数学物理方法 (2)幻灯片.ppt

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1、数学物理方法第1页，共73页，编辑于2022年，星期六（一）、梯度（一）、梯度矢量矢量令令7.1 7.1 三类数学物理方程的导出三类数学物理方程的导出第2页，共73页，编辑于2022年，星期六有时记有时记记记第3页，共73页，编辑于2022年，星期六（二）、三类数学物理方程的导出（二）、三类数学物理方程的导出1 1、弦的横振动、弦的横振动xx+xxy弦的横向位移为弦的横向位移为 u(x,t)第4页，共73页，编辑于2022年，星期六考虑小振动考虑小振动xx+xxy第5页，共73页，编辑于2022年，星期六xx+xxy记记第6页，共73页，编辑于2022年，星期六例：一长为例：一长为l的均匀柔软

2、的均匀柔软轻绳轻绳，其一端固定在竖直轴上，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度绳子以角速度 转动，试推导此绳相对于水平线的横转动，试推导此绳相对于水平线的横振动方程振动方程xx+xxy弦的横向位移为弦的横向位移为 u(x,t)xy lxx+x第7页，共73页，编辑于2022年，星期六整理得：整理得：第8页，共73页，编辑于2022年，星期六2 2、均匀杆的纵振动、均匀杆的纵振动将细杆分成许多段将细杆分成许多段t时刻，时刻，A段伸长段伸长t时刻，时刻，B段伸长段伸长相对伸长相对伸长事实上，相对伸长是事实上，相对伸长是位置的函数，如位置的函数，如第9页，共73页，编辑于2022年，星期六相对伸长相对

3、伸长由虎克定律，由虎克定律，B两端的张两端的张应力（单位横截面的力）应力（单位横截面的力）分别为分别为B段运动方程为段运动方程为第10页，共73页，编辑于2022年，星期六B段运动段运动方程为方程为记记第11页，共73页，编辑于2022年，星期六3 3、扩散方程、扩散方程由于浓度不同引起的分子运动由于浓度不同引起的分子运动扩散流强度扩散流强度q，即单位，即单位 时间内流过单时间内流过单位面积的分子数或质量，与位面积的分子数或质量，与浓度浓度 u(单单位体积内的粒子数）位体积内的粒子数）的下降成正比的下降成正比 D 为扩散系数为扩散系数 负号表扩散方向与负号表扩散方向与浓度梯度相反浓度梯度相反大

4、小大小第12页，共73页，编辑于2022年，星期六 x方向左表面，方向左表面，dt 时间流入时间流入六面体的流量为六面体的流量为流出六面体的流量为流出六面体的流量为第13页，共73页，编辑于2022年，星期六 x方向左表面，单位时间流方向左表面，单位时间流入六面体的流量为入六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为单位时间流出六面体的流量为净流入量为净流入量为第14页，共73页，编辑于2022年，星期六x 方向净流入量为方向净流入量为y 方向净流入量为方向净流入量为z 方向净流入量为方向净流入量为第15页，共73页，编辑于2022年，星期六立方体净流入量为立方体净流入量为如立方体内无源和汇如立方

5、体内无源和汇dt时间内粒子增加数为时间内粒子增加数为第16页，共73页，编辑于2022年，星期六D=恒量，恒量，令令 a2=D 一维一维第17页，共73页，编辑于2022年，星期六若单位时间内单位体积中产生的粒子数为若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F=(x,y,z,t)与与 u 无无关关若单位时间内单位体积中产生的粒子数为若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u 第18页，共73页，编辑于2022年，星期六3、热传导方程、热传导方程设有一根恒截面为设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热其侧面绝热u(x,t)为为 x 处处 t 时刻温度，时

6、刻温度，为杆密度为杆密度xxx+x（1）、）、dt 时间内时间内引起小段引起小段 x温度升温度升高所需热量为高所需热量为第19页，共73页，编辑于2022年，星期六xxx+x（2）、）、Furier s实验定理：单位实验定理：单位 时间内流过单位时间内流过单位面积的热量面积的热量 q(热热流强度量）流强度量）与温度与温度的下降成正比的下降成正比nn k 为热传导系数为热传导系数 一维情况下如图有一维情况下如图有大小大小 x方向左表面，方向左表面，dt 时间时间流入流入圆柱圆柱体的热量为体的热量为dt 时间时间流出流出圆柱体的热量为圆柱体的热量为第20页，共73页，编辑于2022年，星期六xxx

