量子力学中的力学量 .ppt

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1、量子力学中的力学量 现在学习的是第1页，共61页第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符 算符：指作用在一个函数上得出另一个函的运算符号。如 。如现在学习的是第2页，共61页算符的运算算符的运算：1、相等2、相加3、相乘两算符相乘其次序不能随便调换。线性算符（态叠加原理态叠加原理）定义：若则 是线性的。是任意函数，C1、C2是常数现在学习的是第3页，共61页是线性的，是非线性的。厄米算符：是任意函数。若则 是厄米的。性质性质：厄米算符的本征值是实数。：厄米算符的本征值是实数。现在学习的是第4页，共61页证明：证明：是厄米算符。是厄米算符

2、。量子力学中表示力学量的算符都是线性的、厄米的。如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符 由经典表示式 中将 换为 而得出。角动量现在学习的是第5页，共61页 如果 表示力学量F，那么当体系处于 的本征态 时，力学量F有确定值，这个值就是 在 态中的本征值。证明：证明：都是厄米的。都是厄米的。1、2、现在学习的是第6页，共61页3.2 3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符1、动量算符、动量算符现在学习的是第7页，共61页现在学习的是第8页，共61页复习复习：1、状态用波函数 描写，单值、有限、连续：几率几率幅2、态叠加原理3、Schrdinger方

3、程：4、力学量用线性、厄米的算符表示现在学习的是第9页，共61页2、角动量算符现在学习的是第10页，共61页球坐标：现在学习的是第11页，共61页现在学习的是第12页，共61页现在学习的是第13页，共61页3.3 3.3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动假设原子核不动现在学习的是第14页，共61页在球极坐标下：用分离变量法求解：（1）（2）现在学习的是第15页，共61页由（1）现在学习的是第16页，共61页（3）现在学习的是第17页，共61页（4）标准的缔合拉盖尔方程：现在学习的是第18页，共61页其解为 缔合拉盖尔多项式在（4）式中：径向量子数。现在学习的是第19页，共61页现在学习

4、的是第20页，共61页现在学习的是第21页，共61页3.4 3.4 氢原子氢原子电子核电子相对于核的坐标：体系的质心坐标 ，总质量现在学习的是第22页，共61页为折合质量,只与相对坐标有关现在学习的是第23页，共61页(1)式为电子相对于核的运动,相对运动的能量 就是电子的能级;(2)式为质心的运动，相当于能量为 自由粒子的运动,方程为定态薛定谔方程.其定态波函数现在学习的是第24页，共61页现在学习的是第25页，共61页立体角现在学习的是第26页，共61页能量有确定值有确定值现在学习的是第27页，共61页现在学习的是第28页，共61页3.5 3.5 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的

5、正交性相互正交：厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。属于同一本征值的不同的本征函数不一定正交。现在学习的是第29页，共61页证明：厄米算符的性质：本征值为实数由（2）即正交性。现在学习的是第30页，共61页归一化正交归一系：如果 的本征值组成连续谱，则本征函数 归一化为 函数（1）线性谐振子的能量本征函数现在学习的是第31页，共61页（2）的本征函数现在学习的是第32页，共61页（3）氢原子能量算符的本征函数现在学习的是第33页，共61页3.6 3.6 算符与力学量的关系算符与力学量的关系表示力学量F 如果体系处于 的本征态 ，这时测量力学量F可得到确定的值，即为 的本征值 （在

6、态中）。如果体系处于任意态 ，对于力学F测量，则结果如何？假定：可观测的力学量的线性厄米算符的本征函数族组成完全系。假定：可观测的力学量的线性厄米算符的本征函数族组成完全系。或者具有完备性。即体系的状态波函数可用力学量算符的本征函数或者具有完备性。即体系的状态波函数可用力学量算符的本征函数展开。展开。现在学习的是第34页，共61页即注意 与 无关，是以力学量F为自变量的函数，与 是描写同一状态的不同自变量的波函数。现在学习的是第35页，共61页具有几率的意义：表示在 态中测量力学量F得到的结果是 的本征值 的几率。基本假定：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它基本假定：量子力学中表示力学

