数学建模插值与拟合幻灯片.ppt

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1、数学建模插值与拟合第1页，共51页，编辑于2022年，星期六 我们经常会遇到大量的数据需要处理，而处我们经常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，例如数据拟合、理数据的关键就在于这些算法，例如数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。此类问题在参数估计、插值等数据处理算法。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。，这些方法都能游刃有余的用好。一、概述第2页，共51页，编辑于2022年，星期六 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与插值和拟

2、合有关系，例如理有关的问题很多与插值和拟合有关系，例如9898年美国赛年美国赛A A题，生物组织切片的三维插值处题，生物组织切片的三维插值处理，理，9494年年A A题逢山开路，山体海拔高度的插值题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，计算，20032003年吵的沸沸扬扬的年吵的沸沸扬扬的“非典非典”问题也问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理，理，2005 2005年的雨量预报的评价的插值计算。年的雨量预报的评价的插值计算。20012001年的公交车调度拟合问题，年的公交车调度拟合问题，20032003年的饮酒年的饮酒驾车拟合问题。驾车拟合问题。

3、第3页，共51页，编辑于2022年，星期六插值问题插值问题雨量预报的评价雨量预报的评价预测点和实测点的图形预测点和实测点的图形插值后的图形插值后的图形第4页，共51页，编辑于2022年，星期六拟合问题拟合问题饮酒驾车饮酒驾车喝两瓶酒的拟合曲线喝两瓶酒的拟合曲线喝喝1-5瓶酒的拟合曲线瓶酒的拟合曲线第5页，共51页，编辑于2022年，星期六 在实际中，常常要处理由实验或测量所得在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是要通到的一些离散数据。插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻求某个近似函数，使所得到的

4、近似函数与已知求某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度。数据有较高的拟合精度。如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过所已知的所有数据点，则称此类问题为所已知的所有数据点，则称此类问题为插值问插值问题题。（不需要函数表达式）（不需要函数表达式）二、基本概念第6页，共51页，编辑于2022年，星期六 如果不要求近似函数通过所有数据点，而如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反映数据变化规律的近似函是要求它能较好地反映数据变化规律的近似函数的方法称为数的方法称为数据拟合数据拟合。（必须有函数表达式）。（必须有函数表达式）近似函数

5、不一定（曲线或曲面）通过所有的近似函数不一定（曲线或曲面）通过所有的数据点。数据点。第7页，共51页，编辑于2022年，星期六1 1、联系、联系都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数的方法。数据变化规律的近似函数的方法。2 2、区别、区别插值问题插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅通过不一定得到近似函数的表达形式，仅通过插值方法找到未知点对应的值。插值方法找到未知点对应的值。数据拟合数据拟合要求得到要求得到一个具体的近似函数的表达式。一个具体的近似函数的表达式。三、插值与拟合的区别和联系第8页，共51页，编辑于2022

6、年，星期六四、插值的使用及求解 当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信时信时,通常利用函数插值方法。通常利用函数插值方法。实际问题当中碰到的函数实际问题当中碰到的函数 f(x)是各种各样是各种各样的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学的式的，有的表达式很复杂，有的甚至给不出数学的式子，只提供了一些离散数据，警如，某些点上的函子，只提供了一些离散数据，警如，某些点上的函数值和导数值。数值和导数值。4.1 4.1 引言引言第9页，共51页，编辑于2022年，星期六 选选用用不不同同类类型型的的插插值值函函数数，逼逼近近的的效效果果就就不同，一般有：不同

7、，一般有：（1）拉格朗日插值（）拉格朗日插值（lagrange插值）插值）（2）分段线性插值）分段线性插值（3）Hermite（4）三次样条插值。）三次样条插值。4.2 4.2 插值方法插值方法第10页，共51页，编辑于2022年，星期六 Matlab 实现：实现分段线性插值不需要编制实现：实现分段线性插值不需要编制函数程序，它自身提供了内部的功能函数函数程序，它自身提供了内部的功能函数interp1(一维插值一维插值)interp2(二维二维)interp3(三维三维)intern(n维维)4.3 MATLAB 4.3 MATLAB实现插值实现插值第11页，共51页，编辑于2022年，星期六

