1,20)5/18第5页，共18页，编辑于2022年，星期六初值初值：I0=1 e 1 0.63212055882856 n=20时时，S20=-30.19239488558378递推公式递推公式:In=1 nIn-1 (I0=1-e-1)S0=1-exp(-1);S(1)=1-S0;for n=2:20 S(

4、n)=1-n*S(n-1)end实际递推实际递推:Sn=1=1-nSn-1-1|e(S0)|=|S0 I0|10-15有误有误！6/18第6页，共18页，编辑于2022年，星期六In=1-nIn-1Sn-In=-n(Sn-1-In-1)e(Sn)=ne(Sn-1)=(n!)(1)ne(S0)新算法新算法:In-1=(1-In)/nS(30)=1/31for n=30:-1:2 S(n-1)=(1-S(n)/n;endS0=1-S(1),S(1:21)初初值值误误差差在在算算法法执执行行过过程程中中不不断断增增大大,这这种种算算法法称称为为数值不稳定算法数值不稳定算法。7/18Sn-In=(Sn

5、-1-In-1)/n第7页，共18页，编辑于2022年，星期六 在算法执行过程中在算法执行过程中,舍入误差对计算结果影舍入误差对计算结果影响不大的一类算法被称为数值稳定算法响不大的一类算法被称为数值稳定算法;否否则称为不稳定算法则称为不稳定算法.初初始始误误差差在在算算法法执执行行过过程程中中不不断断减减小小,这这种种算算法称为数值稳定算法。法称为数值稳定算法。|e(S20)|=|S20-I20|=|(1-S21/21)-(1-I21/21)|=|S21-I21|/21=|S30-I30|/(21222330)8/18第8页，共18页，编辑于2022年，星期六 r d 例例2.2.水中浮球问题

6、水中浮球问题 有一半径有一半径r=10 cm的球体的球体,密度密度 =0.638.球体浸入水中后球体浸入水中后,浮出浮出水面的高度水面的高度h是多少是多少？设球体浸入水中的深度设球体浸入水中的深度 d.根据阿基米德定律根据阿基米德定律,物体排开水的质量就是水对物体的浮力物体排开水的质量就是水对物体的浮力。整理得整理得:d 3 3 r d 2+4 r 3 =0 9/18第9页，共18页，编辑于2022年，星期六由由 =0.638,r=10.代入代入,得得d 3 30 d 2+2552=0 令令 f(x)=x 3 30 x 2+2552,函数图形如下所示函数图形如下所示求解方程求解方程 f(x)=

7、0,即是求函数即是求函数 f(x)的的零点零点.f(x)的零点的零点所在区间为所在区间为10，1510/18第10页，共18页，编辑于2022年，星期六第一步第一步:对根进行隔离对根进行隔离,找出隔根区间找出隔根区间,或在隔根区间或在隔根区间内确定一个解的近似值内确定一个解的近似值x0;设设f(x)=0的根为的根为 x*,通过迭代计算通过迭代计算,产生序列产生序列:x0 x1 x2 xn 用数值方法求非线性方程的根用数值方法求非线性方程的根,分两步进行分两步进行:第二步第二步:逐步逼近逐步逼近,利用解的近似值利用解的近似值x0,或隔根区间通或隔根区间通过过迭代算法迭代算法得到更精确的近似解得到

8、更精确的近似解.只须只须11/18第11页，共18页，编辑于2022年，星期六例例3.3.分分期期付付款款购购一一套套3030万万元元的的住住房房.方方案案是是首首付付7 7万万,以以后后每每月月付付15001500元元,1515年年后后付付清清.这这种种付付款款方方式式实实际际上上是是贷贷款款购购房房,问问这这样样贷贷款款的的利利息是多少息是多少?分分析析:设设代代款款总总额额为为A,每每月月付付款款P,银银行行利利率率为为x,贷贷款款年限为年限为 y=m/12.则有则有A(1+x)m=P+P(1+x)+P(1+x)2+P(1+x)m-112/18第12页，共18页，编辑于2022年，星期六

9、令令则则 f(0.001)=2.4698e+005,f(0.002)=2.2655e+005 f(0.0015)=2.3647e+005,f(0.00175)=2.3144e+005x=0.0018(年利息约年利息约0.0218)13/18第13页，共18页，编辑于2022年，星期六已知方程已知方程 f(x)=0有一隔有一隔根区间根区间a,b,且且f(x)满满足足f(a)f(b)0,则先将则先将a,b等分为两个小区间等分为两个小区间,判断根属于哪个小区间判断根属于哪个小区间,舍去无根区间保留有根区舍去无根区间保留有根区间间a1,b1;二分法迭代二分法迭代把区间把区间a1,b1 一分为二一分为二

10、,进一步判断根属于哪个进一步判断根属于哪个更小的区间更小的区间 a2,b2,如此不断二分以缩小隔根区间如此不断二分以缩小隔根区间长度长度.14/18第14页，共18页，编辑于2022年，星期六a,bx0=0.5(a+b)a1,b1=a,x0a1,b1=x0,bx1=0.5(a1+b1)f(a1)f(b1)0已知已知f(x)=0在在a,b内有一根内有一根,且且f(a)f(b)0(1)计算计算:x00.5(a+b),y0f(x0),y1f(a)判断判断,若若y0=0,则则x0是根是根,否则转下一步否则转下一步;(2)判断判断,若若y0y10,则则a1a,b1 x0 否则否则 a1x0,b1b,y1

11、 y015/18第15页，共18页，编辑于2022年，星期六二分法迭代将得到一系列隔根区间二分法迭代将得到一系列隔根区间 定理定理2.22.2 设设x*是是 f(x)=0在在a,b内的唯一根内的唯一根,且且 f(a)f(b)0,则二分法计算过程中则二分法计算过程中,各隔根区间的各隔根区间的中点数列中点数列 性性质质:1.f(an)f(bn)0;2.bn an=(b a)/2n满足满足:|xn x*|(b a)/2n+116/18第16页，共18页，编辑于2022年，星期六例例 4 用二分法求方程用二分法求方程 在区间在区间 0,1内的根内的根,要求误差不超过要求误差不超过2-5.x=-1:.5:2;y=exp(-x)-sin(pi*x/2);plot(x,y)grid图图形形显显示示,有有一一个个点点介介于于0和和1之之 间间.显显 然然f(0)f(1)er0 x0=.5*(a+b);y0=f(x0)if ya*y00 b=x0;else a=x0;ya=y0;end disp(a,b);er=b-a;k=k+1endaby1y2yxx0计算结果计算结果:k=5a5=0.4375,b5=0.4688第18页，共18页，编辑于2022年，星期六