第5章 多元函数精选文档.ppt

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1、第5章 多元函数本讲稿第一页，共四十四页在本章中我们将介绍函数的一般概念，并介绍一些特殊的函数，然后介绍导数、偏导数和微分，最后讲授这些概念的具体应用比较静态分析和泰勒逼近本讲稿第二页，共四十四页第1节 函数的一般概念函数函数 是一种将一个集合 中元素与另一个集合 中元素对应起来的规则，其使得 中的每个元素有且仅有一个 中元素与之对应。中任一元素 被称作自变量自变量。如果对应着 中的 ，我们写作 而 被称作 的映射映射或者因变量因变量。集合 被称作函数的定义域定义域而 则被称作函数的目标空间目标空间。这些映射的集合被称作函数的值域值域。表示符号表示符号或者本讲稿第三页，共四十四页函数可用图形表

2、示为本讲稿第四页，共四十四页必须适用于S中每个元素，下面这种规则则不是函数：本讲稿第五页，共四十四页T集合中仅有一个元素与S中元素对应，下面规则也不是函数本讲稿第六页，共四十四页定义域，目标空间与值域本讲稿第七页，共四十四页多元（实）函数多元（实）函数：定义域为 或者 的一个子集，目标空间为实数集 ，常见的二元函数的经济例子 柯布道格拉斯函数 为常数 不变替代弹性（）生产函数其定义域为 （或者 ）的非负象限非负象限，即集合本讲稿第八页，共四十四页第2节 偏导数定义 导数 一元函数 偏导数 多元函数表示符号 ，。本讲稿第九页，共四十四页链式法则的推广偏导数的含义 （i）偏导数 给出了当 发生细微

3、变动而所有其他变量保持不变时 变化率的近似值。（ii）如果 为正，其意味着 增加会导致 的增加；减少会导致 的减少。如果其为负，这两个变量变化方向相反。本讲稿第十页，共四十四页 （iii）用于经济学中的边际分析 生产函数 ，投入品1的边际产品为 效用函数 ，商品2的边际效用为本讲稿第十一页，共四十四页二阶偏导数二阶偏导数 偏导数的偏导数即为二阶偏导数二阶偏导数：，依此类推 杨格定理 如果函数 的偏导数都连续，则 本讲稿第十二页，共四十四页例 柯布道格拉斯函数 一阶偏导数：二阶偏导数：本讲稿第十三页，共四十四页梯度向量与海赛矩阵定义 梯度向量：函数一阶偏导数的 向量，记作 ，其中 海赛矩阵：函数

4、二阶偏导数组成的矩阵，记作本讲稿第十四页，共四十四页注意：根据杨格定理，海赛矩阵为对称矩阵例 则梯度向量为 海赛矩阵为本讲稿第十五页，共四十四页第3节 函数中的特殊类连续函数 函数在点 连续：数列 ，收敛于 ，这些点的像将就收敛于 的映射。连续函数：函数在其定义域内的每一点都连续。函数 为 次多项式次多项式,如果 函数 为有理函数，如果 其中 和 都是多项式本讲稿第十六页，共四十四页一元连续函数本讲稿第十七页，共四十四页函数在某处不连续本讲稿第十八页，共四十四页绝对值函数本讲稿第十九页，共四十四页连续函数之和仍是连续函数，连续函数之积也是连续函数复合函数：复合函数 定义为 ，连续函数的复合函数

5、也是连续函数。可导必定连续，连续未必可导。齐次函数齐次函数 定义定义 函数 为 次齐次函数次齐次函数，如果对于所有的 ，有 本讲稿第二十页，共四十四页定理如果 为 次齐次函数，其一阶偏导数则为 次齐次函数。欧拉定理如果 为 次齐次函数且可导，则例本讲稿第二十一页，共四十四页 其为三次其次函数。偏导数 其一阶偏导数 为二次齐次函数 同时本讲稿第二十二页，共四十四页凸函数和凹函数凸函数和凹函数凸集凸集 线段：为 中两点，连接 的线段为集合 凸集：对于所有 ，凸函数 凸函数：，严格凸函数：，凹函数：，严格凹函数：，本讲稿第二十三页，共四十四页非凸集本讲稿第二十四页，共四十四页凸集本讲稿第二十五页，共

6、四十四页二元严格凸函数与二元凸函数本讲稿第二十六页，共四十四页严格凹函数与凹函数本讲稿第二十七页，共四十四页本讲稿第二十八页，共四十四页定理：函数 是凸集 上的严格凸（凹）函数，如果其海赛矩阵 对于所有属于 的 为正（负）定。当且仅当 对于所有属于 的 为半正（负）定时，函数 为凸集 上的凸（凹）函数。例例 证明 为凹函数 ，。海赛矩阵一阶主子式-2、0小于等于零，二阶主子式 故该函数为凹函数本讲稿第二十九页，共四十四页第4节 比较静态和非线性模型比较静态和非线性模型 引言引言 在线性经济模型中，均衡值 或者比较静态分析结果 如果在模型方程是非线性的，比较静态分析应该如何进行呢？本讲稿第三十页

7、，共四十四页隐函数定理隐函数：由非线性方程 所定义的函数 隐函数定理隐函数定理1假设非线性函数 具有连续的偏导数 ，考虑任意满足方程 的点 。如果偏导数 在此点不为零，那么至少在此点邻域存在一个隐函数。不仅如此，偏导数 也存在且连续。例在哪些点上方程 存在 关于 的隐函数本讲稿第三十一页，共四十四页 此时 明显 存在且连续，在任意使得而 的点 上隐函数都存在。对原方程两点同时关于 求导，有 那么本讲稿第三十二页，共四十四页经济应用 封闭经济的简单凯恩斯宏观经济模型 均衡条件 或者 根据隐函数定理，在 上存在均衡解本讲稿第三十三页，共四十四页 从而 隐函数定理的推广隐函数定理的推广 两非线性方程

8、 什么情况下才能解成 是 函数的形式？本讲稿第三十四页，共四十四页定义定义 雅克比行列式：隐函数定理隐函数定理2假设 和 关于 有着连续的偏导数。那么在满足该方程组而雅克比行列式不为零的任意点上隐函数 和 都存在。另外，这些隐函数具有连续的偏导数。本讲稿第三十五页，共四十四页例例 模型 产品市场 货币市场 均衡条件本讲稿第三十六页，共四十四页 均衡条件可写作 问题：什么条件下存在隐函数 和 雅克比行列式为 则在 成立的任何点上都存在 问题：比较静态分析求 本讲稿第三十七页，共四十四页 在均衡条件成立的情况下对其求偏导 用矩阵表示为 利用克拉默法则，有 本讲稿第三十八页，共四十四页本讲稿第三十九页，共四十四页第5节 微分和泰勒逼近微分和泰勒逼近 一元函数的泰勒定理 一元函数 ，定义域内一点 其中 为余项 次泰勒近似值 代表 的细微改变而 ，越来越小本讲稿第四十页，共四十四页 例 其三次泰勒近似值为本讲稿第四十一页，共四十四页 泰勒逼近方法用函数的梯度向量和海赛矩阵来表示 或者 的微分 定义：微分是一近似值本讲稿第四十二页，共四十四页 的全微分 一元函数 二元函数 微分之比即为导数 一元函数 二元函数 后者被称为全导数本讲稿第四十三页，共四十四页例 则 作为验证本讲稿第四十四页，共四十四页