8、用用MATLAB作插值计算作插值计算一维插值函数：一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值点被插值点插值节点插值节点xi处的插处的插值结果值结果nearest 最邻近插值；最邻近插值；linear 线性插值；线性插值；spline 三次样条插值；三次样条插值；cubic 立方插值；立方插值；缺省时缺省时 分段线性插值分段线性插值 注意：所有的插值方法注意：所有的插值方法都要求都要求x是单调的，并且是单调的，并且xi不不能够超过能够超过x的范围的范围第12页，共51页，编辑于2022年，星期六例：从例：从1 1点点1212点点的的1111小时内，每隔

9、小时内，每隔1 1小时测量一次温度，测小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：得的温度的数值依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424试估计每隔试估计每隔1/101/10小时的温度值小时的温度值hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline);plot(hours,temps,k+,h,t,b,hours,temps,r:)%作图作图xlabel(Hour),ylabel(Degr

10、ees Celsius)第13页，共51页，编辑于2022年，星期六xy机翼下机翼下轮廓线轮廓线例例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变每改变0.1时的时的y值值第14页，共51页，编辑于2022年，星期六x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6;x=0:0.1:15;y1=interp1(x0,y0,x,cubic);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,spline);subplot(3,1,1)plot(x0,y0,k+

11、,x,y1,r)gridtitle(cubic)subplot(3,1,2)plot(x0,y0,k+,x,y2,r)gridtitle(piecewise linear)subplot(3,1,3)plot(x0,y0,k+,x,y3,r)gridtitle(spline)返回返回第15页，共51页，编辑于2022年，星期六 要求要求x0,y0单调；单调；x，y可取可取为矩阵，或为矩阵，或x取行取行向量，向量，y取为列向量，取为列向量，x,y的值分别不能超出的值分别不能超出x0,y0 0的范围的范围z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值点插值方法用用MATLAB作

12、网格节点数据的插值作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值nearest 最邻近插值；最邻近插值；linear 双线性插值；双线性插值；cubic 双三次插值；双三次插值；缺省时缺省时 双线性插值双线性插值.第16页，共51页，编辑于2022年，星期六例：测得平板表面例：测得平板表面3 35 5网格点处的温度分别为：网格点处的温度分别为：82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图

13、形的图形输入以下命令：输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图.2以平滑数据以平滑数据,在在 x、y方向上每隔方向上每隔0.2个单位的地方进行插值个单位的地方进行插值.第17页，共51页，编辑于2022年，星期六再输入以下命令再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(x

14、i,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图画出插值后的温度分布曲面图.第18页，共51页，编辑于2022年，星期六 通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插值效果进行比较行比较第19页，共51页，编辑于2022年，星期六x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;z=1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;.1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;.1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;

15、.1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;.1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;.1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;.1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980;输入原始数据输入原始数据:第20页，共51页，编辑于2022年，星期六figure(1);meshz(x,y,z)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)xi=1200:50:4000;yi=1200:50:3600;figure(2)z1i=interp

16、2(x,y,z,xi,yi,nearest);surfc(xi,yi,z1i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)figure(3)z2i=interp2(x,y,z,xi,yi);surfc(xi,yi,z2i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)figure(4)z3i=interp2(x,y,z,xi,yi,cubic);surfc(xi,yi,z3i)xlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)figure(5)subplot(1,3,1),contour(xi,yi,z1i,10,r);subplot(1,3,2),conto

17、ur(xi,yi,z2i,10,r);subplot(1,3,3),contour(xi,yi,z3i,10,r);注注:surfc 函数功能函数功能 在矩形区域内显示三维带阴在矩形区域内显示三维带阴影曲面图影曲面图,且在曲面下面画出等高线。且在曲面下面画出等高线。meshc函数函数 生成生成带等高线网线图带等高线网线图 meshz函数函数 生成生成带垂帘的网线图带垂帘的网线图数据插值与图形绘制数据插值与图形绘制:第21页，共51页，编辑于2022年，星期六 插值函数插值函数griddata格式为格式为:cz=griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLAB作散点数据的

18、插值计算作散点数据的插值计算 要求要求cx取行向量，取行向量，cy取为列向量取为列向量被插值点插值方法插值节点被插值点的函数值nearest最邻近插值最邻近插值linear 双线性插值双线性插值cubic 双三次插值双三次插值v4-MATLAB提供的插值方法提供的插值方法缺省时缺省时,双线性插值双线性插值第22页，共51页，编辑于2022年，星期六 例例 在某海域测得一些点在某海域测得一些点(x,y)处的水深处的水深z由下表给出，由下表给出，船的吃水深度为船的吃水深度为5 5英尺，在矩形区域（英尺，在矩形区域（7575，200200）（-5050，150150）里的哪些地方船要避免进入）里的哪