7、量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数所描写的状态时，测量力学量所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符所得的数值，必定是算符的本征值之一，的本征值之一，测得测得 的几率是的几率是 。现在学习的是第36页，共61页本征值是分立值时本征值是连续值时 如 不是 的本征态，则在 态测量F时所得到的值不是确定的。而是一系列的可能值每个可能值以确定的几率 出现。只有在 的本征态 测量F，F才有确定的值。这个值就是 态中的本征值 。如：现在学习的是第37页，共61页力学量F的平均值：连续时，一般现在学习的是第38页，共61页 例例

8、3-63-6现在学习的是第39页，共61页现在学习的是第40页，共61页 例例22 求一维无限深势阱中运动的基态粒子的平均动量求一维无限深势阱中运动的基态粒子的平均动量 解解 基态方法一：方法一：现在学习的是第41页，共61页是是 的本征态，不是的本征态，不是 的本征态。的本征态。方法二方法二：把 按动量算符的本征函数展开，求出 后求现在学习的是第42页，共61页一维束缚态，能级量分立的基态：体系能量最低的态。对一维无限深势阱现在学习的是第43页，共61页 例例 一粒子处在一维无限深势阱波函数求：（1）归一化常数A；（2）测量能量的可能值。现在学习的是第44页，共61页 解解 归一化的一种方法

9、：由测量能量的可能值现在学习的是第45页，共61页此时 不是 的本征态，而是本征态的叠加态现在学习的是第46页，共61页3.7 3.7 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件一、算符的对易关系若则称 与 对易。现在学习的是第47页，共61页对于任一波函数 ，有由于 是任意的波函数现在学习的是第48页，共61页同理有对易关系现在学习的是第49页，共61页现在学习的是第50页，共61页同理同理可证：现在学习的是第51页，共61页 若将坐标 换成动量 ，上述对易关系仍成立。定理：如果两个算符 和 有一组共同的本征函数 ，而且 组成完全系，则算符 与 对易。证明：设 是任意波函数，由

10、于 组成完全系。现在学习的是第52页，共61页是任意的波函数。该定理的逆定理也成立：如果两个算符对易，对这两个算符有组成完全系的共同本征函数。（推广）定理定理2 2：如果一组算符有共同的本征函数，而且这些共同的本征函数组成完全系，则这些算符中任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。算符所表示的力学量同时有确定值的条件：对易。在一些算符的共同本征函数所描写的态中，这些算符所表示的力学量同时有确定值。如氢原子。有共同的本征函数 ，相互对易。在 态中，同时有确定值 ，。现在学习的是第53页，共61页 要完全确定体系所处的状态，需要一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力

11、学量的完全集。在完全集中力学量的数目一般与体系自由度的数目相等。氢原子，自由度，完全确立它的状态需要三个相互对易的力学量 ，或三个量子数 。若 不对易，一般地讲，它们不能同时有确定值。设 是一个算符或数，如考虑积分利用 都是厄米算符则有 不确定关系现在学习的是第54页，共61页 例例 求谐振子的零点能现在学习的是第55页，共61页即等号对应 的最小值而现在学习的是第56页，共61页1、态用波函数 表示 ：几率，单值、连续、有限。2、力学量用算符表示 在 的本征态 力学量有确定的值正交归一且组成完全系在 态测力学量F有一些可能值 ，几率为则 有组成完全系的共同本征态。现在学习的是第57页，共61页在这个共同的本征态中，同时有确定值。若 则3、态叠加原理表示处于 的几率4、Schrodinger方程现在学习的是第58页，共61页令当有极小值 可见线性谐振子的零点能量不确定关系所要求的最小能量是波粒二象性的表现。在 的本征态 ，例例 求证在 的本征态下，证证 现在学习的是第59页，共61页同理现在学习的是第60页，共61页现在学习的是第61页，共61页