7、+xdt 时间净流时间净流入的热量为入的热量为第21页，共73页，编辑于2022年，星期六4 4、泊松方程、泊松方程电通量的高斯定理电通量的高斯定理称为泊松方程称为泊松方程第22页，共73页，编辑于2022年，星期六称为泊松方程称为泊松方程称为称为 Laplace Laplace 方程方程对于对于稳定浓度分布有稳定浓度分布有为泊松方程为泊松方程为为 Laplace Laplace 方程方程5 5、稳定浓度分布、稳定浓度分布和和若若若若第23页，共73页，编辑于2022年，星期六7.2 7.2 定解条件定解条件对于输运方程对于输运方程（一）、初始条件（一）、初始条件初始条件要求已知初始条件要求已

8、知对于弦振动方程对于弦振动方程初始条初始条件要求件要求已知已知位移满足位移满足速度满足速度满足第24页，共73页，编辑于2022年，星期六x=l/2xyx=lhx0位移满足位移满足速度满足速度满足第25页，共73页，编辑于2022年，星期六（二）、边界条件（二）、边界条件第一类边界第一类边界条件条件第二类边界第二类边界条件条件第三类边第三类边界条件界条件第26页，共73页，编辑于2022年，星期六如两端固定弦如两端固定弦,端点位移端点位移x=l/2xyx=lhx0（1 1）、第一类边界条件）、第一类边界条件第27页，共73页，编辑于2022年，星期六如细杆热传导端点温度如细杆热传导端点温度l0

9、 x（如扩散端点浓度）（如扩散端点浓度）第28页，共73页，编辑于2022年，星期六A）、如细）、如细杆的纵振动，杆的纵振动，x=a 处受力处受力 f(t)（2 2）、第二类边界条件）、第二类边界条件如杆端自由如杆端自由 f(t)=0a0 x第29页，共73页，编辑于2022年，星期六如细杆热传导端如细杆热传导端点有热量流出点有热量流出如细杆热传导端点如细杆热传导端点有热量流入有热量流入B B）、热传导）、热传导0 xa第30页，共73页，编辑于2022年，星期六如细杆热传导，如细杆热传导，一端自由冷却一端自由冷却则热流强度与杆端则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度和周围介质温度 差有

10、关系差有关系（3 3）、第三类边界条件）、第三类边界条件0 xa第31页，共73页，编辑于2022年，星期六x=0 处处0 xa第32页，共73页，编辑于2022年，星期六（三）、衔接条件（三）、衔接条件x0 xy0第33页，共73页，编辑于2022年，星期六例：半径为例：半径为a,表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，表面熏黑的金属长圆柱，受到阳光照射，阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M，写出热传导的，写出热传导的边界条件。边界条件。解：解：xy阳光照射，阳光照射，流出流出圆柱的热量为圆柱的热量为由于温度梯度，由于温度梯度，流出流出圆柱的热流为圆柱的热流为第34

11、页，共73页，编辑于2022年，星期六xy设柱面外温度为设柱面外温度为u0柱面温度柱面温度 u|=a由牛顿冷却定律由牛顿冷却定律第35页，共73页，编辑于2022年，星期六令令当当M=0，m=0 xy第36页，共73页，编辑于2022年，星期六例：一根导热杆由两段构成，两段例：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密热传导系数、比热、密度分别为度分别为kI,cI,I,kII,cII,II,初始温度为初始温度为u0,然后保持两端然后保持两端温度为零，写出热传导问题的定解方程。温度为零，写出热传导问题的定解方程。解：解：第一段第一段第二段第二段衔接条件：衔接条件：温度相等温度相等热流相等热流

12、相等第37页，共73页，编辑于2022年，星期六7.4 7.4 达朗贝公式、定解问题达朗贝公式、定解问题（一）、（一）、达朗贝公式达朗贝公式考虑弦的振动方程考虑弦的振动方程表示为：表示为：或：或：第38页，共73页，编辑于2022年，星期六令：令：第39页，共73页，编辑于2022年，星期六令：令：对对 积分积分再积分再积分表示以速度表示以速度a a沿沿x x正负方向的行波正负方向的行波第40页，共73页，编辑于2022年，星期六函数函数 f1 和和 f2 的确定的确定考虑定解问题考虑定解问题求导有求导有第41页，共73页，编辑于2022年，星期六积分有积分有第42页，共73页，编辑于2022