19、些地方船要避免进入第23页，共51页，编辑于2022年，星期六4.作出水深小于作出水深小于5的海域范围的海域范围,即即z=5的等高线的等高线.2.在矩形区域在矩形区域(75,200)(-50,150)进行插值。进行插值。1.输入插值基点数据输入插值基点数据 3.作海底曲面图作海底曲面图 第24页，共51页，编辑于2022年，星期六%程序一：插值并作海底曲面图程序一：插值并作海底曲面图 x =129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5;y=7.5 141.5 23.0 147.0

20、 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5;z=4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9;x1=75:1:200;y1=-50:1:150;x1,y1=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,v4);meshc(x1,y1,z1)第25页，共51页，编辑于2022年，星期六海底曲面图海底曲面图第26页，共51页，编辑于2022年，星期六%程序二：插值并作出水深小于程序二：插值并作出水深小于5 5的海域范围。的海域范围。x1=75:1:200;y1=-50:1:150;x1,y1=m

21、eshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,v4);%插值插值z1(z1=5)=nan;%将水深大于将水深大于5的置为的置为nan，这样绘，这样绘图就不会显示出来图就不会显示出来meshc(x1,y1,z1)第27页，共51页，编辑于2022年，星期六水深小于水深小于5 5的海域范围的海域范围第28页，共51页，编辑于2022年，星期六5.1 5.1 引言引言 对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用机理不详）可直接使用数据组建模，寻找简作用机理不详）可直接使用数据组建模，寻找简单的因果变量之间的数量关系，单的因果变

22、量之间的数量关系，从而对未知的从而对未知的情形作预报。这样组建的模型为情形作预报。这样组建的模型为拟合模型拟合模型。拟拟合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，合模型的组建主要是处理好观测数据的误差，使用数学表达式从数量上近似因果变量之间的使用数学表达式从数量上近似因果变量之间的关系。拟合模型的组建是通过对有关变量的观关系。拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达方测数据的观察、分析和选择恰当的数学表达方式得到的。式得到的。五、拟合的使用及求解第29页，共51页，编辑于2022年，星期六5.2 5.2 拟合模型的分类拟合模型的分类 5.2.1 5.2.1 直线拟

23、合直线拟合5.2.2 5.2.2 曲线拟合曲线拟合5.2.3 5.2.3 观察数据修匀观察数据修匀 对于已给一批实测数据，由于实测方法、实对于已给一批实测数据，由于实测方法、实验环境等一些外界因素的影响，不可避免地会产验环境等一些外界因素的影响，不可避免地会产生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据分布生随机干扰和误差。我们自然希望根据数据分布的总趋势去剔除观察数据中的偶然误差，这就是的总趋势去剔除观察数据中的偶然误差，这就是所谓的数据修匀（或称数据平滑）问题。所谓的数据修匀（或称数据平滑）问题。第30页，共51页，编辑于2022年，星期六直直 线线 拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 1 1温

24、度温度t(C)20.5 32.7 51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032已知热敏电阻数据：已知热敏电阻数据：求求6060C C时的电阻时的电阻R R 设设 R=at+ba,b为待定系数为待定系数第31页，共51页，编辑于2022年，星期六曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 2 2 t(h)0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c(g/ml)19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射注

25、射300mg)求血药浓度随时间的变化规律求血药浓度随时间的变化规律c(t).在直角坐标系下作图如下在直角坐标系下作图如下(plot)第32页，共51页，编辑于2022年，星期六曲曲 线线 拟拟 合合 问问 题题 的的 提提 法法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一寻求一个函数（曲线）个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在在某种准则下某种准则下与所有数据点最为与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好接近，即曲线拟合得最好+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的距离的距离第33

26、页，共51页，编辑于2022年，星期六拟合与插值的关系拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的由于近似的要求不同，二者在数学方法上是完全不同的 实例：实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？MATLAB(cn)问题：问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案：解决方案：若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点

27、，就是插值问题插值问题；第34页，共51页，编辑于2022年，星期六最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：第35页，共51页，编辑于2022年，星期六曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中其中 a1,a2,am 为待定系数为待定系数 第二步:确定确定a1,a2,am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi

28、,yi)与与曲线曲线 y=f(x)的的距离距离 i 的平方和最小的平方和最小 记记问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小最小第36页，共51页，编辑于2022年，星期六用用MATLAB作线性最小二乘拟合作线性最小二乘拟合1.1.作多项式作多项式f(x)=a1xm+amx+am+1拟合拟合,可利可利用已有程序用已有程序:a=polyfit(x,y,m)输入同长度输入同长度的数组的数组x，y拟合多项拟合多项式次数式次数2.2.多项式在多项式在x处的值处的值y可用以下命令计算：可用以下命令计算：y=polyval（a，x）第37页，共51页，编辑于2022年

29、，星期六1）输入以下命令：）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34.7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r)%作作出出数数据据点点和和拟拟合合曲曲线线的的图图形形2）计算结果：）计算结果：=-9.8108 20.1293 -0.0317用多项式拟合的命令用多项式拟合的命令第38页，共51页，编辑于2022年，星期六如何预报人口的增长如何预报人口的增长 人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，人口的增长是当前世界上引起普遍关

30、注的问题，并且我们会发现在不同的刊物预报同一时间的人并且我们会发现在不同的刊物预报同一时间的人口数字不相同，这显然是由于用了不同的人口模口数字不相同，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。型计算的结果。我国是世界第一人口大国，基本上地球每九个我国是世界第一人口大国，基本上地球每九个人中就有一个中国人。有效地控制我国人口的人中就有一个中国人。有效地控制我国人口的增长是使我过全面进入小康社会、到增长是使我过全面进入小康社会、到2121世纪中世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要。叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要。而有效控制人口增长的前提是要认识人口数量而有效控制人口增长的前提是要认

31、识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报。报。例例:如何预报人口的增长如何预报人口的增长第39页，共51页，编辑于2022年，星期六例如：例如：19491949年年19941994年我国人口数据资料如下：年我国人口数据资料如下：年年 份份xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1979 1984 1989 1994 人口数人口数yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 yi 5.4 6.0 6

32、.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我国人口增长的规律建模分析我国人口增长的规律,预报预报19991999年我国年我国人口数。人口数。第40页，共51页，编辑于2022年，星期六模型一：假设人口随时间线性地增加模型一：假设人口随时间线性地增加 模型：模型：参数估计观测值的模型：参数估计观测值的模型：拟合的精度拟合的精度:误差平方和。误差平方和。可以算出：可以算出：a=-283.2320 b=0.1480模型：模型：y=-283.2320+0.1480 x 第41页，共51页，编辑于2022年，星期六则可看成是线性方程则可看成

33、是线性方程,用用 polyfit命令计算得：命令计算得：模型二：指数增长模型模型二：指数增长模型 可变为可变为YA=+BXa=2.33,b=0.0179则所求模型为则所求模型为:第42页，共51页，编辑于2022年，星期六程序如下：程序如下：x=1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994;y=5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8;a=polyfit(x,y,1);x1=1949:10:1994;y1=a(2)+a(1)*x1;b=polyfit(x,log(y),1);y2=exp(b(2)

34、*exp(b(1)*x1);plot(x,y,*)hold on plot(x1,y1,-r)hold on plot(x1,y2,-k)legend(原曲线原曲线,模型一曲线模型一曲线,模型二曲线模型二曲线)第43页，共51页，编辑于2022年，星期六结论的比较如下表：结论的比较如下表：年年 份份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3

35、11.3 11.8 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 模型一值模型一值 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 误误 差差 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 模型二值模型二值 5.55 6

36、.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 误差误差 -0.15 -0.06 0.08 -0.23 0.20 0.46 0.36 -0.01 -0.13 -0.51 -0.15 -0.06 0.08 -0.23 0.20 0.46 0.36 -0.01 -0.13 -0.51第44页，共51页，编辑于2022年，星期六结果分析：结果分析：（1）Q1 =0.2915 x=0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=2.3201 2.647 2.9707 3.2885 3.6008 3.909 4.2147 4.5191 4.8232 5.1275;a=lsqcurvefit(f1,1;2;2;2,x,y)第49页，共51页，编辑于2022年，星期六练习题目练习题目 完成数学建模竞赛完成数学建模竞赛20062006年年B B题题(艾滋艾滋病疗法的评价及疗效的预测病疗法的评价及疗效的预测)返回返回第50页，共51页，编辑于2022年，星期六第51页，共51页，编辑于2022年，星期六