13、年，星期六第43页，共73页，编辑于2022年，星期六例：求定例：求定解问题解问题第44页，共73页，编辑于2022年，星期六例：求定解问题例：求定解问题第45页，共73页，编辑于2022年，星期六第46页，共73页，编辑于2022年，星期六例：求一端固定弦的振动情况（反例：求一端固定弦的振动情况（反射波定解问题）射波定解问题）代入初始条件代入初始条件O Ox（二）、端点反射（二）、端点反射第47页，共73页，编辑于2022年，星期六代入边界条件代入边界条件令令第48页，共73页，编辑于2022年，星期六（1）、）、x at,即即 x-at 0第49页，共73页，编辑于2022年，星期六（2）

14、、）、x at,即即 x-at 0第50页，共73页，编辑于2022年，星期六物理意义：物理意义：为讨论方便计设初速为为讨论方便计设初速为0 0解与达朗贝尔解一致，说明端点的影解与达朗贝尔解一致，说明端点的影响未传到。响未传到。第51页，共73页，编辑于2022年，星期六O Oxx=0处为波节。处为波节。x=0处处入射波与反射波位相相反，有半波损失入射波与反射波位相相反，有半波损失。为入射波。为入射波。为反射波。为反射波。第52页，共73页，编辑于2022年，星期六（三）、延拓（三）、延拓半无限长问题半无限长问题求解中有求解中有提示无限长杆提示无限长杆u(x,t)是奇函数是奇函数提示无限长杆初

15、始位移提示无限长杆初始位移 (x)和初始和初始 (x)是奇函数是奇函数第53页，共73页，编辑于2022年，星期六称为称为沿拓沿拓第54页，共73页，编辑于2022年，星期六第55页，共73页，编辑于2022年，星期六第56页，共73页，编辑于2022年，星期六第57页，共73页，编辑于2022年，星期六例：求解半无限长问题例：求解半无限长问题杆端点自由，杆端点自由，相对伸长量为相对伸长量为0 0提示无限长杆提示无限长杆u(x,t)是偶函数是偶函数提示无限长杆初始位移提示无限长杆初始位移 (x)和初始和初始 (x)是偶函数是偶函数第58页，共73页，编辑于2022年，星期六沿拓沿拓第59页，共

16、73页，编辑于2022年，星期六第60页，共73页，编辑于2022年，星期六第61页，共73页，编辑于2022年，星期六例：求定例：求定解问题解问题考虑初始条件与半无限长，考虑初始条件与半无限长，这一扰动产生的波沿这一扰动产生的波沿x正向正向解：解：由边界条件由边界条件令令第62页，共73页，编辑于2022年，星期六其中其中若若第63页，共73页，编辑于2022年，星期六（四）、达朗贝解的适定性（四）、达朗贝解的适定性考虑初始条件有两组，差别微小考虑初始条件有两组，差别微小 (x)有直到二阶导数，有直到二阶导数，(x)有直到一阶导数，有直到一阶导数，达朗贝解存在达朗贝解存在1 1、达朗贝解的存

17、在性、达朗贝解的存在性2 2、达朗贝解的稳定性、达朗贝解的稳定性第64页，共73页，编辑于2022年，星期六达朗贝解的稳定达朗贝解的稳定第65页，共73页，编辑于2022年，星期六解：解：或：或：例：求定解问题例：求定解问题方程变化为方程变化为令令第66页，共73页，编辑于2022年，星期六令：令：其中其中A A、B B为常数为常数第67页，共73页，编辑于2022年，星期六修改为修改为第68页，共73页，编辑于2022年，星期六代入边界条件代入边界条件第69页，共73页，编辑于2022年，星期六令：令：第70页，共73页，编辑于2022年，星期六解：解：例：求定解问题例：求定解问题方程（方程（1）对）对t求导后减去（求导后减去（1）对）对x求导变化为求导变化为（1 1）解为解为即即代入（代入（1 1）式有）式有第71页，共73页，编辑于2022年，星期六代入边界条件代入边界条件由（由（2 2）式有）式有（2 2）（3 3）由（由（3 3）式有）式有第72页，共73页，编辑于2022年，星期六第73页，共73页，编辑于2022年，星期六